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高考数学闯关密练特训5-2平面向量基本定理及向量的坐标表示新人教A版(含解析)


5-2 平面向量基本定理及向量的坐标表示
闯关密练特训 1.(文)(2011?重庆文)已知向量 a=(1,k),b=(2,2),且 a+b 与 a 共线,那么 a?b 的 值为( A.1 [答案] D [解析] ∵a=(1,k),b=(2,2), ∴a+b=(3,k+2), ∵(a+b)∥a, ∴1?(k+2)=3k,∴k=1,∴a=(1,1), ∴a?b=2+2=4.

→ → μ AC,则 λ +μ 的值为( A. C. 1 2 1 4 ) B. 1 3 → (理)(2012?沈阳质检)在△ABC 中,M 为边 BC 上任意一点,N 为 AM 的中点,AN=λ AB+ ) B.2 C.3 D.4

D.1

[答案] A → → → 1 [解析] 本题考查向量的线性运算.据已知 N 为 AM 的中点,可得AN= AM=λ AB+μ AC, 2 1 整理得AM=2λ AB+2μ AC,由于点 M 在直线 BC 上,故有 2λ +2μ =1,即 λ +μ = . 2 → → → →

[来源:学科网]

→ 2.(文)(2011?蚌埠二中质检)已知点 A(-1,0),B(1,3),向量 a=(2k-1,2),若AB⊥a, 则实数 k 的值为( )
-1-

A.-2 C.1 [答案] B → ∴2(2k-1)+3?2=0, ∴k=-1,∴选 B. → [解析] AB=(2,3),∵AB⊥a,

B.-1 D.2

(理)(2012?昆明一中检测)已知向量 a=(x,1),b=(2,1),c=(1,y),若 a⊥(b-c), 则 y-x 等于( A.2 [答案] B [解析] ∵b=(2,1),c=(1,y),∴b-c=(1,1-y),∵a⊥(b-c),a=(x,1),∴a?(b -c)=x+(1-y)=0,∴y-x=1. → 那么 A、B、C 三点共线的充要条件为( A.λ +μ =2 C.λ μ =-1 [答案] D → → [解析] ∵AB与AC共线,a 与 b 不共线, ∴λ μ -1=0,故选 D. → 3b,其中 a,b 不共线,则四边形 ABCD 为( A.平行四边形 C.梯形 [答案] C → → → → → [解析] ∵AD=AB+BC+CD=-8a-2b=2BC, ∴四边形 ABCD 为梯形. 5. (2011?山东高考调研)已知平行四边形 ABCD, 点 P 为四边形内部或者边界上任意一点, 1 2 向量AP=xAB+yAD,则“0≤x≤ ,0≤y≤ ”的概率是( 2 3 → → → ) ) B.矩形 D.菱形 → → 4.(2012?湖北省孝感模拟)在四边形 ABCD 中,AB=a+2b,BC=-4 a-b,CD=-5a-
[来源:Zxxk.Com]

) B.1 C.0 D.-1



3.(2011?嘉兴模拟)已知 a,b 是不共线的向量,AB=λ a+b,AC=a+μ b,λ ,μ ∈R, ) B.λ -μ =1 D.λ μ =1

-2-

A. C.

1 3 1 4

B. D.

2 3 1 2

[答案] A [解析]

根据平面向量基本定理,点 P 只要在如图所示的区域 AB1C1D1 内即可,这个区域的面积是 1 2 1 1 整个四边形面积的 ? = ,故所求的概率是 . 2 3 3 3 → 则(x,y)为( ) → → 6.如图,△ABC 中,AD=DB,AE=EC,CD 与 BE 交于 F,设AB=a,AC=b,AF=xa+yb,

?1 1? A.? , ? ?2 2? ?1 1? C.? , ? ?3 3?
[答案] C → → → → →

?2 2? B.? , ? ?3 3? ?2 1? D.? , ? ?3 2?

