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2013高考数学 解题方法攻略 数列3 理


数列的通项求法:
1

? an ? , 当an为偶数时, 已知数列 ?an ? 满足: a1=m (m 为正整数) an ?1 ? ? 2 , 若 a6=1 ,则 m ?3an ? 1, 当an为奇数时。 ?
所有可能的取值为__________。 .【答案】4 5 32

a1 a m m 为偶, 故 a2 ? a3

? 2 ? 2 2 2 4 m m m m ①当 仍为偶数时, a4 ? ??????a6 ? 故 ? 1 ? m ? 32 4 8 32 32 3 m ?1 m 3 4 ②当 为奇数时, a4 ? 3a3 ? 1 ? m ? 1 ?????? a6 ? 4 4 4 3 m ?1 故4 ? 1 得 m=4。 4 3m ? 1 (2)若 a1 ? m 为奇数,则 a2 ? 3a1 ? 1 ? 3m ? 1 为偶数,故 a3 ? 必为偶数 2 3m ? 1 3m ? 1 ,所以 =1 可得 m=5 ?????? a6 ? 16 16
【解析】 (1)若 a1 ? m 为偶数,则 2 数列{an}满足 a1=1, 答案: ? 3 若数列 ?an ? 有一个形如 an ? A sin(? n ? ? ) ? B 的通项公式,其中 A、B、?、? 均为实数,且
1 1 ? ? 1 ,则 a10= 1 ? an ?1 1 ? an





17 19

A ? 0,? ? 0,? ? π ,则 an ? 2
答案:4 3 sin 2π n ? π ? 1 3 3 2 4

▲ .(只要写出一个通项公式即可)

?

?

已知数列 ?an ? 的各项均为正数,若对于任意的正整数 p , q 总有 a p ? q ? a p ? aq ,且 a8 ? 16 , 则 a10 ? 答案 32 ; 5 在数列 {an } 中,已知 a1 ? 2 , a2 ? 3 ,当 n ? 2 时, an ?1 是 an ? an ?1 的个位数, ▲ .

-1-

则 a2010 ? 6



.4;

已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 0 ,若 a2 ? 3, a2 ? a3 ? a4 ? 21 ,则 a3 ? a4 ? a5 ? ▲ 7 已知数列 ?an } 满足, a1= ’ 2 ? 2, an+2= 1a .

an ? an ?1 ,n? N*. 2

? ? ? 令 bn ? an?1 ? an ,证明: {bn } 是等比数列;
(Ⅱ)求 ?an } 的通项公式。 8 在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? 9(四川卷 16) 设数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ?1 ? an ? n ? 1 ,则通项 an ? ______

1 n

n ? n ? 1? ? 1 _____。 2

10 ? 以 数 列 {an } 的 任 意 相 邻 两 项 为 坐 标 的 点 Pn (a n , a n ?1 )(n ? N ) 均 在 一 次 函 数

y ? 2 x ? k , (k ? 0) 的图象上,数列 {bn } 满足条件: bn ? an ?1 ? an (n ? N ? ) , ⑴求证:数列 {bn } 是等比数列; ⑵设数列 {an } 、 {bn } 的前 n 项和分别为 S n 、 Tn ,若 S 6 ? T4 , S 5 ? ?9 ,求 k 的值.
11 .设 ?a n ? 为等比数列, Tn ? na1 ? (n ? 1)a 2 ? ? 2a n ?1 ? a n ,已知 T1 ? 1 , T2 ? 4 。 (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的首项和通项公式; (Ⅱ)求数列 ?Tn ?的通项公式。
2 n ?1

12 设函数 f ( x) ? a1 ? a2 x ? a3 x ? ? ? an x 则数列 {an } 的通项 an 等于 13 数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1, an ?1 ? 2 S n (n ? N ) 。
*

, f (0) ?

