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天津市宝坻区六校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析


天津市宝坻区六校联考 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)过点(﹣1,3)且平行于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为() A.x﹣2y+7=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y﹣5=0 D.2x+y﹣5=0

2. (5 分)若点(1,a)到直线 x﹣y+1=0 的距离是 A

.﹣1 B. 5

,则实数 a 为() D.﹣3 或 3

C . ﹣1 或 5

3. (5 分)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是() A.若 m∥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m⊥n B. 若 α⊥β,m∥n 且 n⊥β,则 m∥α C. 若 m?α,n?β 且 m∥n,则 α∥β D.若 m⊥α,n⊥β 且 m⊥n,则 α⊥β 4. (5 分)已知点 A 的坐标(1,0) ,点 B 在直线 y=﹣x 上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的 坐标为() A.(0,0) B.( ,﹣ ) C. ( ,﹣ ) D.(﹣ , )

5. (5 分)底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱,则棱长均为 a 的正三棱 柱外接球的表面积为() A. a
2

B.

a

2

C.

a

2

D.πa

2

6. (5 分)如图是一个几何体的三视图,若该几何体的体积为 ,则主视图中三角形的高 x 的

值为() A. B. C. 1 D.

7. (5 分)两圆相交于点 A(1,3) 、B(m,﹣1) ,两圆的圆心均在直线 x﹣y+c=0 上,则 m+c 的值为() A.﹣1 B. 2 C. 0 D.3 8. (5 分)若曲线 y= 与直线 kx﹣y+1=3k 有交点,则 k 的取值范围是()

A.[0, ]

B.(﹣∞,0)∪[ ,+∞)

C. (0, ) D. (﹣

∞,0) )∪( ,+∞)

二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 9. (4 分)若 A(1,﹣2,1) ,B(2,2,2) ,点 P 在 z 轴上,且|PA|=|PB|,则点 P 的坐标为. 10. (4 分)直线 3x﹣4y+k=0 在两坐标轴上的截距之和为 2,则实数 k=. 11. (4 分)按照斜二测画法得到,一个平面图形的直观图为腰长为 2 的等腰直角三角形,则 这一平面图形的面积为. 12. (4 分)已知圆 x +y =4,直线 l:y=x+b,当圆上由 2 个点到直线 l 的距离为 1,则 b 的取 值范围为. 13. (4 分)将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A﹣BD﹣C,有如下四个结论: ①AC⊥BD; ②△ ACD 是等边三角形; ③AB 与平面 BCD 成 60°的角; ④AB 与 CD 所成的角为 60°; 其中正确结论是(写出所有正确结论的序号) 14. (4 分)若圆 C:x +y ﹣4y+3=0,关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点(a,b)向圆所作 的切线长的最小值为.
2 2 2 2

三、解答题(共 56 分) 15. (10 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 为 AB 的中点 (1)求证:AC⊥BC1; (2)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.

16. (10 分)已知圆 C: (x﹣1) +y =9 内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点. (1)当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (写一般式) (2)当直线 l 的倾斜角为 45°时,求弦 AB 的长. 17. (12 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PD⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 是菱形, ∠BAD=60°, O 为 AC 与 BD 的交点,E 为 PB 上任意一点. (1)证明:平面 EAC⊥平面 PBD; (2)若 PD∥平面 EAC,PD= ,AD=2,求二面角 B﹣AE﹣C 的大小.

2

2

18. (12 分)已知圆 C 的方程:x +y ﹣2x﹣4y+m=0. (1)求 m 的取值范围; (2)若圆 C 与直线 l:x+2y﹣4=0 相交于 M,N 两点,且|MN|= ,求 m 的值.

2

2

(3)若(1)中的圆与直线 x+2y﹣4=0 相交于 M、N 两点,且 OM⊥ON(O 为坐标原点) , 求 m 的值. 19. (12 分)如图(1) ,在三角形 ABC 中,BA=BC=2 ,∠ABC=90°,点 O,M,N 分别为 线段的中点, 将 ABO 和 MNC 分别沿 BO, MN 折起, 使平面 ABO 与平面 CMN 都与底面 OMNB 垂直,如图(2)所示. (1)求证:AB∥平面 CMN; (2)求平面 ACN 与平面 CMN 所成角的余弦; (3)求点 M 到平面 ACN 的距离.

