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【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:2函数3


各地解析分类汇编:函数 3
1【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】 已知函数 f M ? x ? 的定义域为实数集 R ,满 足 fM ? x ? ? ?

?1, x ? M ( M 是 R 的 非 空 真 子 集 ), 在 R 上 有 两 个 非 空 真 子 集 A, B , 且 ?0, x ? M

A

/>
B ? ? ,则 F ? x ? ?

f A B ? x? ?1 的值域为 f A ? x? ? fB ? x? ?1
C. ? , ,1?

A. ? 0, ? 3 【答案】B

? ?

2? ?

B. ?1?

?1 2 ? ?2 3 ?

D. ? ,1?

?1 ? ?3 ?

【 解 析 】 若 x ? A , 则 f A ( x) ? 1, f B ( x) ? 0, f A?B ( x) ? 1 , F ( x) ? 1 ; 若 x ? B , 则

f A ( x) ? 0, f B ( x) ? 1, f A?B ( x) ? 1, F ( x) ? 1 ;若 x ? A,x ? B ,则 f A ( x) ? 0 , f B ( x) ? 0 ,
f A?B ( x) ? 0, F ( x) ? 1. 故选 B.
? x3 1 , ? x ?1 ? ? f ( x) ? ? x ? 1 2 2【山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试 理】函数 和 ?? 1 x ? 1 ,0 ? x ? 1 ? 12 2 ? 6
函数 g ( x) ? a sin 的取值范围是

?
6

x ? a ? 1(a ? 0) ,若存在 x1, x2 ?[0,1] 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a

( ,] A.
【答案】C

1 3 2 2

B. [1,2)

( , 2] C.

1 2

(1, ] D.

3 2

1 x3 ? x ?1 f ( x )? , x2 ( 2 x? 3 ) x ?1 f ' ( 【解析】当 2 时, x )= ? ( x ? 12) 1 f ( )? f ( x?) 2

函 0 数递增,此时

1 0? x? 1 1 2 时,函数 f ,即 ( 1 ) ? f ( x ) ? ,当 1 1 ,单调递 12 2 f ( x) ? ? x ? 6 12 1 1 ? ? , 综 上 函 数 0 ? f ( x) ? 。 当 0 ? x ? 1 时 , 0 ? x ? , 12 2 6 6

减 , 此 时 0 ? f ( x) ?

0 ? sin

?
6

x?

1 1 1 1 ?g ( x) ? ? a , 1 ? 若存在 , ?a ? 1 ? g ( x) ? a ? a ? 1 , 即 ?a ? 2 2 2

让 g ( x) 的最大值大于等于 f ( x ) 的最小值, 让 g ( x) 的 x1, x2 ?[0,1] 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,

? 1 ? a ?1 ? 0 ?a ? 2 ? 1 ? 2 ? 最小值小于 f ( x ) 的最大值,即 ? ,解得 ? 1 ,即 ? a ? 2 ,选 D. 2 a? ??a ? 1 ? 1 ? ? 2 ? ? 2
3【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学(理) 】已知函数 f ( x) 在 [0,??) 上是增函 数, g ( x) ? ? f ( x ) ,若 g (lg x) ? g (1) ,则 x 的取值范围是 A. (10,??) 【答案】B 【解析】因为 g ( x) ? ? f ( x ) ,所以函数 g ( x) ? ? f ( x ) 为偶函数,因为函数 f ( x) 在 [0,??) 上是增函数,所以当 x ? 0 时, g ( x) ? ? f ( x ) ? ? f ( x) ,此时为减函数,所以当 x ? 0 , 函 数 g ( x) ? ? f ( x ) 单 调 递 增 。 因 为 g (lg x) ? g (1) , 所 以 有 ?1 ? lg x ? 1 , 解 得 B. (

