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【步步高】2016高考数学大一轮复习 4.3三角函数的图象与性质学案 理 苏教版


学案 18

三角函数的图象与性质

导学目标: 1.能画出 y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图象, 了解三角函数的周期性.2. 理解正弦函数、 余弦函数在区间[0,2π ]上的性质(如单调性、 最大值和最小值以及与 x 轴的 ? π π? 交点等),理解正切函数在区间?- , ?内的单调性. ? 2 2?


自主梳理 1.周期函数 (1)周期函数的定义 对于函数 f(x), 如果存在一个非零常数 T, 使得定域内的每一个 x 值, 都满足__________, 那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数____叫做这个函数的周期. (2)最小正周期 如 果 在 周 期 函 数 f(x) 的 所 有 周 期 中 存 在 一 个 ________________ , 那 么 这 个 ________________就叫做 f(x)的最小正周期. 2.三角函数的图象和性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图象

定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 在______________上增, 在______________上减 在_____________上增, 在_____________上减 在定义域的每一个区间 ____________________内 是增函数

对 π kπ 称 (kπ ,0) (kπ + ,0) ( ,0) 2 2 (k∈Z) 对 中 (k∈Z) (k∈Z) 称 心 π 性 对 x=kπ , x=kπ + , 2 称 无 (k∈Z) 轴 (k∈Z) 自我检测 1.设点 P 是函数 f(x)=sin ω x(ω ≠0)的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的 π 对称轴的距离的最小值是 ,则 f(x)的最小正周期是________. 4 π 2.函数 y=3-2cos(x- )的最大值为________,此时 x=________. 4 π 3.函数 y=tan( -x)的定义域是________. 4 π π 4.比较大小:sin(- )________sin(- ). 18 10

1

5.如果函数 y=3cos(2x+φ )的图象关于点? ________.

?4π ,0?中心对称,那么|φ |的最小值为 ? ? 3 ?

2

探究点一 求三角函数的定义域 例 1 求函数 y= 2 ? log 1 x + tan x的定义域.
2

变 式 迁 移 1 函 数 y = 1-2cos x + lg(2sin x - 1) 的 定 义 域 为 ________________________. 探究点二 三角函数的单调性 ?π ? 例 2 求函数 y=2sin? -x?的单调区间. ?4 ?

?π ? 变式迁移 2 (1)求函数 y=sin? -2x?,x∈[-π ,π ]的单调递减区间; ?3 ? π x ? ? (2)求函数 y=3tan? - ?的周期及单调区间. ? 6 4?

探究点三 三角函数的值域与最值 π π 例 3 已知函数 f(x)=2asin(2x- )+b 的定义域为[0, ],函数的最大值为 1,最 3 2 小值为-5,求 a 和 b 的值.

变式迁移 3 设函数 f(x)=acos x+b 的最大值是 1,最小值是-3,试确定 g(x)= π bsin(ax+ )的周期. 3

转化与化归思想 例 (14 分)求下列函数的值域: 2 (1)y=-2sin x+2cos x+2; π (2)y=3cos x- 3sin x,x∈[0, ]; 2 (3)y=sin x+cos x+sin xcos x.
3