天津市宝坻区六校联考 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)过点(﹣1,3)且平行于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为() A.x﹣2y+7=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y﹣5=0 D.2x+y﹣5=0 考点: 直线的一般式方程;两条直线平行的判定. 专题: 计算题. 分析: 由题意可先设所求的直线方程为 x﹣2y+c=0 再由直线过点(﹣1,3) ,代入可求 c 的 值,进而可求直线的方程 解答: 解:由题意可设所求的直线方程为 x﹣2y+c=0 ∵过点(﹣1,3) 代入可得﹣1﹣6+c=0 则 c=7 ∴x﹣2y+7=0 故选 A. 点评: 本题主要考查了直线方程的求解,解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的 直线方程 x﹣2y+c=0.

2. (5 分)若点(1,a)到直线 x﹣y+1=0 的距离是 A.﹣1 B. 5

,则实数 a 为() D.﹣3 或 3

C . ﹣1 或 5

考点: 点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 由点到直线的距离公式进行解答,即可求出实数 a 的值. 解答: 解:点(1,a)到直线 x﹣y+1=0 的距离是 ∴ = ; ,

即|a﹣2|=3, 解得 a=﹣1,或 a=5, ∴实数 a 的值为﹣1 或 5. 故选:C. 点评: 本题考查了点到直线的距离公式的应用问题,解题时应熟记点到直线的距离公式, 是基础题. 3. (5 分)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是() A.若 m∥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m⊥n B. 若 α⊥β,m∥n 且 n⊥β,则 m∥α C. 若 m?α,n?β 且 m∥n,则 α∥β D.若 m⊥α,n⊥β 且 m⊥n,则 α⊥β

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 探究型;空间位置关系与距离. 分析: 对选项分别进行判断,即可得出结论. 解答: 解:若 m∥α,n⊥β 且 α⊥β,则平行,相交或异面,故 A 不正确; 若 α⊥β,m∥n 且 n⊥β,则 m∥α 或 m?α,故 B 不正确; 根据面面平行的判定定理,可得 C 不正确; 根据平面与平面垂直的判定定理,可得 D 正确, 故选 D. 点评: 本题考查空间中直线与平面之间的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,比较 基础. 4. (5 分)已知点 A 的坐标(1,0) ,点 B 在直线 y=﹣x 上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的 坐标为() A.(0,0) B.( ,﹣ ) C. ( ,﹣ ) D.(﹣ , )

考点: 专题: 分析: 解答:

两点间距离公式的应用. 计算题;直线与圆. 垂线段最短,确定 B 点位置;解直角三角形求解. 解: 作 AB⊥直线 y=﹣x 于点 B. 易知△ OAB 为等腰直角三角形, ∠AOB=45°, OA=1.

作 BC⊥x 轴于点 C,可得 OC= OA= ,BC=OC= . ∴当线段 AB 最短时,点 B 的坐标为( ,﹣ ) . 故选:B.

点评: 本题应用的知识点为:垂线段最短以及等腰三角形的底边上的高与中线互相重合等. 5. (5 分)底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱,则棱长均为 a 的正三棱 柱外接球的表面积为() A. a
2

B.

a

2

C.

a

2

D.πa

2

考点: 专题: 分析: 积. 解答:

棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 计算题;空间位置关系与距离. 由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心,求出球的半径,即可求出球的表面 解:根据题意条件可知三棱柱是棱长都为 a 的正三棱柱,

设上下底面中心连线 EF 的中点 O,则 O 就是球心, 则其外接球的半径为 OA1,又设 D 为 A1C1 中点, 在直角三角形 EDA1 中,EA1= , ,

在直角三角形 ODA1 中,OE= ,由勾股定理 R=OA1= ∴球的表面积为 S=4π? 故选:C. = .

点评: 本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空 间形象能力.

