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2012年 - 河北 - 冀州中学 - 高三 - 名校模拟(一模) - 理科 - 数学


河北省冀州中学 2012 届高三一模考试(数学理)
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1、若集合 A ? { y | y ? 0}, A ? B ? B, 则集合 B 不可能是( )

1 x , x ? 0} B、 { y | y ? ( ) x , x ? R} 2 C、 { y | y ? lg x, x ? 0} D、 ?
A、 { y | y ? 2、右图是 2011 年在某大学自主招生面试环节中,七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图,去掉一个 最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( A、84,4.84 B、84,1.6 C、85,1.6
2



D、85,4

3、设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a5 ? a3 ? A、9 B、

?

0

S 1 (2 x ? )dx ,则 9 =( 2 S5



25 9 C、2 D、 9 25 4、如果 f ?( x) 是二次函数, 且 f ?( x) 的图象开口向上,顶点坐标为(1, 3), 那么曲线 y ? f ( x) 上任一点的
切线的倾斜角 ? 的取值范围是( A、 (0, ) C、 (

?
3

]

B、 [

? ?

, ) 3 2

? 2?
2 , 3

]

D、 [

?
3

,? )
2, b ? 2 , sin B ? cos B ? 2 ,则

5、在 ?ABC 中,A,B,C 三内角所对的边分别为 a,b,c,若 a ? 角 A 的大小为( A、 ) B、

?
6



5? 6

?
3



2? 3
1 12

C、

?
6

D、

?
3

2 6、在区间[-1,1]上任取两数 s 和 t,则关于 x 的方程 x + sx + t = 0 的两根都是正数的概率为

A、

1 48

B、

1 24

C、

D、

1 ( 4



7、已知正项等比数列 {an } 满足 a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 am , an 使得 am an ? 4a1 , 则 A、

1 4 ? 的最小值为 m n

3 2
?

B、
1

5 3
?

C、
1

9 4
?

D、不存在(
3



?3? 3 ?3? 4 ?3? 4 8、已知 a= ? ? ,b= ? ? ,c= ? ? ,则 a、b、c 的大小关系是( ?5? ?5? ?2?
A、c<a<b B、a<b<c C、b<a<c D、c<b<a 9、记 max ? ?a, b? ? ? A、 ? ?1,1?



? ?a (a ? b) ? x ?1 ,若 x, y 满足 ? ,则 z ? max{ y ? x, y ? x} 的范围是( y ? 1 ?b(a ? b) ? ?
C、 ? 0, 2? D、 ? ?2, 2?



B、 ? ?1, 2?

10、 ?ABC 的外接圆圆心为 O ,半径为 2, OA ? AB ? AC ? 0 ,且 | OA |?| AB | ,向量 CA 在 CB 方向上的 投影为 ( )

A、 ? 3 11、已知双曲线

B、 ? 3

C、 3

D、 3

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1,F2,P 为双曲线右支上的任意一点,若 a 2 b2


| PF1 |2 的最小值为 8a,则双曲线离心率的取值范围是( | PF2 |
A、 (0, ??) B、 ?1, 2? C、 1, 3 ?

?

?

D、 ?1,3?

12、已知 f(x)= x 3 ? 3 x ? m ,在[0,2]上任取三个数 a、b、c,均存在以 f(a)、f(b)、f(c)为边的三角形,则 m 的范围为( A、m>2 ) B、m>4 C、m>6 D、m>8 第Ⅱ卷 (非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13、如图给出的是计算 1 ?

1 1 1 的值的一个 ? ? ??? ? 3 5 2011


程序框图,其中判断框内应填入的条件是 14、已知 2 ?

2 2 3 3 ? 2? , 3 ? ? 3? , 3 3 8 8

4?

4 4 a a ? 4? ,? 。 若 8 ? ? 8 ? (a,t 均为正实数) ,类比 15 15 t t


以上等式,可推测 a,t 的值,则 a+t= 是 。

15、某几何体的三视图如图所示,当 a+b 取最大值时,该几何体的表面积 16、给出以下四个命题: ① 若 cos ? cos ? ? 1 ,则 sin(? ? ? ) ? 0 ; ② 已知直线 x ? m 与函数 f ( x) ? sin x, g ( x) ? sin( 像分别交于点 M,N,则 | MN | 的最大值为 2 ; ③ 若数列 an ? n 2 ? ? n(n ? N ? ) 为单调递增数列,则 ? 取值范 围是 ? ? ?2 ; ④ 已知数列 {an } 的通项 an ?