【答题模板】 2 2 解 (1)y=-2sin x+2cos x+2=2cos x+2cos x 1 2 1 =2(cos x+ ) - ,cos x∈[-1,1]. 2 2 1 1 当 cos x=1 时,ymax=4,当 cos x=- 时,ymin=- , 2 2 1 故函数值域为[- ,4].[4 分] 2 π (2)y=3cos x- 3sin x=2 3cos(x+ ). 6 π π π 2π π 2π ∵x∈[0, ],∴ ≤x+ ≤ ,∵y=cos x 在[ , ]上单调递减, 2 6 6 3 6 3 1 π 3 ∴- ≤cos(x+ )≤ ,∴- 3≤y≤3,故函数值域为[- 3,3].[9 分] 2 6 2 t2-1 (3)令 t=sin x+cos x,则 sin xcos x= ,且|t|≤ 2. 2 2 t -1 1 2 ∴y=t+ = (t+1) -1,∴当 t=-1 时,ymin=-1; 2 2 1 当 t= 2时,ymax= + 2. 2 1 ∴函数值域为[-1, + 2].[14 分] 2 【突破思维障碍】 1.对于形如 f(x)=Asin(ω x+φ ),x∈[a,b]的函数在求值域时,需先确定 ω x+φ 的范围,再求值域.同时,对于形如 y=asin ω x+bcos ω x+c 的函数,可借助辅助角公 2 2 式,将函数化为 y= a +b sin(ω x+φ )+c 的形式,从而求得函数的最值. 2 2 2.关于 y=acos x+bcos x+c(或 y=asin x+bsin x+c)型或可化为此型的函数求值 域,一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题. 给你提个醒!不论用什么方法,切忌忽略函数的定义域. 1.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基 础, 三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提, 求三角函数的定义域实质上就是解最简 单的三角不等式(组). 2.三角函数的值域问题,实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题. 3.函数 y=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0)的单调区间的确定,基本思想是把 ω x+φ 看 作一个整体,利用 y=sin x 的单调区间来求.

(满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1.函数 y=Asin(ω x+φ ) (A,ω ,φ 为常数,A>0,ω >0)在闭区间[-π ,0]上的图 象如图所示,则 ω =________.

2.(2010·江苏 6 校高三联考)已知函数 y=tan ω x (ω >0)与直线 y=a 相交于 A、B
4

两点,且|AB|最小值为 π ,则函数 f(x)= 3sin ω x-cos ω x 的单调增区间是________. 2π 2π 3.(2011·江苏四市联考)若函数 f(x)=2sin ω x(ω >0)在[- , ]上单调递增, 3 3 则 ω 的最大值为________. 4π 4.把函数 y=cos(x+ )的图象向左平移 φ (φ >0)个单位,所得的函数为偶函数,则 3 φ 的最小值是________. π 5.关于函数 f(x)=4sin(2x+ )(x∈R)有下列命题: 3 (1)由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是 π 的整数倍; π (2)y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos(2x- ); 6 π (3)y=f(x)的图象关于点(- ,0)对称; 6 π (4)y=f(x)的图象关于 x=- 对称. 6 其中正确命题的序号是________.(把你认为正确的命题序号都填上) 6 . (2011· 泰 州 调 研 ) 定 义 函 数 f(x) = {sin x,sin x≥cos x,?cos x,sin x<cos x, 给出下列四个命题: ①该函数的值域为[-1,1]; π ②当且仅当 x=2kπ + (k∈Z)时,该函数取得最大值; 2 ③该函数是以 π 为最小正周期的周期函数; 3π ④当且仅当 2kπ +π <x<2kπ + (k∈Z)时,f(x)<0. 2 上述命题中正确的个数为________. 7.函数 f(x)=2sin 对于任意的 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小 4 值为________. ? π? 8.(2010·江苏)定义在区间?0, ?上的函数 y=6cos x 的图象与 y=5tan x 的图象的 2? ? 交点为 P,过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sin x 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长为________. 二、解答题(共 42 分) π 9 . (14 分)(2010·福建改编 ) 已知函数 f(x) = 2sin(ω x + ) + a(ω >0) 与 g(x) = 6 2cos(2x+φ )+1 的图象的对称轴完全相同. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的单调递减区间; π (3)当 x∈[0, ]时,f(x)的最小值为-2,求 a 的值. 2

x

10.(14 分)已知函数 f(x)= 偶性.

2cos x-3cos x+1 ,求它的定义域和值域,并判断它的奇 cos 2x

4

2

5

11.(14 分)(2010·宿迁高三二模)已知向量 a=(sin x,2 3sin x),b=(2cos x,sin x),定义 f(x)=a·b- 3. (1)求函数 y=f(x),x∈R 的单调递减区间; π (2)若函数 y=f(x+θ ) (0<θ < )为偶函数,求 θ 的值. 2