[解析] 设CF=λ CD,∵E、D 分别为 AC、AB 的中点, 1 ∴BE=BA+AE=-a+ b, 2

-3-

→ → →

BF=BC+CF=(b-a)+λ ( a-b)

1 2

?1 ? =? λ -1?a+(1-λ )b, ?2 ?
1 λ -1 2 1-λ 2 ∵BE与BF共线,∴ = ,∴λ = , -1 1 3 2 → → → 2 2? 1 ? ∴AF=AC+CF=b+ CD=b+ ? a-b? 3 3? 2 ? 1 1 1 1 = a+ b,故 x= ,y= . 3 3 3 3 7.(文)(2011?杭州模拟)已知向量 a=(sinx,1),b=(cosx,-3),且 a∥b,则 tanx =________. 1 [答案] - 3 sinx 1 [解析] ∵a∥b,∴ = , cosx -3 1 ∴tanx=- . 3 → → →

? π π? 2 (理)已知 a=(2,-3),b=(sinα ,cos α ),α ∈?- , ?,若 a∥b,则 tanα = ? 2 2?
________. [答案] - 3 3
2

sinα cos α 2 [解析] ∵a∥b,∴ = ,∴2cos α =-3sinα , 2 -3 ∴2sin α -3sinα -2=0, 1 ∵|sinα |≤1,∴sinα =- , 2 3 3 ? π π? ∵α ∈?- , ?,∴cosα = ,∴tanα =- . 2 2 2 3 ? ? 8.(文)(2012?西安五校第二次联考)梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,M,N 分别是 CD,
2

n AB 的中点,设AB=a,AD=b.若MN=ma+nb,则 =________. m







-4-

[答案] -4 1 1 1 1 n [解析] MN=MD+DA+AN=- a-b+ a= a-b,∴m= ,n=-1,∴ =-4. 4 2 4 4 m (理)已知 e1=(2,1),e2=(2,-1),点 P 的坐标(x,y)满足方程 -y =1,若OP=ae1+ 4 → → → →

x2


2

be2(a,b∈R,O 为坐标原点),则 a、b 满足的一个等式是________.
[答案] 4ab=1 → [解析] 因为 e1=(2,1),e2=(2,-1),所以OP=ae1+be2=a(2,1)+b(2,-1)=(2a,

a)+(2b,-b)=(2a+2b,a-b).
→ 因为点 P 的坐标为(x,y),所以OP=(x,y), 即?
? ?x=2a+2b ?y=a-b ?

.因为 x,y 满足方程 -y =1, 4
2

x2

2

所以

a+2b
4

-(a-b) =1,化简可得 4ab=1,

2

此即为 a、b 满足的一个等式 . 9.(文)(2011?北京朝阳区模拟)如图,在△ABC 中,D、E 分别是 BC、AC 的中点,F 为 → → → → →

AB 上一点,且AB=4AF,若AD=xAF+yAE,则 x=________,y=________.

[答案] 2 1 [解析]
-5-

→ → →



(如图)因为AD=AE+ED → → → 1 1 =AE+ AB=AE+ ?4AF 2 2 → → =AE+2AF. 所以 x=2,y=1. (理)(2011?江苏徐州市质检)在△ABC 中,过中线 AD 的中点 E 任作一条直线分别交 AB、 → 9 4 → → →

AC 于 M、N 两点,若AM=xAB,AN=yAC,则 4x+y 的最小值为________.
[答案] [解析]

→ → → → 1 1 如图所示,由题意知AD= (AB+AC),AE= AD, 2 2 又 M,E,N 三点共线, → → → → → → → 所以AE=λ AM+(1-λ )AN(其中 0<λ <1), 又AM=xAB,AN=yAC, → → → → 1 所以 (AB+AC)=λ xAB+(1-λ )yAC, 4
-6-



?4λ x=1, ? 因此有? ? -λ y=1, ?