1 2 * , 数列 {an } 满足 f (1) ? n an (n ? N ) , 2

1 n(n ? 1)

(1) 求数列 ?an ? 的通项 an ; (2) 求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn 。 14

-2-

若数列 an 的通项公式为 an ? 5 ? ? ? 第 y 项,则 x+y 等于 数列的前 n 项和求法: 公式法 1

??

? 2? ?5?

2n ? 2

? 2? ? 4?? ? ?5?

n ?1

(n ? N ? ) , an 的最大值为第 x 项,最小项为

??

等比数列 ?an ? 的公比 q ﹥0,已知 a1 ? 1 ? an ?1 ? am ?1 ? 6am ,则 ?an ? 的前四项和是 2. 设曲线 y ? x n ?1 (n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,令 an ? lg xn ,则

a1 ? a2 ? ? ? a99 的值为
答案:-2 3

.

设曲线 y ? x n ?1 (n ? N * ) 在点 (1, 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,则 x1 ? x2 ? ? ? xn 的 1) 值为

1 n ?1
4 对正数 n, 设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an , 则数列 { 前 n 项和的公式是 S n =______________ 5 当 x > 1 , g?x? 表 示 把 x “ 四 舍 五 入 ” 到 个 位 的 近 似 值 , 如

an } 的 n ?1

g ? 0.48 ? =0,g
?1 Mn ? ? k | g ?2
周期法

? 2 ? =1,g ? 2.76 ? =3,g ? 4 ? =4,?,
? k ? ? n, k ? N
?



n

为 正 整 数 时 , 集 合

? ? 中所有元素之和为 S n ,则 S5 ? ?

.

4.已知数列{a n }满足a1 ? 2, a n ?1 ?

1 ? an (n ? N * ), 则连乘积a1 a 2 a3 ? a 2009 a 2010的值为 1 ? an

2 ? 在数列 ?an ? 中, 若对任意的 n 均有 an ? an ?1 ? an ? 2 为定值 n ? N )且 a7 ? 2, a9 ? 3, a98 ? 4 , ( , 则此数列 ?an ? 的前 100 项的和 S100 ? 分组求和 1 已知数列 ? xn ? 的首项 x1 ? 3 ,通项 xn ? 2 p ? nq ( n ? N , p, q 为常数) ,且 x1 , x4 , x5 成等
n
?

.299

差数列,求: (Ⅰ) p, q 的值; (Ⅱ)数列 ? xn ? 的前 n 项的和 S n 的公式。

-3-

a n 与 s n 的关系 已 知 数 列

{a n }, {bn }





n











An , Bn , 且A 1000 ? 5,B1000 ? 402,记C n ? a n B n ? bn An ? a n bn (n ? N * ), 则数列 {c n } 的前
1000 项的和为 2010 拆项法 .已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,点 (n, S n )(n ? N ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 b n ? 正整数 m; 数列的单调性问题 1 通项公式为 an ? an ? n 的数列 ?an ? ,若满足 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,且 an ? an ?1 对 n ? 8 恒
2

?

m 3 ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的最小 20 a n a n ?1

成立,则实数 a 的取值范围是______▲_______. (? , ? 2 已知数列 {a n } 是等比数列, S n 为其前 n 项和.

1 9

1 ) 17

(1)若 S 4 , S10 , S 7 成等差数列,证明 a1 , a7 , a4 也成等差数列; (2)设 S3 ? 范围.

3 21 2 , S6 ? , bn ? ? an ? n ,若数列 {bn } 是单调递减数列,求实数 ? 的取值 2 16

解:设数列 {a n } 的公比为 q , 因为 S 4 , S10 , S 7 成等差数列,所以 q ? 1 ,且 2 S10 ? S 4 ? S 7 . 所以

2a1 1 ? q 10 a 1? q4 a 1? q7 ? 1 ? 1 , 1? q 1? q 1? q
3 6

?

?

?

?

?

?