6. (5 分)如图是一个几何体的三视图,若该几何体的体积为 ,则主视图中三角形的高 x 的

值为() A. B. C. 1 D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知:该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,求出底面面积,结合体 积,构造关于高的方程,进而可得该几何体的高. 解答: 解:由三视图知:该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,高为 x, 底面分别是边长为 1 的正方形与直角边长为 1 的等腰直角三角形, ∴几何体的体积 V= ×(1 + ×1×1)×x= , ∴x= . 故选:B.
2

点评: 本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积或表面积,由三视图正确恢复原几何 体是解题的关键. 7. (5 分)两圆相交于点 A(1,3) 、B(m,﹣1) ,两圆的圆心均在直线 x﹣y+c=0 上,则 m+c 的值为() A.﹣1 B. 2 C. 0 D.3 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: 由已知中两圆相交于点 A(1,3) 、B(m,﹣1) ,两圆的圆心均在直线 x﹣y+c=0 上, 我们易得到直线 x﹣y+c=0 为线段 AB 的垂直平分线, 即直线 AB 与直线 x﹣y+c=0 的斜率乘积 为﹣1,且 AB 的中点落在直线 x﹣y+c=0 上,求出 m,c 后,即可得到答案. 解答: 解:∵两圆的圆心均在直线 x﹣y+c=0 上,则直线 x﹣y+c=0 为线段 AB 的垂直平分 线, 即 KAB=﹣1= ,解得 m=5.

由 AB 的中点(3,1)在直线 x﹣y+c=0 上,可得 3﹣1+c=0,解得 c=﹣2,∴m+c=3, 故答案为:3. 点评: 本题考查的知识点是圆与圆的位置关系,直线与直线垂直的斜率关系,其中根据已 知判断出直线 x﹣y+c=0 为线段 AB 的垂直平分线,是解答本题的关键,属于基础题. 8. (5 分)若曲线 y= A.[0, ] 与直线 kx﹣y+1=3k 有交点,则 k 的取值范围是() B.(﹣∞,0)∪[ ,+∞) C. (0, ) D. (﹣

∞,0) )∪( ,+∞)

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 曲线 y= 表示半圆,直线 kx﹣y+1=3k 恒过定点(3,1) ,求出过点(3,1) ,

(1,0)的直线的斜率,即可得到结论. 解答: 解:曲线 y= 表示半圆,直线 kx﹣y+1=3k 恒过定点(3,1)

又过点(3,1) , (1,0)的直线的斜率为 , ∴曲线 y= 与直线 kx﹣y+1=3k 始终有交点时,k 的取值范围为[0, ].

故选 A. 点评: 本题考查学生掌握直线与圆的位置关系的判别方法,考查学生的计算能力,属于中 档题. 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 9. (4 分)若 A(1,﹣2,1) ,B(2,2,2) ,点 P 在 z 轴上,且|PA|=|PB|,则点 P 的坐标为 (0,0,3) . 考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 由点 P 在 z 轴上且到 A、B 两点的距离相等,可设出点 P(0,0,z) ,由两点间的距 离公式建立方程求解即可得到点 M 的坐标. 解答: 解:设 P(0,0,z) ,由|PA|=|PB|,得 1+4+(z﹣1) =4+4+(z﹣2) , 解得 z=3, 故点 P 的坐标为(0,0,3) , 故答案为: (0,0,3) . 点评: 本题考点是点线面间的距离计算,考查用两点间距离公式建立方程求参数,两点间 距离公式是一个重要的把代数与几何接合起来的结合点,通过它进行数形转化. 10. (4 分)直线 3x﹣4y+k=0 在两坐标轴上的截距之和为 2,则实数 k=﹣24. 考点: 专题: 分析: 解答: 直线的截距式方程. 直线与圆. 根据直线 3x﹣4y+k=0 的方程,分别令 x,y 分别为 0,可得截距,进而可得答案. 解:因为直线的方程为:3x﹣4y+k=0,
2 2

令 x=0,可得 y= ,令 y=0,可得 x=﹣ , 故直线在两坐标轴上的截距之和为 =2,解得 k=﹣24.