1 解得 x= ,y= 4λ

1 -λ





1 =t,∴t>1, λ 1 -λ =t+

1 则 4x+y= + λ =(t-1)+ 1 t-

t t-

5 9 + ≥ , 4 4

3 2 当且仅当 t= ,即 λ = 时取得等号. 2 3 → → → 10.(文)已知 O(0,0)、A(2,-1)、B(1,3)、OP=OA+tOB,求 (1)t 为何值时,点 P 在 x 轴上?点 P 在 y 轴上?点 P 在第四象限? (2)四点 O、A、B、P 能否成为平行四边形的四个顶点,说明你的理由. → → → [解析] (1)OP=OA+tOB=(t+2,3t-1). 1 若点 P 在 x 轴上,则 3t-1=0,∴t= ; 3 若点 P 在 y 轴上,则 t+2=0,∴t=-2;
? ?t+2>0 若点 P 在第四象限,则? ?3t-1<0 ?

1 ,∴-2<t< . 3



→ → →

(2)OA=(2,-1),PB=(-t-1,-3t+4). 若四边形 OABP 为平行四边形,则OA=PB.
? ?-t-1=2 ∴? ?-3t+4=-1 ?

无解.

∴ 四边形 OABP 不可能为平行四边形. 同理可知,当 t=1 时,四边形 OAPB 为平行四边形,当 t=-1 时,四边形 OPAB 为平行 四边形. (理)(2011?杭州市质检)已知向量 a=(1,2),b=(cosα ,sinα ),设 m=a+tb(t 为实 数). π (1)若 α = ,求当|m|取最小值时实数 t 的值; 4 π (2)若 a⊥b,问:是否存在实数 t,使得向量 a-b 和向量 m 的夹角为 ,若存在,请求 4 出 t;若不存在,请说明理由.
-7-

π 2 2 3 2 [解析] (1)∵α = ,∴b=( , ),a?b= , 4 2 2 2 ∴|m|=
2

a+tb

2

= 5+t +2ta?b

2

= t +3 2t+5=

t+

3 2 2

2

1 + , 2

3 2 2 ∴当 t=- 时,|m|取到最小值,最小值为 . 2 2 π (2)由条件得 cos = 4 ∵|a-b|=

a-b a+tb , |a-b||a+tb|
2

a-b

= 6,|a+tb|=

a+tb

2

= 5+t ,(a-b)?(a+tb)=5-

2

t,
∴ 5-t 6 5+t
2 2



2 ,且 t<5, 2 -5±3 5 满足条件. 2 能力拓展提升 → → →

∴t +5t-5=0,∴存在 t=

11.(2011?湖南十二校第二次联考)平面上有四个互异的点 A、 B、 C、 D, 满足(AB-BC)?(AD → -CD)=0,则三角形 ABC 是( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 [答案] B → → → → →
2

) B.等腰三角形 D.等边三角形

→ →

[解析] (AB-BC)?(AD-CD) → → →
2

→ → → → → → →

=(AB-BC)?(AD+DC) =(AB-BC)?AC=(AB-BC)?(AB+BC) =|AB| -|BC| =0, → → 故|AB|=|BC|,即△ABC 是等腰三角形. 12.(2011?青岛模拟)如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=1,且∠B=90°,∠BCD → → → ) =135°,记向量AB=a,AC=b,则AD=(

-8-

A. 2a-(1+

2 )b 2 2 )b 2 2 )b 2

B.- 2a+(1+ C.- 2a+(1- D. 2a+(1- [答案] B [解析]

2 )b 2

根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形, 由∠BCD=135°, 得∠ACD=135°-45°=90°, 以 B 为原点,AB 所在直线为 x 轴,BC 所在直线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系,并作 DE ⊥y 轴于点 E,则△CDE 也为等腰直角三角形,由 CD=1,得 CE=ED= 2 ,则 A(1,0),B(0,0), 2

→ → → → → 2 2 2 2 C(0,1),D( ,1+ ),∴AB=(-1,0),AC=(-1,1),AD=( -1,1+ ),令AD=λ AB 2 2 2 2
-9-

→ +μ AC, 2 ? ?-λ -μ = 2 -1, 则有? 2 μ =1+ , ? ? 2 → ∴AD=- 2a+(1+ 13. 2 )b. 2

?λ =- 2, ? 得? 2 μ =1+ . ? 2 ?

