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2数列的极限


第二节 数列的极限
一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质

第一章

三 、极限存在准则

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一 、数列极限的定义
引例. 设有半

径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知

?

n

r
当 n 无限增大时,
无限逼近 S (刘徽割圆术) ,

数学语言描述: ? ? ? 0 , ?正整数 N , 当 n > N 时, 总有

An ? S ? ?
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束

定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或 称为通项(一般项) . 及常数 a 有下列关系 :

若数列

当 n > N 时, 总有
则称该数列
n ??

的极限为 a , 记作

lim xn ? a 或 xn ? a (n ? ?)

此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . a ? ? ? xn ? a ? ?
几何解释 :
( )

a ? ? x N ?1

x N ?2 a ? ?

(n ? N ) 即 xn ? ? ( a , ? ) (n ? N )
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1 2 3 n ,? 例如, , , , ?, 2 3 4 n ?1 n xn ? ? 1 ( n ? ?) n ?1

收 敛

n ? (?1) n?1 xn ? ? 1 ( n ? ?) n 2 , 4 , 8 , ? , 2n , ? xn ? 2n ? ? (n ? ?) 发

xn ? (?1) n?1 趋势不定
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论证数列 {xn } 极限为a 的方法:ε-N 论证法 (1)对任意给定的正数 ε ;

(2)由 | xn ? a | ? ? 开始分析倒推,推出n>Φ(ε);
(3)取N≥ [ Φ(ε)]; 再用ε-N 语言顺述结论

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例1. 已知

证明数列

的极限为1.

证:

n ? (?1) n ?1 xn ?1 ? n

1 只要 n ? ? 即 ? ? ? 0 , 欲使 1 因此 , 取 N ? [ ] , 则当 n ? N 时, 就有 ? n n ? (?1) ?1 ? ? n



n ? (?1) n lim xn ? lim ?1 n ?? n ?? n
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例2. 已知

证明

1 1 ? 证: xn ? 0 ? 2 ? (n ? 1) n ?1 1 1 只要 ? ? ? (0 ,1) , 欲使 ? ? , 即 n ? ? 1. n ?1 ? 1 取 N ? [ ? 1] , 则当 n ? N 时, 就有 xn ? 0 ? ? ,
(?1) n ?0 故 lim xn ? lim 也可由 xn ? 0 ? 1 2 2 n ?? n?? ( n ? 1) ( n ?1) 说明: N 与 ? 有关, 但不唯一. 取 N ? ? 1? ? 1 ? 不一定取最小的 N . 1 故也可取 N ? [ ? ]
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?

子数列(子列):在数列 {xn }中任意抽取无限多 项并保持这些项在原数列中的先后次序,这样得 到的一个数列 {xnk } 称为原数列 {xn } 的子数列 (或子列)。
注:xnk 是{xnk }的第k项,是原数列{xn }中的第 nk项,

nk ? k.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * —— * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ——

1 例如:数列 {(?1) } ,我们抽取其中的偶数项 n n1 1 1 { } ,则 { } 为 {(?1) } 的一个子列。 2k n 2k
n
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二、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法. 假设 取
n ??



且 a ? b.

因 lim xn ? a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时, 从而 xn ? a ?b 2

同理, 因 lim xn ? b , 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
n ??

从而 xn ? a ?b 2

取 N ? max? N1 , N 2 ?, 则当 n > N 时, xn 满足的不等式 a ?b ? 3a ?b? x x ?? b? a ? b?a ? xn ? b ? b?a a b2 a ? n n 3 a ?b 2 2 2 2 22 矛盾. 故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
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例3. 证明数列 证: 用反证法. 假设数列

是发散的.

取?

? xn ? 收敛 ,

则有唯一极限 a 存在 . 时,有

? 1 ,则存在 N , 使当 n > N 3

a ? 1 ? xn ? a ? 1 3 3
但因

xn 交替取值 1 与-1 ,

而此二数不可能同时落在

( a ? 1 , a ? 1 )内, 因此该数列发散 . 长度为 2 /3 的区间 3 3
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2. 收敛数列一定有界. 证: 设 取

? ? 1 , 则 ? N , 当 n ? N 时, 有
? xn ? a ? a ? 1 ? a

xn ? a ? 1, 从而有


M ? max ? x1 , x2 , ? , xN , 1 ? a xn ? M ( n ? 1 , 2 , ? ) .

?

则有

由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (?1 ) n?1 虽有界但不收敛 .
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?

?

3. 收敛数列的保号性.
若 时, 有 且

(? 0) ,

(? 0) .

证: 对 a > 0 , 取

推论: 若数列从某项起

(? 0)
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(? 0) . (用反证法证明)

4. 收敛数列的任一 子数列收敛于同一极限 .
证: 设数列 若 是数列

的任一子数列 .
时, 有

则 ?? ? 0 , ? N , 当

现取正整数 K , 使

于是当 k ? K 时, 有

nk ?