1 ,10) 10

C. (0,10)

D. (0,

1 ) ? (10,?? ) 10

1 1 ? x ? 10 ,即 ( ,10) ,选 B. 10 10
4【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理) 】 函数 ( ) A. 【答案】D B. C. D. 的定义域为

?? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ? x 2 +3x ? 4 ? 0 【解析】要使函数有意义,则有 ? ,即 ? ,解得 ?4 ? x ? 1 且 ?x ? 0 ?x ? 0
x ? 0 ,选 D.
【 北 京 四 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 测 验 数 学 ( 理 )】 已 知 函 数 的图象如图所示则函数 的图象是( )

【答案】A 【解析】由函数的两个根为 x ? a.x ? b ,图象可知 0 ? a ? 1, b ? ?1 。所以根据指数函数的图 象可知选 A. 5 【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理) 】定义在 R 上的函数 ,当 时, ,则( ) 满足

A.

B.

C. 【答案】D 【解析】由题意可知,函数 如图所示: ∵ ∴ ,选 D.

D.

的图象关于 y 轴对称,且周期为 2,故可画出它的大致图象, 且 ,而函数 在 是减函数,

6. 【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理) 】设函数 ______. 【答案】

5 2 1 ? 1 。令 2


【解析】令 x ? ?1 得 f (1) ? f (?1) ? f (2) ,即 f (2) ? f (1) ? f (?1) ? 2 f (1) ? 2 ?

x ?1



f (3) ? f (1 ? 2) ? f (1) ? f (2) ? 3 5 ? 1= 。 2 2

1 3 ?1 ? 2 2





x?3

f (5) ? f (3 ? 2) ? f (3) ? f (2) ?

7.【山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试理】若 f ( x) ? ( x ? a)( x ? 4) 为偶函数,则实 数 a= 【答案】4
2 【 解 析 】 f ( x) ? ( x ? a)( x ? 4) ? x ? (a ? 4) x ? 4a , 因 为 函 数 f ( x ) 是 偶 函 数 , 所 以 必 有

.

a ? 4 ? 0 ,即 a ? 4 .
8.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】已知函数 f ( x ) 的定义域为 R ,若存在常 数 m ? 0 ,对任意 x ? R ,有 f ( x) ? m x ,则称函数 f ( x ) 为 F ? 函数.给出下列函数:①

f ( x) ? x2 ;② f ( x) ?
为 【答案】②④ 【解析】因为 .

x x ;③ f ( x) ? 2 ;④ f ( x) ? sin 2 x . x ?1
2

其中是 F ? 函数的序号

f ( x) x 2 f ( x) ? ? x ,所以 ? x ,没有最大值,所以①不是 F ? 函 x x x

数.

f ( x) 1 ? 2 ? 1 ,所以存在 m ? 1 ,有 f ( x) ? m x 成立,所以②是 F ? 函数.③不是 x x ?1

F ? 函数.因为 f ( x) ? sin 2x ? 2x ? 2 x ,所以此时存在 m ? 2 ,所以④是 F ? 函数,

所以是 F ? 函数的有②④. 9.【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 理科】 具有性质: f ( ) ? ? f ( x ) 的 函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数: ① y ? x?

1 x

1 1 ;② y ? x? ; x x

? ? x, (0 ? x ? 1) ? ③ y ? ?0, ( x ? 1) 中满足“倒负”变换的函数是 ? 1 ?? ( x ? 1) ? x
【答案】①③ 【解析】 当 y ? x?

.