→ → → → 2 1 2 (2012?江西八校联考)如图所示,设 P、Q 为△ABC 内的两点,且AP= AB+ AC,AQ= AB 5 5 3 → 1 + AC,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为________. 4 [答案] [分析] 4 5 因三角形的面积与底和高有关,所以可利用“同底三角形面积比等于高之比” → → 造平行四边形将面积比转化为向量长度的比解决. [解析] → → → → → → 2 1 根据题意,设AM= AB,AN= AC,则由平行四边形法则,得AP=AM+AN,且四 5 5 → 边形 AMPN 为平行四边形,于是 NP∥AB,所以 → → →



的结论 计算待求三角形的面积比. 题设条件中用AB和AC给出了点 P 和点 Q,故可利用AP和AQ构

S△ABP |AN| 1 S△ABQ 1 S△ABP 4 = = ,同理,可得 = .故 = . S△ABC → 5 S△ABC 4 S△ABQ 5 |AC|

3? ? 14.设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 c=2b,向量 m=?sinA, ?,n 2? ? =(1,sinA+ 3cosA),且 m 与 n 共线.

- 10 -

(1)求角 A 的大小; (2)求 的值. π? 3 ? [解析] (1)∵m∥n,∴sinA(sinA+ 3cosA)- =0,即 sin?2A- ?=1. 6? 2 ? π ? π 11π ? ∵A∈(0,π ),∴2A- ∈?- , . 6 ? 6 ? 6 ? π π π ∴2A- = .∴A= . 6 2 3 π (2)由余弦定理及 c=2b、A= 得, 3

a c

c π ?c? a2=? ?2+c2-2? ?ccos , 2

? ?

2

3

3 a 3 a2= c2,∴ = . 4 c 2 15.已知圆 C:(x-3) +(y-3) =4 及定点 A(1,1),M 为圆 C 上任意一点,点 N 在 MA 的 → → → (1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1),
? ?1-x0=2x-2, ∴? ?1-y0=2y-2, ?
2 2 2 2

延长线上,且MA=2AN,求动点 N 的轨迹方程. → [解析] 设 N(x,y),M(x0,y0),则由MA=2AN得,

即?

? ?x0=3-2x, ?y0=3-2y. ?
2 2

代入(x-3) +(y-3) =4,得 x +y =1. 16.设 a、b 是不共线的两个非零向量, → → → (1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证:A、B、C 三点共线; (2)若 8a+kb 与 k a+2b 共线,求实数 k 的值; → → α → β (3)设OM=ma,ON=nb,OP=α a+β b,其中 m、n、α 、β 均为实数,m≠0,n≠0,若 M、

P、N 三点共线,求证: + =1. m n
→ [解析] → -2AB, → → ∴AB与BC共线,且有公共端点 B,∴A、B、C 三点共线.
- 11 -



(1)∵AB=(3a+b)-(2a-b)=a+2b. 而BC=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=

(2)∵8a+kb 与 ka+2b 共线,∴存在实数 λ 使得 (8a+kb)=λ (ka+2b)? (8-λ k)a+(k-2λ )b=0,
?8-λ k=0, ? ∵a 与 b 不共线,∴? ? ?k-2λ =0.

? 8=2λ ? λ =±2,

2

∴k=2λ =±4. → → → → 1+λ → = 1+λ

(3)证法 1: ∵M、 P、 N 三点共线,∴存在实数 λ ,使得MP=λ PN, ∴OP=

OM+λ ON

m

a+

λ n b, 1+λ ∵a、b 不共线,

m ? ?α =1+λ , ∴? λ n ?β =1+λ ?

α β 1 λ ∴ + = + =1. m n 1+λ 1+λ

→ 由已知可得:xma+ynb=α a+β b, α β α β ∴x= ,y= ,∴ + =1.