故答案为:﹣24. 点评: 本题考查直线的一般式方程与直线的截距式方程,涉及截距的求解,属基础题. 11. (4 分)按照斜二测画法得到,一个平面图形的直观图为腰长为 2 的等腰直角三角形,则 这一平面图形的面积为 4 . 考点: 平面图形的直观图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 可根据直观图和原图面积之间的比例关系 单,也可作出原图,直接求面积. 解答: 解:由题意,直观图的面积为 ×2×2=2, = 求解,这样计算出来比较简

因为直观图和原图面积之间的关系为

=



故原△ ABO 的面积是 4 , 故答案为:4 点评: 本题考查斜二测画法及斜二测画法中原图和直观图面积之间的联系,考查作图能力 和运算能力,是一个基础题. 12. (4 分)已知圆 x +y =4,直线 l:y=x+b,当圆上由 2 个点到直线 l 的距离为 1,则 b 的取 值范围为(﹣3 ,﹣ )∪( ,3 ) . 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 由题意可得圆心(0,0)到直线 l:y=x+b 的距离 d 满足 1<d<3.根据点到直线的 距离公式求出 d,再解绝对值不等式求得实数 b 的取值范围. 解答: 解:由题意可得圆心(0,0)到直线 l:y=x+b 的距离 d 满足 1<d<3, 由于 d= ,∴1< <3,即 <|b|<3 ,
2 2

解得 b∈(﹣3 ,﹣ )∪( ,3 ) , 故答案为: (﹣3 ,﹣ )∪( ,3 ) . 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,绝对值不等式的解法, 属于基础题. 13. (4 分)将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A﹣BD﹣C,有如下四个结论: ①AC⊥BD; ②△ ACD 是等边三角形; ③AB 与平面 BCD 成 60°的角; ④AB 与 CD 所成的角为 60°; 其中正确结论是①②④(写出所有正确结论的序号)

考点: 与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 计算题;证明题;压轴题. 分析: 作出此直二面角的图象,由图形中所给的位置关系对四个命题逐一判断,即可得出 正确结论. 解答: 解: 作出如图的图象, 其中 A﹣BD﹣C=90°, E 是 BD 的中点, 可以证明出∠AED=90° 即为此直二面角的平面角 对于命题①,由于 BD⊥面 AEC,故 AC⊥BD,此命题正确; 对于命题②,在等腰直角三角形 AEC 中可以解出 AC 等于正方形的边长,故△ ACD 是等边 三角形,此命题正确; 对于命题③AB 与平面 BCD 所成的线面角的平面角是∠ABE=45°,故 AB 与平面 BCD 成 60° 的角不正确; 对于命题④可取 AD 中点 F,AC 的中点 H,连接 EF,EH,FH,由于 EF,FH 是中位线,可 证得其长度为正方形边长的一半,而 EH 是直角三角形的中线,其长度是 AC 的一半即正方形 边长的一半,故△ EFH 是等边三角形,由此即可证得 AB 与 CD 所成的角为 60°; 综上知①②④是正确的 故答案为①②④

点评: 本题考查与二面角有关立体几何中线线之间的角的求法,线面之间的角的求法,以 及线线之间位置关系的证明方法.综合性较强,对空间立体感要求较高. 14. (4 分)若圆 C:x +y ﹣4y+3=0,关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点(a,b)向圆所作 的切线长的最小值为 4. 考点: 圆的切线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 首先通过圆的一般方程与标准方程之间的转化,先求出圆心的坐标,进一步确定 b 的值,最后求出切线的最小值. 2 2 2 2 解答: 解:圆 x +y ﹣4y+3=0 转化为:x +(y﹣2) =1 则:圆心坐标为: (0,2) ,半径 R=1 2 2 圆 C:x +y ﹣4y+3=0,关于直线 2ax+by+6=0 对称 则:圆心的坐标在直线上 所以:解得:b=﹣3 点(a,﹣3)向圆所作的切线:所有的切线中当直线的斜率不存在时,
2 2

即当直线垂直于 x 轴时切线长最短:d=3+1=4 故答案为:4. 点评: 本题考查的知识要点:圆的一般式与顶点式的转化,圆关于直线对称的问题,切线 长的最值. 三、解答题(共 56 分) 15. (10 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 为 AB 的中点 (1)求证:AC⊥BC1; (2)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.