因为 q ? 0 ,所以 1 ? q ? 2q . …………………………………………4 分 所以 a1 ? a1q ? 2a1q ,即 a1 ? a4 ? 2a7 .
3 6

所以 a1 , a7 , a4 也成等差数列. ………………………………………………6 分

-4-

(2)因为 S3 ? 所以

a1 1 ? q 3 3 ? ,……………………① 1? q 2

?

3 21 , S6 ? , 2 16

?

a1 1 ? q 6 21 ,……………………② ? 1? q 16
由② ? ①,得 1 ? q ?
3

?

?

7 1 ,所以 q ? ? ,代入①,得 a1 ? 2 . 8 2
, ………………………………………………………8 分
n ?1

所以 a n ? 2 ? ? ?

? 1? ? ? 2?

n ?1

? 1? 又因为 bn ? ?a n ? n ,所以 bn ? 2? ? ? ? ? 2?
2

? n2 ,

由题意可知对任意 n ? N ,数列 {bn } 单调递减,
*

所以 bn ?1

? 1? ? 1? 2 ? bn ,即 2? ? ? ? ? ?n ? 1? ? 2? ? ? ? ? 2? ? 2?
n

n

n ?1

? n2 ,

即 6? ? ?

? 1? * ? ? 2n ? 1 对任意 n ? N 恒成立, ………………………………10 分 ? 2?

当 n 是奇数时, ? ? ? 所以 ? ? ?1 ;

(2n ? 1)2n (2n ? 1)2n ,当 n ? 1时 , ? 取得最大值-1, 6 6

………………………………………………………………12 分

10 (2n ? 1)2n (2n ? 1)2n 当 n 是偶数时, ? ? ,当 n ? 2时 , 取得最小值 , 3 6 6
所以 ? ?

10 . 3 10 10 ,即实数 ? 的取值范围是 (?1, ) .…………14 分 3 3

综上可知, ?1 ? ? ?

新型数列的研究
1 设 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,若 (1)若数列 2
n

? b ? 是首项为 2,公比为 4 的等比数列,试判断数列 ?b ? 是否为“和等比数列”;
n

S 2n * ( n ? N )是非零常数,则称该数列为“和等比数列”. Sn

(2)若数列 ?cn ? 是首项为 c1 ,公差为 d (d ? 0) 的等差数列,且数列 ?cn ? 是“和等比数列”, 试探究 d 与 c1 之间的等量关系

-5-

解:因为数列 2

? b ? 是首项为 2,公比为 4 的等比数列,所以 2 b ? 2 ? 4
n
n

n ?1

? 22 n ?1 ,

因此 bn ? 2n ? 1 .…………………………………分 设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则 Tn ? n , T2 n ? 4n ,所以
2 2

因此数列 ?bn ? 为“和等比数列”.………………………………………………6 分 (2) 设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Rn ,且

T2 n ?4, Tn

R2 n ? k (k ? 0) , Rn n(n ? 1) 2n(2n ? 1) 因为数列 ?cn ? 是等差数列,所以 Rn ? nc1 ? d , R2 n ? 2nc1 ? d, 2 2 2n(2n ? 1) d R2 n 2nc1 ? 2 所以 ? ? k 对于 n ? N* 都成立, n(n ? 1) Rn nc1 ? d 2 化简得, (k ? 4)dn ? (k ? 2)(2c1 ? d ) ? 0 ,……………………………………10 分
则?

?(k ? 4)d ? 0, ,因为 d ? 0 ,所以 k ? 4 , d ? 2c1 , ?(k ? 2)(2c1 ? d ) ? 0
……………………………………14 分
?

因此 d 与 c1 之间的等量关系为 d ? 2c1 . 2

设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q (n ? N , P ? 0) 。数列 {bn } 定义如下:对于正整数 m,

bm 是使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值。
(Ⅰ)若 p ?

1 1 , q ? ? ,求 b3 ; 2 3

(Ⅱ)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2m 项和公式; (Ⅲ)是否存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如果 不存在,请说明理由。 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题. (Ⅰ)由题意,得 an ? ∴
?