1 1 1 1 时,f ( ) ? ? x ? ? f ( x) , 所以①满足 “倒负” 变换的函数。 当y ? x? x x x x

? ? x, (0 ? x ? 1) ? 1 1 时, f ( ) ? ? x ? f ( x) ,所以②不满足“倒负”变换的函数。当 y ? ?0, ( x ? 1) 时,当 x x ? 1 ?? ( x ? 1) ? x
x ? 1 时, 0 ?
1 1 1 1 ? 1 , f ( ) ? ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, x ? 1 , f ( ) ? ? x ? ? f ( x) , x x x x

所以③满足“倒负”变换的函数,所以满足条件的函数是①③。

? 1 x ?( ) , x ? 4 10.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则 ? ? f ( x ? 1), x ? 4

f (1 ? log 2 5) 的值为
【答案】



1 20

【解析】 3 ? 1 ? log 2 5 ? 4 ,所以 f (1 ? log2 5) ? f (2 ? log2 5) ? f (log2 20)

1 1 ? ( )log2 20 ? 2? log2 20 ? . 2 20
11.【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】若直线 y ? 2a 与函数 y ?| a x ? 1 | ( a ? 0且a ? 1) 的图像有两个公共点,则 a 的取值范围是 【答案】 (0, ) .

1 2

x x 【解析】因为 y ? a ? 1 的图象是由 y ? a 向下平移一个单位得到,当 a ? 1 时,作出函数

y ? a x ? 1 的图象如图,此时 y ? 2a ? 2 ,如图象只有一个交点,不成立。
当 0 ? a ? 1 时 , 0 ? 2a ? 2 , 要 使 两 个函 数的 图 象 有两 个 公 共点 ,则 有 0 ? 2a ? 1 ,即

0?a?

1 1 2 ,所以 a 的取值范围是 (0, ) 。 2

12.【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的偶函 数且在 ?0, ??? 上递增,不等式 f ? 【答案】 ( ? ,1) 【 解 析 】 因 为 y ? f? ? x 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 且 在 ?0, ??? 上 递 增 , 所 以

? x ? ? 1? ? ? f ? ? ? 的解集为 ? x ?1 ? ? 2?

1 3

x 1 1 x 1 ? x ? ? 1? f? ) ? f ( ? ) ? f ( ) ,所以 ? ,即 2 x ? x ? 1 , ? ? f ? ? ? 等价为 f ( x ?1 2 2 x ?1 2 ? x ?1 ? ? 2?
平 方 得 4 x ? x ? 2 x ? 1 , 所 以 3x ? 2x ? 1? 0, 解 得 ?
2 2 2

1 ? x ? 1 ,即不等式的解集为 3

1 ( ? ,1) 。 3
13. 【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】 函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数, 且 f ? x ? 2? ? ? 【答案】 ?

1 ,当 2 ? x ? 3 时, f ? x ? ? x, 则f ? 2013? ? ______________. f ? x?

1 3

【 解 析 】 因 为 f ? x ? 2? ? ?

1 , 所 以 f ? x ? 4? ? f ( x) , 即 函 数 f ( x ) 的 周 期 是 4 , f ? x?

f (2013) ? f (1) ? ?

1 1 ?? . f (3) 3

| x ? 1| 14. 【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试理】 函数 f ( x ) ? 2 的递增区间

为 【答案】 [1, ??)



【解析】令 t ? x ? 1 ,则 y ? 2t 在定义域上单调递增,而 t ? x ? 1 ? ? 单调递增,所以函数 f ( x) ? 2|x?1| 的递增区间为 [1, ??) 。

? x ? 1, x ? 1 ,在 x ? 1 上 ?1 ? x, x ? 1

15.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学理】已知实数 a,b 满足等式 2 ? 3 ,给
a b

出下列五个关系式中:① 0 ? b ? a; ② a ? b ? 0; ③ 0 ? a ? b; ④ b ? a ? 0; ⑤ a ? b. 则所有可 . 能 成立的关系式的序号为___.___. . 【答案】①②⑤
x 【 解 析 】 在 同 一 坐 标 系 下 做 出 函 数 f (x ) ? 2 , g x ( ? ) x

3的 图 象 如 图 , 由 图 象 可 知 ,

①,②,⑤正确. 16. 【 山 东 省 潍 坊 市 四 县 一 区 2013 届 高 三 11 月 联 考 ( 理 ) 】 已 知 奇 函 数 f ( x) 满 足