答案 自主梳理 1.(1)f(x+T)=f(x) 2. R R

T (2)最小的正数 最小的正数

π {x|x≠kπ + , k∈Z} [-1,1] [-1,1] R 2π 2π π 奇函数 偶 2 π π π 3 函数 奇函数 [2kπ - ,2kπ + ] (k∈Z) [2kπ + ,2kπ + π ](k∈Z) [2kπ - 2 2 2 2 π π π ,2kπ ] (k∈Z) [2kπ ,2kπ +π ] (k∈Z) (kπ - ,kπ + )(k∈Z) 2 2 自我检测 5π 3π 1.π 2.5 +2kπ (k∈Z) 3.{x|x≠kπ + ,k∈Z} 4 4 π 4.> 5. 6 课堂活动区 例 1 解题导引 求三角函数的定义域时,需要转化为三角不等式(组)求解,常常借助 于三角函数的图象和周期解决, 求交集时可以利用单位圆, 对于周期相同的可以先求交集再 加周期的整数倍即可. 解 要使函数有意义,

? ?x>0, 则? tan x≥0, π ? ?x≠kπ + 2 ?k∈Z?,
1 2+log x≥0, 2

0<x≤4, ? ? 得? π kπ ≤x<kπ + ?k∈Z?. ? 2 ?

? ? π 所以函数的定义域为?x|0<x< 或π ≤x≤4?. 2 ? ? π 5π ? ? 变式迁移 1 ? +2kπ , +2kπ ?,k∈Z 6 ?3 ? ? ?1-2cos x≥0 由题意得? ?2sin x-1>0 ?

解析

1 ? ?cos x≤2 ?? 1 ?sin x>2 ?



6

π 5π +2kπ ≤x≤ +2kπ ,k∈Z ? ?3 3 解得? π 5π +2kπ <x< +2kπ ,k∈Z ? ?6 6 即 x∈?



?π +2kπ ,5π +2kπ ?,k∈Z. ? 6 ?3 ?

例 2 解题导引 求形如 y=Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ )(其中 A≠0,ω >0)的 函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ω x+φ (ω >0)”视为一个“整体”;②A>0 (A<0)时,所列不等式的方向与 y=sin x(x∈R),y= cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反). ?π ? ? π? 解 方法一 y=2sin? -x?化成 y=-2sin?x- ?. 4? ?4 ? ? ∵y=sin u(u∈R)的递增、递减区间分别为 ?2kπ -π ,2kπ +π ? (k∈Z)、?2kπ +π ,2kπ +3π ?(k∈Z), ? ? 2 2? 2 2 ? ? ? ? ? π π 3π ∴令 2kπ + ≤x- ≤2kπ + (k∈Z), 2 4 2 3π 7π 解得 2kπ + ≤x≤2kπ + (k∈Z), 4 4 π π π 令 2kπ - ≤x- ≤2kπ + (k∈Z), 2 4 2 π 3π 解得 2kπ - ≤x≤2kπ + (k∈Z). 4 4 ?π ? ∴函数 y=2sin? -x?的单调递减区间、单调递增区间分别为 ?4 ? π 3 π ?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z)、?2kπ +3π ,2kπ +7π ? (k∈Z). ? ? 4 4 ? 4 4 ? ? ? ? ? π π π ? ? 方法二 y=2sin? -x?可看作是由 y=2sin u 与 u= -x 复合而成的.又∵u= - 4 4 ?4 ? x 为减函数, π π ∴由 2kπ - ≤u≤2kπ + (k∈Z), 2 2 π π π 即 2kπ - ≤ -x≤2kπ + (k∈Z), 2 4 2 π 3π 得-2kπ - ≤x≤-2kπ + (k∈Z), 4 4 π 3π ? ? 即?-2kπ - ,-2kπ + ?(k∈Z)为 4 4 ? ? ?π ? y=2sin? -x?的递减区间. ?4 ? π 3π 由 2kπ + ≤u≤2kπ + (k∈Z), 2 2 π π 3π 即 2kπ + ≤ -x≤2kπ + (k∈Z), 2 4 2 5π π 得-2kπ - ≤x≤-2kπ - (k∈Z), 4 4 5 π π ? ? 即?-2kπ - ,-2kπ - ?(k∈Z)为 4 4? ?
7

? ? y=2sin? -x?的递增区间.
π ?4

?