考点: 异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的性质. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1) 由 ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱, 导出 CC1⊥AC, 由 AB =AC +BC , 导出 AC⊥CB, 证明 AC⊥平面 C1CB1B,推出 AC⊥BC1. (2)以 CA、CB、CC1 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值. 解答: 解: (1)∵ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱, ∴CC1⊥平面 ABC,AC?平面 ABC, ∴CC1⊥AC…(2 分) ∵AC=3,BC=4,AB=5, ∴AB =AC +BC ,∴AC⊥CB …(4 分) 又 C1C∩CB=C, ∴AC⊥平面 C1CB1B,又 BC1?平面 C1CB1B, ∴AC⊥BC1…(7 分) (2)以 CA、CB、CC1 分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系 ∵AC=3,BC=4,AA1=4, ∴A(3,0,0) ,C1(0,0,4) ,C(0,0,0) ,B1(0,4,4) , ∴ =(﹣3,0,4) , , >= =(0,﹣4,﹣4) , =﹣ . .
2 2 2 2 2 2

∴cos<

∴异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为

点评: 本题考查直线与平面垂直,直线与直线垂直,直线与平面平行的证明,考查逻辑推 理能力. 16. (10 分)已知圆 C: (x﹣1) +y =9 内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点. (1)当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (写一般式) (2)当直线 l 的倾斜角为 45°时,求弦 AB 的长. 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)先求出圆的圆心坐标,从而可求得直线 l 的斜率,再由点斜式方程可得到直线 l 的方程,最后化简为一般式即可. (2)先根据点斜式方程求出方程,再由点到线的距离公式求出圆心到直线 l 的距离,进而根 据勾股定理可求出弦长. 解答: 解: (1)圆 C: (x﹣1) +y =9 的圆心为 C(1,0) , 因直线过点 P、C,所以直线 l 的斜率为 2, 直线 l 的方程为 y=2(x﹣1) ,即 2x﹣y﹣2=0. (2)当直线 l 的倾斜角为 45°时,斜率为 1, 直线 l 的方程为 y﹣2=x﹣2,即 x﹣y=0 圆心 C 到直线 l 的距离为 ,圆的半径为 3,弦 AB 的长为 .
2 2 2 2

点评: 本题主要考查直线与圆的位置关系,高考中对直线与圆的方程的考查以基础题为主, 故平时就要注意基础知识的积累和应用,在考试中才不会手忙脚乱. 17. (12 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PD⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 是菱形, ∠BAD=60°, O 为 AC 与 BD 的交点,E 为 PB 上任意一点. (1)证明:平面 EAC⊥平面 PBD; (2)若 PD∥平面 EAC,PD= ,AD=2,求二面角 B﹣AE﹣C 的大小.

考点: 二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)由线面垂直得 PD⊥AC,由菱形性质得 BD⊥AC,从而 AC⊥平面 PBD,由此 能证明平面 EAC⊥平面 PBD. (2)过点 B 作 BF⊥AE,垂足为 F,连结 OF,由已知得∠BFO 为二面角 B﹣AE﹣C 的一个 平面角,由此能求出二面角 B﹣AE﹣C 的大小. 解答: (1)证明:∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥AC, 又 ABCD 是菱形,∴BD⊥AC, 又 BD∩PD=D,∴AC⊥平面 PBD, 又 AC?平面 EAC, ∴平面 EAC⊥平面 PBD. (2)解:∵PD∥平面 EAC,平面 EAC∩平面 PDB=OE, ∴PD∥OE,∴OE⊥平面 ABCD,∴OE⊥OB, 又∵OA⊥OB,OA∩OB=O,∴OB⊥平面 EAC, 过点 B 作 BF⊥AE,垂足为 F,连结 OF, ∵AE⊥BF,AE⊥BO,BF∩BO=B, ∴AE⊥平面 BFO,∴OF⊥AE, ∴∠BFO 为二面角 B﹣AE﹣C 的一个平面角, 在△ AOE 中,OF=1,在 Rt△ BOF 中,OF=OB=1, ∴∠BFO=45°. ∴二面角 B﹣AE﹣C 的大小为 45°.