7 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,且当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 x ,则 f ( ) 的值为 2
【答案】 ? 2 【 解 析 】 由 f ( x ? 2) ? ? f ( x) 得 f ( x ? 4) ? f ( x) , 所 以 f ( x) 周 期 是 4 , 所 以
1 7 7 1 1 1 f ( ) ? f ( ? 4) ? f (? ) ? ? f ( ) ,又当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 x ,所以 f ( ) ? 2 2 ? 2 , 2 2 2 2 2

所以 f ( ) ? ? 2 .
x ? ?2 17. 【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】设函数 f ? x ? ? ? ? ?log 2 x

7 2

? x ? 0? , ? x ? 0?

函数 y ? f ? ? f ? x ?? ? ? 1 的零点个数为__________. 【答案】2
x x 【解析】当 x ? 0 时, 0 ? 2 ? 1 ,所以 f ? ? f ? x ?? ? ? 1 ? log2 2 ? 1 ? x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 (舍

去 ); 当 x ? 1 时 , f ( x)? l o ? 2 gx

, 0所 以 f ? ? f ? x ?? ? ? 1 ? log 2 (log 2 x) ? 1 ? 0 得 时 ,

log2 x=2,x ? 4
f? ?


l


g

0 ? x ?1

f(

? x)

2

? l

o x, g



以 0

? f? ? ? ?1x

? 22x o

?1

x ? 10 ? x 1? ? y? f ? ,所以 ,所以函数 ? f ? x ?? ? ? 1 的零点是 4,1,

共有 2 个. 18.【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】函数 f ( x) ? ? 和函数 g ( x) ? ln ? x ?1? 的图象的交点个数是 ____________. 【答案】2 【解析】画出图象知交点个数为 2. 【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】函数 f ( x) 的定义域为 A ,若 x1 , x2 ? A 且
f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总有 x1 ? x2 ,则称 f ( x) 为单函数.例如:函数 f ( x) ? 2 x ? 1( x ? R) 是单函

?2 x ? 2,

x ?1

2 ? x ? 4 x ? 3,x ? 1

的图象

数.给出下列命题: ①函数 f ( x) ? x 2 ( x ? R) 是单函数; ②指数函数 f ( x) ? 2 ( x ? R) 是单函数;
x

③若 f ( x) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数, 其中的真命题是 【答案】②③④ 【解析】当 x1 ? 2, x2 ? ?2 时, f ( x1 ) ? 4 ? f ( x2 ), 故①错; f ( x) ? 2 x 为单调增函数,故②正 确;而③④显然正确. 19. 【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(理) 】 (本小题满分 12 分) . (写出所有真命题的序号)

某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件 ,需另投入成本为 C ( x) ,当年 .. 产 量 不 足 80 千 件 时 , C ( x ) ?

1 2 x ? 10 x ( 万 元 ) . 当 年 产 量 不 小 于 80 千 件 时 , 3

C ( x) ? 51x ?

10000 ? 1450 (万元).每件 商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的 .. x

商品能全部售完. (Ⅰ)写出年利润 L( x) (万元)关于年产量 x (千件 )的函数解析式; .. (Ⅱ)年产量为多少千件 时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? .. 【答案】解: (Ⅰ)因为每件 商品售价为 0.05 万元,则 x 千件 商品销售额为 0.05×1000 x 万 .. .. 元,依题意得: 当 0 ? x ? 80 时, L( x) ? (0.05 ?1000 x) ?

1 2 x ? 10 x ? 250 3

1 ? ? x 2 ? 40 x ? 250 .????????????2 分 3 10000 ? 1450 ? 250 当 x ? 80 时, L( x) ? (0.05 ?1000 x) ? 51x ? x
= 1200? ? x ?

? ?

10000? ? .??????????????????4 分 x ?