?π ? 综上可知,y=2sin? -x?的递增区间为 ?4 ? 5 π π ?-2kπ - ,-2kπ - ?(k∈Z); ? 4 4? ? ? π 3π ? ? 递减区间为?-2kπ - ,-2kπ + ? (k∈Z). 4 4 ? ? π ? ? 变式迁移 2 解 (1)由 y=sin? -2x?, ?3 ? π ? ? 得 y=-sin?2x- ?, 3? ? π π π 由- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ 2 3 2 π 5π 得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z,又 x∈[-π ,π ], 12 12 7 π 5 11 ∴-π ≤x≤- π ,- ≤x≤ π , π ≤x≤π . 12 12 12 12 7 ? ?π ? ? ∴ 函 数 y = sin ? -2x? , x∈[ - π , π ] 的 单 调 递 减 区 间 为 ?-π ,- π ? , 12 ? ?3 ? ? ?-π , 5 π ?,?11π ,π ?. ? 12 12 ? ?12 ? ? ? ? ? π ?π x? (2)函数 y=3tan? - ?的周期 T= =4π . ? 6 4? ?-1? ? 4? ? ? ?π x? 由 y=3tan? - ? ? 6 4? ?x π ? 得 y=-3tan? - ?, ?4 6 ? π x π π 由- +kπ < - < +kπ 得 2 4 6 2 4 8 - π +4kπ <x< π +4kπ ,k∈Z, 3 3 8 ?π x? ? 4 ? ∴函数 y=3tan? - ?的单调递减区间为?- π +4kπ , π +4kπ ? (k∈Z). 6 4 3 3 ? ? ? ? 例 3 解题导引 解决此类问题,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出 y=Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ )的最值,再由方程的思想解决问题. π π π 2 解 ∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ π , 2 3 3 3
∴- 3 π ≤sin(2x- )≤1, 2 3 ,解得? ,解得?

?2a+b=1 若 a>0,则? ?- 3a+b=-5 ?2a+b=-5 若 a<0,则? ?- 3a+b=1

?a=12-6 3 ?b=-23+12 3
.



?a=-12+6 3 ?b=19-12 3

综上可知,a=12-6 3,b=-23+12 3 或 a=-12+6 3,b=19-12 3.
8

变式迁移 3 解 ∵x∈R,∴cos x∈[-1,1]. ?a+b=1 ?a=2 ? ? 若 a>0,则? ,解得? ; ? ? ?-a+b=-3 ?b=-1 若 a<0,则?
?a+b=-3 ? ? ?-a+b=1

,解得?

?a=-2 ? ? ?b=-1

.

π π 所以 g(x)=-sin(2x+ )或 g(x)=sin(2x- ),周期为 π . 3 3 课后练习区 1.3 2π 2π 解析 由图可知,T= ,∴ω = =3. 3 T π 2 π 3 ? ? 2.?2kπ - ,2kπ + ? (k∈Z) 3. 3 3 ? 4 ? 2π 4. 3 4π 解析 向左平移 φ 个单位后的解析式为 y=cos(x+ +φ ), 3 4π 4π 当 +φ =kπ (k∈Z)时,函数 y=cos(x+ +φ )为偶函数, 3 3 4π 2π ∴φ =kπ - (k∈Z).当 k=2 时,φ min= . 3 3 5.(2)(3) π π π π π 解析 (1)不正确.可举反例,如 f(- )=f( )=0 但- - =- . 6 3 6 3 2 π π π (2)正确.∵y=4sin(2x+ )=4cos[ -(2x+ )] 3 2 3 π π =4cos(-2x+ )=4cos(2x- ). 6 6 π (3)正确.∵f(- )=0, 6 π ∴y=f(x)的图象与 x 轴交于(- ,0)点. 6 π (4)不正确.∵f(- )既不是 y 的最大值也不是 y 的最小值.故答案为(2)(3). 6 6.1 π 5π 解析 当 2kπ + ≤x≤2kπ + (k∈Z) 时, sin x≥cos x ,所以 f(x) = sin x , 4 4