证法 2:∵M、P、N 三点共线,∴OP=xOM+yON且 x+y=1,

m

n

m

n

1.(2012?江西七校联考)已知两不共线向量 a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ), 则下列说法不正确的是( A.(a+b)⊥(a-b) B.a 与 b 的夹角等于 α -β C.|a+b|+|a-b|>2 D.a 与 b 在 a+b 方向上的投影相等 [答案] B [解析] 注意到|a|=|b|=1,因此(a+b)?(a-b)=a -b =0,所以(a+b)⊥ (a-b); 注意到 α -β 未必属于(0,π ),因此 a,b 的夹角未必等于 α -β ;由三角形法则可知, |a+b|+|a-b| >1,于是有|a+b|+|a-b|>2;结合三角形法则 及一个向量在另一个向量上 2 的投影的意义可知,a,b 在 a+b 方向上的投影相等.综上所述,其中不正确的说法是 B,选 B. → → 2.(2011?深圳模拟)在平面直角坐标系中,O 为原点,设向量OA=a,OB=b,其中 a=
- 12 2 2

)

→ (3,1),b=(1,3).若OC=λ a+μ b,且 0≤λ ≤μ ≤1,C 点的所有可能位置区域用阴影表示 正确的是( )

[答案] A → [解析] OC=λ a+μ b=(3λ +μ ,λ +3μ ), → 令OC=(x,y),则 x-y=(3λ +μ )-(λ +3μ ) =2(λ -μ )≤0, ∴点 C 对应区域在直线 y=x 的上方,故选 A. → → → → 3.(2012?北京文)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则DE?CB的值 为________,DE?DC的最大值为________. [答案] 1 1 [解析] 本题考查平面向量的数量积,建立平面直角坐标系如图,则 B(1,0),C(1,1), → → →

D(0,1),设 E(x0,0),则CB=(0,-1),DC=(1,0),DE=(x0,-1 ),

- 13 -

→ → ∴DE?CB=(x0,-1)(0,-1)=1,
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

→ → ∴DE?DC=x0,而 0≤x0≤1, → → ∴DE?DC的最大值为 1. [点评] 将问题转化为坐标运算使问题迎刃而解. → → → → 4.已知 G 是△ABC 的重心,直线 EF 过点 G 且与边 AB、AC 分别交于点 E、F,AE=α AB,AF 1 1 =β AC,则 + =________. α β [答案] 3 → → → → 2 1 [解析] 连结 AG 并延长交 BC 于 D, ∵G 是△ABC 的重心, ∴AG= AD= (AB+AC), 设EG= 3 3 → λ GF, → → 1 λ ∴AG-AE=λ (AF-AG),∴AG= AE+ AF, 1+λ 1+λ → → → → 1 1 α λ β ∴ AB+ AC= AB+ AC, 3 3 1+λ 1+λ α 1 ? ?1+λ =3, ∴? λ β 1 ? ?1+λ =3, 1 3 ? ?α =1+λ , ∴? 1 3λ ? ?β =1+λ , → → → → → →

[来源:学科网]

1 1 ∴ + =3. α β

5.(2011? 衡阳期末)平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请解答下 列问题:

- 14 -

(1)求满足 a=mb+nc 的实数 m、n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求 d. [解析] (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1), 5 m= , ? ? 9 得? 8 n= . ? ? 9

?-m+4n=3, ? 所以? ?2m+n=2, ?

(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∵(a+kc)∥(2b-a), 16 ∴2?(3+4k)-(-5)?(2+k)=0,∴k=- . 13 (3)设 d=(x,y),则 d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4), 由题意得?
? ? ? ?x=3 ?y=-1 ? ? ?

x- x-
或?
2

- +

y- y-
2

=0 =5



解得?

? ?x=5 ?y=3 ?

,∴d=(3,-1)或 d=(5,3).

1 6.若 a,b 是两个不共线的向量,a 与 b 起点相同, 则当 t 为何值时,a,tb, (a+b) 3 三向量的终点在同一条直线上? 1 [解析] 设OA=a,OB=tb,OC= (a+b), 3 2 1 ∴AC=OC-OA=- a+ b, 3 3 → → → → → → → → →

AB=OB-OA=tb-a.
→ 2 1 即- a+ b=λ tb-λ a. 3 3 2 ? ?-3=-λ , ∴有? 1 ? ?3=λ t, → 要使 A、B、C 三点共线,只需AC=λ AB.
[来源:学科网 ZXXK]

2 ? ?λ =3, ?? 1 t= . ? ? 2

1 ∴当 t= 时,三向量终点在同一直线上. 2
- 15 -

- 16 -


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