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高中数学必修2必修4知识点总结


高中数学必修 2 知识点总结
第一章 立体几何初步 ' 1.几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线) 1 1 S直棱柱侧面积 ? ch S 正棱锥侧面积 ? ch ' S正棱台侧面积 ? (c1 ? c2 )h' 2 2 S圆锥侧面积 ? ?rl S圆柱侧 ? 2?rh S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?
S圆锥表 ? ?r ?r ? l ?
S圆台侧面积 ? (r ? R)?l

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2

?

?

2.柱体、锥体、台体的体积公式 1 V柱 ? Sh V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

V圆柱 ? Sh ? ? r 2 h

1 V锥 ? Sh 3

1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

1 1 V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R2 )h 3 3

V 球 = 4? R
3

3

S 球面 = 4? R 2

第二章 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系
公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 符号表示为 A∈L A B∈L => L α α 〃 L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内. 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B 〃 α 〃 C 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 〃 使 A∈α、B∈α、C∈α。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且 P∈L β 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据. P α 〃 L 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。
-1-

等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. ? 两条异面直线所成的角θ∈(0, 2 ); 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; 2.直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α来表示

a

α

a∩α=A

a∥α

3.直线与平面平行的判定
直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此 平面平行。 符号表示: a α b β => a∥α a∥b

4.平面与平面平行的判定
两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平 行。 符号表示: a β b β a∩b = P a∥α b∥α

β∥α

5.直线与平面、平面与平面平行的性质
直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平 面的交线与该直线平行。 符号表示: a ∥α a β α∩β= b

a∥b

两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线 平行。 符号表示:
-2-

α∥β α∩γ= a β∩γ= b

a∥b

6.直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与 此平面垂直。

7.平面与平面垂直的判定
两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。

8.直线与平面、平面与平面垂直的性质
直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 两个平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面 垂直。

第三章 直线与方程
1.直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行 或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α<180° 2.直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常 用 k 表示。即 k ? tan ? 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
? ? 当 ? ? 0 ,90 时, k ? 0 ; 在。

?

?

? ? 当 ? ? 90 ,180 时, k ? 0 ;

?

?

当 ? ? 90 时, k 不存
?

②过两点的直线的斜率公式: k ?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

( P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2)

3.直线方程 点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b 两点式: 截矩式:

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ? 1 其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的 a b

截距分别为 a , b 。 一般式: Ax ? By ? C

? 0 (A,B 不全为 0)
平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ;

平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ; 4.两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2
-3-

l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1
5.两条直线的交点

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交
A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 的一组解。 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
方程组无解 ? l1 // l 2 ; 方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合 6.两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 则 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 B x2 , y2) 7. 点 到 直 线 距 离 公 式 : 一 点 P?x0 , y0 ? 到 直 线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的 距 离

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

第四章 圆与方程
1.标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,圆心
2 2

?a, b ? ,半径为 r;

点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的位置关系: 当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在圆外
2

当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r ,点在圆上
2

当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在圆内
2

2.一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

D E ? ,半径为 r ? 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? ? ,? ?
2 2

?

2

2?

2

当 D ? E ? 4F ? 0 时,表示一个点;
2 2 2 2

当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。 3.直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离为
d? Aa ? Bb ? C ,则有 d A2 ? B 2

? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交

4.圆与圆的位置关系:两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大 小比较来确定。 设圆 C1 : ?x ? a1 ?2 ? ? y ? b1 ?2 ? r 2 , C2 : ?x ? a2 ?2 ? ? y ? b2 ?2 ? R 2 当 d ? R ? r 时两圆外离 当 d ? R ? r 时两圆外切 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交 当 d ? R ? r 时,两圆内切 当 d ? R ? r 时,两圆内含

高中数学必修 4 知识点总结
-4-

第一章

三角函数

1.角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的正方向重合,终边落在第几象限,则称 ? 为 第几象限角. 2.半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? 3.弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ?

l . r

?
180

,1 ? ?

? 180 ? ? ? 57.3 . ? ? ?

4.设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点的距离是

r r ? x 2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

5.三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正, 第四象限余弦为正.
2 2 2 2 6.三角函数的基本关系: ?1? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 sin ? ? 1 ? cos ? , cos ? ? 1 ? sin ? ;

?

?

? 2?

sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

7.三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? .
?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
? 5? sin ? ?
? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

?

8.函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ? 2?
y ? tan x
-5-

y ? sin x

y ? cos x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

??1,1?
当 x ? 2 k? ? 时 ,

??1,1?
? k ? ??
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

R

?
2

最 值

ymax ? 1 ; 当

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

x ? 2 k? ?

?
2

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
2?

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
周 期 性 奇 偶 性

2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

在 ? 2k? ? 单 调 性

? ?

?
2

, 2k? ?

??
2? ?
在 ?2k? ? ? ,2k? ? ? k ??? 上 是 增 函 数 ; 在 在 ? k? ?

? k ? ? ? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2 ? ?

?2k? ,2k? ? ? ?
? k ? ? ? 上是减函数.
对 称 中 心

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 ? k? ,0?? k ??? 对 称 性 对 称 轴 对 称 中 心

x ? k? ?

?
2

?k ? ??

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ?? ?

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

9. y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,
-6-

得到 y ? sin ? x ? ? ? 的图象; 再将 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 得到 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象; 再将 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) , 得到 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象.

1

?

倍(纵坐标不变) ,

第二章 平面向量 1.向量:既有大小,又有方向的量. 2.有向线段的三要素:起点、方向、长度. 3.零向量:长度为 0 的向量. 4.单位向量:长度等于 1个单位的向量. 5.平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 6.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 7.向量加法运算: ⑴三角形法则 ⑵平行四边形法则

8.加法坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 9.减法坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 10.设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

?a ? ? a ;②当 ? ? 0 时,? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时,? a 的方向与 a 的

方向相反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 .

11.平面向量基本定理:如果 e1 、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内
-7-

的任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . 12. a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 . 13.设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 . 14.两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 . 15. a ? ? x, y ? , a ?

?

?

x2 ? y 2 .

16. a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 . 17. a ? ? x1 , y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? ,? 是 a 与 b 的夹角,则 cos ? ?

a ?b a b

?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 x2 ? y2



第三章 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

三角恒等变换

⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

⑹ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

2.二倍角的正弦、余弦和正切公式:

sin 2? ? 2sin ? cos ?
cos 2 ? ? cos 2? ? 1 2

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
sin 2 ? ? 1 ? cos 2? 2

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

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