1 1 1 1 20 n ? ,解 n ? ? 3 ,得 n ? . 2 3 2 3 3

1 1 n ? ? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b3 ? 7 . 2 3

(Ⅱ)由题意,得 an ? 2n ? 1 , 对于正整数,由 an ? m ,得 n ?

m ?1 . 2

根据 bm 的定义可知 当 m ? 2k ? 1 时, bm ? k k ? N * ;当 m ? 2k 时, bm ? k ? 1 k ? N * .
-6-

?

?

?

?

∴ b1 ? b2 ? ? ? b2 m ? ? b1 ? b3 ? ? ? b2 m ?1 ? ? ? b2 ? b4 ? ? ? b2 m ?

? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? m ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? m ? 1? ? ? ?

?

m ? m ? 1? m ? m ? 3? ? ? m 2 ? 2m . 2 2 m?q . p

(Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ?
?

∵ bm ? 3m ? 2(m ? N ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

3m ? 1 ?

m?q ? 3m ? 2 ,即 ?2 p ? q ? ? 3 p ? 1? m ? ? p ? q 对任意的正整数 m 都成立. p p?q 2p ? q (或 m ? ? ) , 3 p ?1 3 p ?1

当 3 p ? 1 ? 0 (或 3 p ? 1 ? 0 )时,得 m ? ? 这与上述结论矛盾! 当 3 p ? 1 ? 0 ,即 p ?

1 2 1 2 1 时,得 ? ? q ? 0 ? ? ? q ,解得 ? ? q ? ? . 3 3 3 3 3
?

∴ 存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ) ; p 和 q 的取值范围分别是 p ? 3 设 集 合 W 是 满 足 下 列 两 个 条 件 的 无 穷 数 列 {an } 的 集 合 : ① ② an ? M . 其中n ? N* , M 是与 n 无关的常数. (1)若{ an }是等差数列, Sn 是其前 n 项的和, a3 =4, S3 =18,试探究 {Sn } 与集合 W 之间的 关系; (2)设数{ bn }的通项为 bn ? 5n ? 2n , 且{bn } ? W ,求 M 的取值范围;(4 分) 4 定义: 在数列{an}中, an2-an-12=p, 若 (n≥2, n∈N*, 为常数) 则称{an}为“等方差数列”. p , 下 列是对“等方差数列”的有关判断: ①若{an}是“等方差数列”,则数列{an2}是等差数列; ②{(-1)n}是“等方差数列”; ③若{an}是“等方差数列”,则数列{akn}(k∈N*,k 为常数)也是“等方差数列”; ④若{an}既是“等方差数列”,又是等差数列,则该数列是常数数列. 其中判断正确的序号是 .

1 2 1 ,? ? q ? ? 3 3 3
an ? an ? 2 ? an ?1 ; 2

-7-

5. 已知数集 A ? ?a1 , a2 ,? an ??1 ? a1 ? a2 ? ? an , n ? 2 ? 具有性质 P ;对任意的

i, j ?1 ? i ? j ? n ? , ai a j 与

aj ai

两数中至少有一个属于 A .

(Ⅰ)分别判断数集 ?1,3, 4? 与 ?1, 2,3, 6? 是否具有性质 P ,并说明理由; (Ⅱ)证明: a1 ? 1 ,且

a1 ? a2 ? ? ? an ? an ; ? ? a1?1 ? a2 1 ? ? ? an 1

(Ⅲ)证明:当 n ? 5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等比数列. 【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式的综合题,属于较难层次题. (Ⅰ)由于 3 ? 4 与

4 均不属于数集 ?1,3, 4? ,∴该数集不具有性质 P. 3 6 6 1 2 3 6 由于 1? 2,1? 3,1? 6, 2 ? 3, , , , , , 都属于数集 ?1, 2,3, 6? , 2 3 1 2 3 6
an 中至少有一个属于 A, an