? 1 2 ? x ? 40x ? 250(0 ? x ? 80), ? ? 3 所以 L( x) ? ? ????6 分 10000? ?1200? ? ?x? ?( x ? 80). ? x ? ? ?
2 (Ⅱ)当 0 ? x ? 80 时, L( x) ? ? ( x ? 60 ) ? 950 .

1 3

此时,当 x ? 60 时, L( x) 取得最大值 L(60) ? 950万元. ??????8 分

当 x ? 80 时,

? 10000? L( x) ? 1200? ? x ? ? x ? ? ? 1200? 2 x ? 10000 ? 1200? 200 ? 1000 x

此时,当 x ?

10000 时,即 x ? 100 时 L( x) 取得最大值 1000 万元.??????11 分 x

? 950 ? 1000
所以,当产量为 100 千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为 1000 万元. ????????????????????????????????????12 分

20.【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】 (本小题满分 13 分) 已知函数 g ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 ? b(a ? 0) 在区间 ?2,3? 上的最大值为 4 , 最小值为 1 , 记

f ( x) ? g( x ) .
(1) 求实数 a、 b 的值; (2) 若不等式 f(log2 k) 成立,求实数 k 的取值范围; ? f(2) (3) 定 义 在

? p, q ?
n













m( x )









T : p ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? q 将区间 ? p, q ? 任意划分成 n 个小区间,如果存
在一个常数 M ? 0 ,使得和式

? m( x ) ? m( x
i ?1 i n

i ?1

) ? M 恒成立,则称函数 m( x) 为在 ? p, q ? 上

的有界变差函数. 试判断函数 f ( x) 是否为在 ? 1,3? 上的有界变差函数?若是,求 M 的最小值; 若不是,请说明理由.(参考公式:

? f (x ) ? ? ? f (x ? f (x ) ? f (x )
i ?1 i 1 2

n

))

【答案】(1) g ( x) ? a(x ? 1) 2 ? 1 ? b ? a ,因为 a ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 ?2,3? 上是增函 数,故 ?

?a ? 1 ? g (2) ? 1 ,解得 ? . b ? 0 g ( 3 ) ? 4 ? ?

??4 分
2

(2) 由 已 知 可 得 f ( x) ? g ( x ) ? x ? 2 x ? 1 为 偶 函 数 , 所 以 不 等 式

f(log2 k) ? f( 2 ) 可化为 log2 k ? 2 ,
解得 k ? 4 或 0 ? k ?

1 , 4

?????7 分 ????9 分

1,3? 上的有界变差函数. (3)函数 f ( x) 为 ?

1,3? 上 的 单 调 递 增 函 数 , 且 对 任 意 划 分 因 为 函 数 f ( x) 为 ?
T : 1 ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? 3 ,有

f (1) ? f ( x0 ) ? f ( x1 ) ? ? ? f ( xn?1 ) ? f ( xn ) ? f (3) ,所以

? f (x ) ? f (x
i ?1 i

n

i ?1

) ? f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ? f ( xn ) ? f ( xn?1 )

? f ( xn ) ? f ( x0 ) ? f (3) ? f (1) ? 4 ,
所以存在常数 M ? 4 ,使得

? m( x ) ? m( x
i ?1 i

n

i ?1

) ? M 恒成立,

所以 M 的最小值为 4 .

????13 分

21. 【 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 诊 断 性 测 试 理 】 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 记 ,试解关于 t 的不等式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , 若 不 等 式 f ( x) ? 0 的 解 集 为 ( 1 , 3 )

f (| t | ?8) ? f (2 ? t 2 ) .
【答案】由题意知 f ( x) ? a( x ? x1 )(? x2 ) ? a( x ?1)(x ? 3) . 且 a ? 0 故二次函数在区间 [2,??) 上是增函数.??????????4 分 又因为 8? | t |? 8,2 ? t 2 ? 2 ,??????????????6 分 故由二次函数的单调性知不等式 f (| t | ?8) ? f (2 ? t 2 ) 等价于 8? | t |? 2 ? t 2 即 | t |2 ? | t | ?6 ? 0 ????????10 分