f(x)∈[-

2 π ,1];x=2kπ + (k∈Z)时,该函数取得最大值; 2 2 5π 当且仅当 2kπ +π <x<2kπ + (k∈Z)时,f(x)<0. 4 3π π 当 2kπ - <x<2kπ + (k∈Z)时,sin x<cos x, 4 4 2 ,1]; 2 x=2kπ (k∈Z)时,该函数取得最大值; 3π π 当且仅当 2kπ - <x<2kπ - (k∈Z)时, 4 2 所以 f(x)=cos x,f(x)∈[-
9

f(x)<0.综合得:①②错误,④正确,周期还是 2π ,所以③错误.
7.4π 解析 由 f(x1)≤f(x)≤f(x2)知,f(x1)、f(x2)分别为 f(x)的最小值和最大值,而当 = 4 π x π 2kπ - ,即 x=8kπ -2π (k∈Z)时,f(x)取最小值;而 =2kπ + ,即 x=8kπ +2π 2 4 2 (k∈Z)时,f(x)取最大值, ∴|x1-x2|的最小值为 4π . 2 8. 3 ? π? 解析 线段 P1P2 的长即为 sin x 的值,且其中的 x 满足 6cos x=5tan x,x∈?0, ?, 2? ? 2 2 解得 sin x= .所以线段 P1P2 的长为 . 3 3 9.解 (1)∵f(x)和 g(x)的对称轴完全相同, π ∴二者的周期相同, 即 ω =2, f(x)=2sin(2x+ )+a, ????????????? 6 (3 分) 2π ∴f(x)的最小正周期 T= =π . ?????????????????????? 2 (5 分) π π 3π (2)当 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + , 2 6 2 π 2π 即 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z)时,函数 f(x)单调递减, 6 3 故函数 f(x)的单调递减区间为 π 2π [kπ + ,kπ + ](k∈Z).???????????????????????? 6 3 (10 分) π π π 7π (3)当 x∈[0, ]时,2x+ ∈[ , ],??????????????????? 2 6 6 6 (12 分) π ∴当 x= 时,f(x)取得最小值, 2 π π ∴2sin(2· + )+a=-2, ∴a=-1.???????????????????? 2 6 (14 分) π 10.解 由题意知 cos 2x≠0,得 2x≠kπ + , 2 kπ π 解得 x≠ + (k∈Z). 2 4 kπ π ∴f(x)的定义域为{x∈R|x≠ + ,k∈Z}.????????????????? 2 4 (4 分) 4 2 2 2 2cos x-3cos x+1 ?2cos x-1??cos x-1? 又 f(x)= = 2 cos 2x 2cos x-1 2 2 =cos x-1=-sin x,?????????????????????????? (8 分) 又∵定义域关于原点对称,∴f(x)是偶函数.????????????????(10 分)
10

x

显然-sin x∈[-1,0], kπ π 1 2 又∵x≠ + ,k∈Z,∴-sin x≠- . 2 4 2 ∴原函数的值域为 ? ? 1 1 ?y|-1≤y<- 或- <y≤0?.??????????????????????? (14 2 2 ? ? 分) 11.解 f(x)=2sin xcos x+2 3sin x- 3 1-cos 2x =sin 2x+2 3· - 3 2 π? ? =sin 2x- 3cos 2x=2sin?2x- ?.????????????????????? 3? ? (4 分) π π 3π (1)令 2kπ + ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z 2 3 2 5π 11π ? ? 解得单调递减区间是?kπ + ,kπ + k∈Z.??????????????? ?, 12 12 ? ? (8 分) π? ? (2)f(x+θ )=2sin?2x+2θ - ?. 3? ? 根据三角函数图象性质可知, π? ? y=f(x+θ ) ?0<θ < ?在 x=0 处取最值, 2? ? π? ? ∴sin?2θ - ?=±1, 3? ? π π kπ 5π ∴2θ - = kπ + , θ = + , 3 2 2 12 k∈Z.????????????????????(12 分) π 5π 又 0<θ < ,解得 θ = .????????????????????????? 2 12 (14 分)
2

2

11


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