点评: 本题考查平面与平面垂直的证明,考查二面角的大小的求法,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养. 18. (12 分)已知圆 C 的方程:x +y ﹣2x﹣4y+m=0. (1)求 m 的取值范围; (2)若圆 C 与直线 l:x+2y﹣4=0 相交于 M,N 两点,且|MN|= ,求 m 的值.
2 2

(3)若(1)中的圆与直线 x+2y﹣4=0 相交于 M、N 两点,且 OM⊥ON(O 为坐标原点) , 求 m 的值. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 综合题;直线与圆.

分析: (1)由方程 x +y ﹣2x﹣4y+m=0 配方为(x﹣1) +(y﹣2) =5﹣m.由于此方程表 示圆,可得 5﹣m>0,解出即可; (2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) .与圆的方程联立可得△ >0 及根与系数关系,再利 OM⊥ON 得 y1y2+x1x2=0 ,即可解出 m. 2 2 2 2 解答: 解: (1)方程 x +y ﹣2x﹣4y+m=0,可化为(x﹣1) +(y﹣2) =5﹣m, ∵此方程表示圆, ∴5﹣m>0,即 m<5. (2)圆的方程化为 (x﹣1) +(y﹣2) =5﹣m,圆心 C(1,2) ,半径
2 2

2

2

2

2



则圆心 C(1,2)到直线 l:x+2y﹣4=0 的距离为

由于 得 m=4. (3)由

,则

,有

,∴



消去 x 得(4﹣2y) +y ﹣2×(4﹣2y)﹣4y+m=0, 2 化简得 5y ﹣16y+m+8=0. 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 y1+y2= 由 OM⊥ON 得 y1y2+x1x2=0 即 y1y2+(4﹣2y1) (4﹣2y2)=0, ∴16﹣8(y1+y2)+5y1y2=0. 将①②两式代入上式得 16﹣8× 解之得 m= . 点评: 本题考查了直线与圆相交问题转化为方程联立得到△ >0 及根与系数关系、 向量垂直 与数量积的关系等基础知识与基本技能方法,属于中档题. 19. (12 分)如图(1) ,在三角形 ABC 中,BA=BC=2 ,∠ABC=90°,点 O,M,N 分别为 线段的中点, 将 ABO 和 MNC 分别沿 BO, MN 折起, 使平面 ABO 与平面 CMN 都与底面 OMNB 垂直,如图(2)所示. (1)求证:AB∥平面 CMN; (2)求平面 ACN 与平面 CMN 所成角的余弦; (3)求点 M 到平面 ACN 的距离. +5× =0, ①,y1y2= ②

2

2

考点: 点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定;与二面角有关的立体几何综合 题. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)证明 OB∥平面 CMN、OA∥平面 CMN,可得平面 OAB∥平面 CMN,从而可 证明 AB∥平面 CMN; (2)分别以 OB,OM,OA 为 x,y,z 轴建立坐标系,求出平面 ANC 的法向量、平面 CMN 的法向量,利用向量的夹角公式,即可求平面 ACN 与平面 CMN 所成角的余弦; (3)求出 ,即可求点 M 到平面 ACN 的距离.

解答: (1)证明:∵OB∥MN,OB?平面 CMN,MN?平面 CMN, ∴OB∥平面 CMN; ∵OA∥MC,OA?平面 CMN,MC?平面 CMN, ∴OA∥平面 CMN, ∵OA∩OB=O,∴平面 OAB∥平面 CMN, 又 AB?平面 OAB, ∴AB∥平面 CMN…(4 分) (2)解:分别以 OB,OM,OA 为 x,y,z 轴建立坐标系, 则 A(0,0,2) ,B(2,0,0) ,M(0,1,0) ,C(0,1,1) ,N(1,1,0) , ∴ , , ,

设平面 ANC 的法向量为

则有



令 x=1,得 而平面 CMN 的法向量为:

, ,

…(8 分)

(3)解:

, ,

由(2)知平面 ANC 的法向量为:



…(12 分)

点评: 本题考查线面平行的判定,考查空间角与距离,正确运用向量法是解题的关键.


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