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【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习课件:10.3几何概型


第三节 几 何 概 型

【知识梳理】
1.必会知识 教材回扣 填一填

(1)几何概型的定义: 长度(面积或体积) 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_________________ 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.
(2)几何概型的特点: 无限多 个; ①无限性:试验中所有可能出

现的结果(基本事件)有_______ 均匀 分布. ②等可能性:试验结果在每一个区域内_____

(3)几何概型的概率公式:
构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) P(A)=________________________________________.

2.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:随机模拟法.

(2)数学思想:数形结合思想、转化与化归思想.

【小题快练】

1.思考辨析

静心思考

判一判
)

(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.(

(2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的.(

)

(3)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地

取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等.(

)

(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图

形.(

)

【解析】(1)正确.由随机模拟方法及几何概型可知,该说法正确.

(2)错误.虽然环境相同,但是因为随机模拟得到的是某一次的频率,
所以结果不一定相等.(3)正确.由几何概型的定义知,该说法正确. (4)正确.由几何概型的定义知,该说法正确. 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√

2.教材改编

链接教材

练一练

(1)(必修3P140练习T1改编)有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上

面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中
奖机会,应选择的游戏盘是( )

【解析】选A.如题干选项中图,各种情况的概率都是其面积比,中奖的 概率依次为 P ? A ?= 3,P ? B ?= 2 ,P ? C ?= 2 ,P ? D ?=1 .
8 8 6 3

(2)(必修3P140例4改编)已知A={(x,y)|-1≤x≤1,0≤y≤2},B=

{(x,y)| 1 ? x 2 ≤y}.若在区域A中随机地扔一粒豆子,则该豆子落在
区域B中的概率为(
A.1 ? ? 8 B. ? 4

)
? C. ? 1 4 D. ? 8

【解析】选A.集合A={(x,y)|-1≤x≤1,0≤y≤2}表示的区域是一正 方形,其面积为4,集合B={(x,y)| 部分,其面积为4- 1 ×12×π.
2

1 ? x 2 ≤y}表示的区域为图中阴影

所以向区域A内随机地扔一粒豆子,则豆子落在区域B内的概率为
1 4? ? ? 2 ? ? 1? . 4 8

3.真题小试

感悟考题

试一试

(1)(2014·湖南高考)在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概 率为
A. 4 5

(

)
B. 3 5 C. 2 5 3 5 D. 1 5

【解析】选B.基本事件空间为区间[-2,3],它的度量是长度5,-2≤X≤1 的度量是3,所以所求概率为 .

(2)(2014·辽宁高考)将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中, 其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是 ( )

A.

【解析】选B.阴影部分的面积S阴= 1 ?? 12 ? ? , 长方形的面积S=2×1=2.
? 所以由几何概型知质点落在以AB为直径的半圆内的概率是 S阴 ? 2 ? ? . S 2 4
2 2

? 2

B.

? 4

C.

? 6

D.

? 8

(3)(2013·湖北高考)在区间[-2,4]上随机地取一个数x,若x满足
|x|≤m的概率为 5 ,则m=
6

.

【解析】由|x|≤m,得-m≤x≤m,
当m≤2时,由题意 2m ? 5 , m=2.5矛盾,舍去;
6 当2<m<4时,由题意得 m ? ? ?2 ? 6

6

5 解得m=3. ? , 6

答案:3

考点1

与长度、角度有关的几何概型

【典例1】(1)已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25.圆C上任意一点A到 直线l的距离小于2的概率为 .

(2)已知A是圆上固定的一点,在圆上其他位置上任取一点A′,则AA′ 的长度小于半径的概率为 .

【解题提示】(1)可转化为两平行线间的距离求解.

(2)可将AA′的长度小于半径转化为与A,A′两点有关的角度问题.

【规范解答】(1)设直线4x+3y=c到圆心的距离为3,则 c =3,取c=15,
5

则直线4x+3y=15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是 所求的概率,由于圆半径是2 3 ,则可得直线4x+3y=15截得的圆弧所 对的圆心角为60°,故所求的概率是 1 . 答案: 1
6 6

(2)如图,满足AA′的长度小于半径的点A′位于劣弧上,其中△ABO和
2? △ACO为等边三角形,可知∠BOC= 2 ? ,故所求事件的概率P= 3 =1 . 2? 3 3

答案: 1

3

【一题多解】解答本题还可以用如下方法: 如例题解析中图,满足AA′的长度小于半径的点A′位于劣弧上,其中
2? 3 2?r 1 △ABO和△ACO为等边三角形,所以其概率P= BAC的长 ? 2? ? . 2? r 2? r 3 答案: 1 3

【互动探究】本例(1)条件变为:“已知圆O:x2+y2=12,设M为此圆周上 一定点,在圆周上等可能地任取一点N,连接MN”,求弦MN的长超过2 6 的概率.