?N

xN
*********************

N
从而有 x n ? a ? ? , 由此证明 lim x nk ? a . k
k ??
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说明: 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极

限 , 则原数列一定发散 .
例如, 发散 !

k ??

lim x 2 k ? ?1

三、极限存在准则
夹挤定理; 单调有界原理; 柯西收敛定理 .
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1. 夹挤定理 (定理1) (P50)

(1) yn ? xn ? zn ( n ? 1, 2 , ?)
(2) lim yn ? lim z n ? a
n ?? n ??

n ??

lim xn ? a

证: 由条件 (2) , ? ? ? 0 , ? N1 , N 2 ,




时, 时,

令 N ? max? N1 , N 2 ? , 则当 n ? N 时, 有

a ? ? ? y n ? xn ? z n ? a ? ? 即 xn ? a ? ? , 故 lim xn ? a .
由条件 (1)
n ??
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例4. 证明
证: 利用夹挤定理 . 由

1 1 ? 1 n? 2 ? 2 ??? 2 n ? n? ? n ? ? n ? 2?


? n ? ? 2 ?1 ? n
2

? 1 ? 1 ??? 1 ? ? lim n ? 2 ? ?1 2 2 n ?? ? n ? ? n ? 2? n ? n? ?
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2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 )

n ??

lim xn ? a ( ? M )

a

n ??

lim xn ? b ( ? m )

b
( 证明略 )
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例5. 设
极限存在 . (P52~P54) 证: 利用二项式公式 , 有

证明数列

xn ? (1 ? 1 ) n n
n1 ? 1 ? 1! n
n ( n?1) 1 ? 2! 2 n n ( n?1)( n?2) 1 ?? ? 3 3! n

n ( n?1)?( n?n?1) 1 ? n! nn
1 1 2 ? 1 ? 1 ? 2! (1 ? 1 ) ? 3! (1 ? 1 ) (1 ? n ) ? ? n n

1 2 ? n! (1 ? 1 ) (1 ? n ) ?(1 ? n?1) n n
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xn ? 1 ? 1 ? 1 (1 ? 1 ) ? 1 (1 ? 1 ) (1 ? 2 ) ? ? 3! n 2! n n
1 2 ? n! (1 ? 1 ) (1 ? n ) ?(1 ? n?1) n n 1 1 xn?1 ? 1 ? 1 ? 2! (1 ? n1 1) ? 3! (1 ? n1 1)(1 ? n2 1) ? ? ? ? ?
大 大

1 ? ( n?1)! (1 ? n1 1)(1 ? n2 1)?(1 ? nn 1) ? ? ?



比较可知


xn ? xn?1 ( n ? 1, 2 , ?)

xn ? (1 ? 1 ) n ? 1 ? 1 ? n
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1 )n xn ? (1 ? n

? 1?1?

? 1?1?
? 3? 1 2
n ?1

?3

根据准则 2 可知数列 ? xn ? 有极限 . 记此极限为 e , 即
n ??

lim (1 ? 1 ) n ? e n

e 为无理数 , 其值为

e ? 2.718281828459045?
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*3. 柯西极限存在准则(柯西收敛定理) (P55)
数列 极限存在的充要条件是:

? ? ? 0 , 存在正整数 N , 使当 m ? N , n ? N 时, xn ? xm ? ? 有
证: “必要性”.设 lim xn ? a , 则
n ??

使当

时, 有

因此

xn ? a ? ? , 2 xn ? xm ?

xm ? a ? ?

2

“充分性” 证明从略 .

? xn ? a ? xm ? a ? ?
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内容小结
1. 数列极限的 “ ? – N ” 定义及应用

2. 收敛数列的性质:
唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限 3. 极限存在准则:

夹挤定理 ; 单调有界原理

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思考与练习
1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 2. 已知 x1 ? 1 , xn?1 ? 1 ? 2 xn (n ? 1, 2 ,?), 求 lim xn 时, 下述作法是否正确? 说明理由.
n??

设 lim xn ? a , 由递推式两边取极限得
n??

a ? 1? 2a
n??

a ? ?1

不对! 此处 lim xn ? ?
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作业 P30 1, 3 (2)
P56 4 (1) , (3) 4 (3) 提示:
可用数学归纳法证

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备用题

1 a 1.设 xn ?1 ? ( xn ? ) ( n ? 1 , 2 , ? ) , 且 x1 ? 0 , 2 xn a ? 0 , 求 lim xn . 利用极限存在准则
n ??

1 a a 解: ? xn ?1 ? (xn ? ) ? xn ? ? a 2 xn xn 1 a xn ?1 1 a ? (1 ? 2 ) ? ( 1 ? ) ? 1 2 a xn 2 xn
∴数列单调递减有下界, 设 故极限存在, lim xn ? A n ?? 1 a A?? a 则由递推公式有 A ? ( A ? ) 2 A ? x1 ? 0 , ? xn ? 0 , 故 lim xn ? a
n??
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2. 设

证明下述数列有极限 .

证: 显然 xn ? xn ?1 , 即

单调增, 又

(1 ?

) ?1
1 ? ? (1 ? a1 )?(1 ? ak ) ? ?
存在
“拆项相消” 法
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