故 | t |? 3 即不等的解为: ? 3 ? t ? 3 .????????12 分 22.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

( x ? 1)( x ? a ) 为偶函数. x2

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ) 记集合 E ? {y y ? f ( x), x ?{?1,1,2}},? ? lg 2 ? lg 2 lg 5 ? lg 5 ?
2

1 , 判断 ? 与 E 的 4

关系;

1 1 , ] ?m ? 0, n ? 0? 时,若函数 f ( x) 的值域为 [2 ? 3m,2 ? 3n] ,求 m, n 的值. m n ( x ? 1)( x ? a) (? x ? 1)( ? x ? a) ? 【答案】 解:(Ⅰ) ? f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (? x) ? x2 x2
(Ⅲ)当 x ? [

? 2(a ? 1) x ? 0,? x ?R 且 x ? 0 ,? a ? ?1
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知: f ( x) ?

???????????????4 分

x2 ?1 x2
3 4

当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ( x) ?

? 3? ? E ? ?0, ? , ?????????????????????????????6 分 ? 4?

23.【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理) 】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 对任意实数 x , y 恒有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 且当 x>0 时, f ( x) ? 0 又

f (1) ? ?2 .
(1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)求证: f ( x) 是 R 上的减函数; (3)求 f ( x) 在区间[-3,3]上的值域; (4)若 ?x ? R ,不等式 f (ax ) ? 2 f ( x) ? f ( x) ? 4 恒成立,求 a 的取值范围.
2

【答案】 (1)解:取 x ? y ? 0, 则 f (0 ? 0) ? 2 f (0) 取 y ? ? x, 则f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x)

? f (0) ? 0

? f (? x) ? ? f ( x) 对任意 x ? R 恒成立 ∴ f ( x) 为奇函数.

24.【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理) 】 (本小题满分 12 分) 对 于 函 数 f (x) 若 存 在 x0 ? R , f (x0 )=x0 成 立 , 则 称 x0 为 f (x) 的 不 动 点 . 已知

f (x)=ax2 ? (b ? 1) x ? b -1(a ? 0)
(1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f (x) 的不动点; (2)若对任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y =f (x) 图象上 A 、 B 两点的横坐标是函数 f (x) 的不动点, 且 A 、 B 两点关于直线 y ? kx ? 对称,求 b 的最小值. 2a 2 ? 1 【答案】解: (1)? a ? 1, b ? ?2 时, f ( x) ? x2 ? x ? 3 ,

1

f ( x) ? x ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ? x ? ?1, x ? 3
? 函数 f ( x) 的不动点为-1 和 3;
2 (2) 即 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1 ? x 有两个不等实根, 转化为 ax ? bx ? b ? 1 ? 0 有

两个不等实根,需有判别式大于 0 恒成立 即 b2 ? 4a(b ? 1) ? 0 ? ? ? (?4a)2 ? 4 ? 4a ? 0 ? 0 ? a ? 1 , ? a 的 取 值 范 围 为

0 ? a ? 1;

(3)设 A( x1, x1 ), B( x2 , x2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? A,B 的中点 M 的坐标为 (

b , a

x1 ? x2 x1 ? x2 b b , ) ,即 M ( ,? ) 2 2 2a 2a 1 ? A、B 两点关于直线 y ? kx ? 2 对称, 2a ? 1
又因为 A,B 在直线 y ? x 上,

? k ? ?1 ,A,B 的中点 M 在直线 y ? kx ?

1
2

2a ? 1 b b 1 a 1 , ? ? ? 2 ?? ? 2 ?? 1 2a 2a 2a ? 1 2a ? 1 2a ? a

上.

利用基本不等式可得当且仅当 a ?

1 2 时,b 的最小值为 . 2 2 2


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