【解析】如图,在图上过圆心O作OM⊥直径CD.则|MD|=|MC|=2 6 .当 N点不在半圆弧CMD上时,|MN|>2 6 .所以P(|MN|>2
1 )= . 6 2

【规律方法】

1.与长度有关的几何概型
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,则其概率的计

算公式为
P?A? ? 构成事件A的区域长度 . 试验的全部结果所构成的区域长度

2.与角度有关的几何概型

当涉及射线的转动,扇形中有关落点区域问题时,应以角的大小作为区
域度量来计算概率,且不可用线段的长度代替,这是两种不同的度量手 段.

【变式训练】1.(2015·淄博模拟)设P在[0,5]上随机地取值,则关于 x的方程x2+px+1=0有实数根的概率为(
A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5

)

2.如图,四边形ABCD为矩形,AB= 3 ,BC=1,以A为圆心,1为半径作四 分之一个圆弧DE,在∠DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点 的概率为 .

【解析】1.选C.方程有实根,则Δ=p2-4≥0,解得p≥2或p≤-2(舍去).

所以所求概率为 5 ? 2 = 3 .
5?0 5

2.因为在∠DAB内任作射线AP,则等可能基本事件为“∠DAB内作射线
AP”,所以它的所有等可能事件所在的区域 H是∠DAB,当射线AP与线 段BC有公共点时,射线AP落在∠CAB内,区域h为∠CAB,所以射线AP与 线段BC有公共点的概率为 ?CAB = 30? =1 . 答案: 1
?DAB 90? 3 3

【加固训练】在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,BC=2.在BC边上任取一

点M,则∠AMB≥90°的概率为

.

【解析】如图,在Rt△ABC中,作AD⊥BC,D为垂足,由题意可得BD= 1 ,
1 且点M在BD上时,满足∠AMB≥90°,故所求概率P= BD = 2 = 1 . BC 2 4 答案: 1 4
2

考点2

与面积、体积有关的几何概型

【典例2】(1)在Rt△ABC中,∠A为直角,且AB=3,BC=5,若在△ABC内任
取一点,则该点到三个顶点A,B,C的距离均不小于1的概率是(
A. ? 6 B.1 ? ? 6 C. ? 12 D.1 ? ? 12

)

(2)(2015·烟台模拟)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面

ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距
离大于1的概率为(
A. ? 12 B.1 ? ? 12

)
C. ? 6 D.1 ? ? 6

【解题提示】(1)应先考虑到三个顶点距离有一个小于1的点围成的图

形的面积等于多少?(2)点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心,以
1为半径的半球的外部.

【规范解答】

(1)选D.如图所示,在Rt△ABC中,AC=
2 2

BC2 ? AB2

1 ×AB×AC= =4. 故 Rt △ ABC 的面积为 ? 5 ?3 1 ×3×4=6.在Rt△ABC内任取一点,该点到三个 2 2

顶点的距离均不小于1,则该点应在图中的阴影部分内,阴影部分的面 积为6- 1 π×12=6- ? ,由几何概型的概率计算公式可知,该点到三个
2 2

顶点的距离均不小于1的概率为

6?

? ? 2= 1- . 6 12

(2)选B.点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心,以1为半径的半球
1 4? 23 ? ? ?13 ? 的外部.记点P到点O的距离大于1为事件A,则 P ? A ?= 2 3 = 1 - . 3 2 12

【规律方法】解决与面积有关的几何概型的方法

求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的几何元素,必
要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结 果构成的平面图形,以便求解.

【变式训练】1.(2015·济南模拟)某人随机地在如图所 示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边 界及圆的边界),则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率 为 A. ? ( ) B. 3 3
4?

3 C. 3 4

D.以上全错

【解析】选B.设正三角形的边长为a,圆的半径为R,则正三角形的面 积为 3 a 2 ,
3 a a, 由正弦定理得2R= ,得R= 3 sin 60? 所以圆的面积S=πR2= 1 ?a 2 , 3 2 3 a 3 3 由几何概型的概率计算公式得概率 P ? 4 ? . 1 2 4 ? ?a 3 4

2.(2015·哈尔滨模拟)在体积为V的三棱锥S-ABC的棱AB上任取一点P,

则三棱锥S-APC的体积大于 V 的概率是
3

.

【解析】如图,三棱锥S-ABC的高与三棱锥S-APC的高相同.作PM⊥AC
VS?APC S APC 于M,BN⊥AC于N,则PM,BN分别为△APC与△ABC的高,所以 = VS?ABC S ABC
= PM 又 PM AP 所以 AP 1 时,满足条件.设 AD 1 则P在BD , = , > = , BN BN AB AB 3 AB 3 BA 3

上,所求的概率P= BD = 2 .

答案: 2
3

【加固训练】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机

取点M,则使四棱锥M-ABCD的体积小于

1 的概率为 6

.

