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2014年广西创新杯高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准


2014 年广西“创新杯”数学竞赛高二初赛试卷参考答案及评分标准 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1、函数 y ? x( x ? 1) ? x 的定义域为( A. {x | x ? 0} 答案:C 解析:由 x( x ? 1) ? 0, x ? 0 解得: x ? 1 或 x ? 0 . 2、如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图, 则该多

面体的各条棱中,最长的棱的长度为( ) A. 6 2 B. 4 2 C.6 D.4 B. {x | x ? 1} ) D. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 1} {0} 答案:C 解析:几何体为三棱锥 P ? ABC ,底面 ABC 为等腰三角形, AB ? BC , AC ? 4 , 顶点 B 到 AC 的距离为 4,面 PAC⊥面 ABC,且三角形 PAC 为以 A 为直角的等 腰直角三角形,所以棱 PB 最长,长度为 6。 3、在区域 D : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 内随机取一个点,则此点到点 A(1, 2) 的距离大于 2 的概率是( 1 3 A. ? 3 2? ) B. 3 2? C. 1 3 1 3 D. ? 3 2? 答案:A 解析:如图,因为 A 点在圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 上,所以到点 A(1, 2) 的距离大于 2 的点构成的区域是区域 D 内去除它与区域 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 公共部分剩 ? ? 4? 1 3 ? 4? ? ? 2 3 ,故 下的部分,剩下部分的面积为 4? ? ? 2 ? ? 4? ? 2 ? 3 2 3 ? ? 4? ?2 3 1 3 所求事件的概率为 3 。 ? ? 4? 3 2? 4、已知 A 为 ?ABC 的最小内角,若向量 a ? (cos 2 A,sin 2 A), b ? ( 1 A. (??, ) 2 1 1 , 2 ), 则 a ? b 的取值范围是 ( ) cos A ? 1 sin A ? 2 1 2 1 2 B. ( ?1, ) C. [? , ) D. [? , ??) 2 5 2 5 2 解:选 C. a ?b ? cos 2 A sin 2 A cos 2 A ? sin 2 A 1 ? tan 2 A 3 ? ? ? ? ?1 , 2 2 2 2 2 2 cos A ? 1 sin A ? 2 2cos A ? sin A 2 ? tan A tan A ? 2 ? 2 1 A ? (0, ] ,? tan A ? (0, 3] .? a ? b ? [? , ) 3 5 2 5、设 f ( x) ? x3 ? x , x ? R ,当 0 ? ? ? 则实数 m 的取值范围是( A. (0,1) 解:选 D 因为函数 f ( x) 是奇函数,所以不等式 f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立转化为 f (m sin ? ) ? f (m ? 1) , 又 f ( x) 是增函数, 所以 m sin ? ? m ? 1 在 [0, ] 上恒成立。 2 当 m ? 0 时 , 只 要 0 ? m ?1 , 解 得 0 ? m ? 1 , 当 m ? 0 时 , 不 等 式 等 价 于 m ?1 m ?1 s i n? ? ,只要 1 ? ,此不等式恒成立,此时 m ? 0 ,综上所述 m ? 1 . m m ? 2 时, f (m sin? ) ? f (

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