∴该数集具有性质 P. (Ⅱ)∵ A ? ?a1 , a2 ,? an ? 具有性质 P,∴ an an 与

由于 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ,∴ an an ? an ,故 an an ? A . 从而 1 ?

an ? A ,∴ a1 ? 1 . an

∵ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an , ∴ ak an ? an ,故 ak an ? A ? k ? 2,3,? , n ? . 由 A 具有性质 P 可知

an ? A ? k ? 1, 2,3,? , n ? . ak

又∵

an a a a ? n ??? n ? n , an an ?1 a2 a1



an a a a ? 1, n ? a2 ,? n ? an ?1 , n ? an , an an ?1 a2 a1 an a a a ? n ? ? ? n ? n ? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? an , an an ?1 a2 a1

从而



a1 ? a2 ? ? ? an ? an . ? ? a1?1 ? a2 1 ? ? ? an 1
-8-

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 n ? 5 时,有

a5 a 2 ? a2 , 5 ? a3 ,即 a5 ? a2 a4 ? a3 , a4 a3

∵ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ,∴ a3 a4 ? a2 a4 ? a5 ,∴ a3 a4 ? A , 由 A 具有性质 P 可知

a a a4 a 2 ? A a2 a4 ? a3 ,得 3 ? 4 ? A ,且1 ? 3 ? a2 , a3 a2 a3 a2



a4 a3 ? ? a2 , a3 a2
∴ .

a5 a4 a3 a2 ? ? ? ? a2 ,即 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是首项为 1,公比为 a2 成等比数列. a4 a3 a2 a1

等差数列 等差数列及性质 1 设 x ? R, 记不超过 x 的最大整数为[ x ],令{ x }= x -[ x ],则 { A.是等差数列但不是等比数列 C.既是等差数列又是等比数列 2 记等差数列的前 n 项和为 S n ,若 S 2 ? 4, S 4 ? 20 ,则该数列的公差 d ? ( B ) A、2 3 已知 ?an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= 4 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于 5 已知 ?an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= d=- 6 2 B、3 C、6 D、7
5 ?1 5 ?1 5 ?1 },[ ], 2 2 2

B.是等比数列但不是等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

1 2

-9-

已知等差数列 {a n } 中, a 7 ? a9 ? 16, a 4 ? 1 ,求 a12 的值 7 已知{an}为等差数列,a3 + a8 = 22,a6 = 7,则 a5 = ____________15 8 设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于 9 已知数列 ?an ? 为等差数列,若 10 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a5 ? 5a3 则
a5 ? ?1 ,则数列 ? an ? 的最小项是第 a6

▲ 项.

S9 ? S5

9

.

解:? ?an ? 为等差数列,? 11 已知 12 为等差数列,

S9 9a5 ? ?9 S5 5a3

,则

等于

等差数列 {an } 中,若 a1 ? a2 ? 4 , a9 ? a10 ? 36 , 则 S10 ? 13 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n 。若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 ? _______________. 14 2 .在等差数列{ an }中, a2, a16是方程x ? 6 x ? 1 ? 0的两根, a5 ? a6 ? a9 ? a12 ? a13 ? 则 15 知数列 ?an ? 为等差数列,且 a1 ? a7 ? a13 ? 4? ,则 tan(a2 ? a12 ) ? ________. 16 已知 {an } 是等差数列, a1 ? a2 ? 4 , a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等于( B ) A.64 17 已知 an ? B.100 C.110 D.120 . ▲ . 100

3 ? n ? N* ? ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,则使 Sn ? 0 的 n 的最小值是 2n ? 11

18

- 10 -

已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6 , a5 ? 15 ,若 bn ? a2 n ,则数列 ?bn ? 的前 5 项和等于 19 在数列 {an } 在中, n ? 4n ? a -1

5 * 2 , 1 ? a2 ? ? an ? an ? bn , ? N ,其中 a, b 为常数, ab ? 则 n a 2

- 11 -


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