【解析】过M作平面RS∥平面AC,则两平面间的距离是四棱锥M-ABCD

的高,显然M在平面RS上任意位臵时,四棱锥M-ABCD的体积都相等.若
1 ,只要M在截面以下即可小于 1 ,当 6 6 1 VM-ABCD= 1 时,即 ×1×1×h= 1 ,解得h= 1 ,即点M到底面ABCD的距离, 3 6 6 2 1 1? 1? 2 =1 . 所以所求概率P= 1? 1? 1 2 1 答案: 2

此时四棱锥M-ABCD的体积等于

考点3

几何概型与其他知识的交汇问题

知·考情
几何概型是近几年高考的热点之一.常见的命题角度有:与三角形、 矩形、圆等平面图形面积有关的问题;与随机模拟有关的概率问题;与 线性规划知识交汇命题的问题;与定积分交汇命题的问题.

明·角度

命题角度1:与随机模拟有关的概率问题
【典例3】(2014·福建高考)如图,在边长为1的正方形中随机撒 1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 .

【解题提示】由几何概型概率公式求解.

【规范解答】由几何概型可知 S ? 180 , 所以S=0.18.
1 1 000

答案:0.18

命题角度2:几何概型与不等式(组)交汇问题 【典例4】(2014·重庆高考)某校早上8:00开始上课,假设该校学生

小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何
时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率



.(用数字作答)

【解题提示】可设出两人到校的时刻,列出两人到校时刻满足的关

系式,再根据几何概型的概率公式进行求解.

【规范解答】设小张与小王到校的时刻分别为7:30之后x,y分钟,则由

题意知小张比小王至少早5分钟到校需满足y-x≥5,
其中0≤x≤20,0≤y≤20.所有的基本事件构成的区 域为一个边长为20的正方形,随机事件“小张比小 王至少早5分钟到校”构成的区域为阴影部分.
1 ?15 ?15 9 由几何概型的概率公式可知,其概率为 P ? 2 ? . 20 ? 20 32 答案: 9 32

悟·技法

1.利用随机模拟法求不规则几何图形面积近似值的方法
把不规则几何图形面积与规则几何图形面积比转化为落在不规则图形 中的随机数与总的随机数的比,列出方程求解.

2.两种常见几何概型的解决方法

(1)线型几何概型:
当基本事件只受一个连续的变量控制时.一般是把这个变量看成一条 线段或角,这样基本事件就构成了,即可借助于线段(或角度)的度量比 来求解. (2)面型几何概型: 当基本事件受两个连续的变量控制时,一般是把这两个变量分别作为 一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域 ,

进而转化为面积的度量来解决.

通·一类

1.(2015·成都模拟)如图所示,半径为3的圆中有一封闭曲线围成的
阴影区域,在圆中随机扔一粒豆子,它落在阴影区域内的概率是 1 ,则
3

阴影部分的面积是( A. ?
3

) B.π D.3π

C.2π

【解析】选D.设阴影部分的面积为S1,圆的面积S=π32=9π,由几何概

型的概率计算公式得

S1 1 ? ,得S1=3π. S 3

2.(2015·长沙模拟)在区间 [? ? , ? ]上随机取一个数记为x,则使得
1 sinx≥ 的概率为 . 2 ? ? 【解析】因为 [? , ] 上正弦值大于或等于 1 的区间是 [ ? , ? ], 2 2 6 2 2 ? ? ? 2 6 ? 1. 所以所求概率P= ? ? ? (? ) 3 2 2 答案: 1 3 2 2

? x 2 ? 4x ? 0, 3.(2015·威海模拟)若不等式组 ? 表示的平面区域为M, ??1 ? y ? 2, ?x ? y ? 1 ? 0 ?

(x-4)2+y2≤1表示的平面区域为N,现随机向区域内抛一粒豆子,则该

豆子落在平面区域N内的概率是

.

【解析】 如图所示:
1 ? ??12 ? P= 2 = . 1 ? ?1 ? 4 ? ? 3 15 2 答案: ? 15

自我纠错26

求几何概型的概率

【典例】在等腰直角△ABC中,过直角顶点C在∠ACB内作一条射线CD
与线段AB交于点D,求AD<AC的概率.

【解题过程】

【错解分析】分析以上解题过程,你知道错在哪里吗?

提示:解题过程中出现错误的原因是不能准确找出事件的几何度量 ,选
错几何度量导致错解.

【规避策略】(1)处理几何概型问题的关键:几何概型试验所包含的基

本事件无法一一列举出来,如何将某一事件所包含的基本事件用“长
度”“角度”“面积”“体积”等表示出来是关键. (2)正确认识测度:当基本事件只受一个连续的变量控制即值域大小有 关时,应用长度;当基本事件受两个连续的变量控制即与形状的大小有 关时,应用面积.

【自我矫正】射线CD在∠ACB内是均匀分布的,故∠ACB=90°可看成

试验的所有结果构成的区域,在线段AB上取一点E,使AE=AC,则∠ACE=
67.5°可看成事件构成的区域,所以满足条件的概率为 67.5 = 3 .
90 4


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