?
2

? x) 的图

3 ,其前 n 项和为 S n ,则使 S n ? 0 的 n 的最小值为 12. 2n ? 11

其中正确命题的序号为_____________________. 三、解答题:本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明.推理过程或计算步骤. 17、(本小题满分 12 分) 已知各项都不相等的等差数列 {an } 的前 6 项和为 60,且 a6 为 a1 和 a21 的等比中项. (I )求数列 {an } 的通项公式;
* (II)若数列 {bn } 满足 bn ?1 ? bn ? an (n ? N ) ,且 b1 ? 3 ,求数列 {

1 } 的前 n 项和 Tn 。 bn

18、 (本小题满分 12 分) 甲、乙两名同学在 5 次英语口语测试中的成绩统计如下面的茎叶图所示. (Ⅰ)现要从中选派一人参加英语口语竞赛,从统计学角度,你认为派哪位学生参加更合适,请说明理由; (Ⅱ)若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测,记这三次成绩中高于 80 分的次数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E? .

19、 (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长都是 2, AA1 ? 平面 ABC,D、E 分别是 AC、CC1 的中点。 (Ⅰ)求证: AE ? 平面 A1BD; (Ⅱ)求二面角 D—BA1—A 的余弦值; (Ⅲ)求点 B1 到平面 A1BD 的距离。

20、 (本小题满分 12 分) 设椭圆 C1:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1、F2,下 a 2 b2

顶点为 A,线段 OA 的中点为 B(O 为坐标原点) ,如图.若抛物线 C2: y ? x ? 1 与 y 轴的交点为 B,且经过 F1,F2 点.
2

(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程;

(Ⅱ)设 M(0, ?

4 ) ,N 为抛物线 C2 上的一动点,过点 N 作抛 5 物线 C2 的切线交椭圆 C1 于 P、Q 两点,求 ?MPQ 面积的最大值.

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ?
/

1 2 x ? 2x . 2
b?a ; 2a
/

(Ⅰ)设 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) (其中 g / ( x) 是 g ( x) 的导函数) ,求 h( x) 的最大值; (Ⅱ)证明: 当 0 ? b ? a 时,求证: f (a ? b) ? f (2a ) ?

(Ⅲ)设 k ? Z ,当 x ? 1 时,不等式 k ( x ? 1) ? xf ( x) ? 3 g ( x) ? 4 恒成立,求 k 的最大值。

请考生在 、 23 、 24 .... 22 . . . . . . . .三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 .................... 第一题记分 .作答时用 2B 铅笔在答题卡把所选题号涂黑。 ..... 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知⊙O 和⊙M 相交于 A、B 两点,AD 为⊙M 的直径,直线 BD 交⊙O 于点 C,点 G 为弧 BD 的中点,连结 AG 分别交⊙O、BD 于点 E、F,连结 CE. (Ⅰ)求证: AC 为⊙O 的直径。 (Ⅱ)求证: AG ? EF ? CE ? GD 。 ;

A O· C E B

·

M F

D G

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程选讲

? 2 x?? 5? t ? ? 2 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos ? ,直线的参数方程是: ? (t 为参数) 。 ? y? 5? 2t ? 2 ? (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程,直线的普通方程; 1 (Ⅱ)将曲线 C 横坐标缩短为原来的 ,再向左平移 1 个单位,得到曲线曲线 C1 ,求曲线 C1 上的点到直 2
线距离的最小值。

24、 (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? a (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 {x | ?2 ? x ? 3} ,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(1)的条件下,若存在实数 n 使 f (n) ? m ? f (? n) 成立,求实数 m 的取值范围。

理科数学答案 一、选择题:CCABCA 二、填空题: 13、 i ? 2011 ;14、71;15、 2 2 ? 1 ;16、①② 三、解答题: 17、解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ( d ? 0 ), 则? ADBCDC

? ?6a1 ? 15d ? 60, 2 ? ?a1 ? a1 ? 20d ? ? ? a1 ? 5d ? ,

解得 ?

?d ? 2, ?a1 ? 5,

…………………4 分 ………………6 分

∴ an ? 2n ? 3 . (Ⅱ)由 bn ?1 ? bn ? an ,

∴ bn ? bn ?1 ? an ?1 n ? 2, n ? N* ,

?

?

bn ? ? bn ? bn ?1 ? ? ? bn ?1 ? bn ? 2 ? ? ? ? ? b2 ? b1 ? ? b1
? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a1 ? b1 ? ? n ? 1?? n ? 1 ? 4 ? ? 3 ? n ? n ? 2 ? .
∴ bn ? n ? n ? 2 ? n ? N* .

?

?

…………………8 分



1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? bn n ? n ? 2 ? 2 ? n n ? 2 ?

………………10 分

1 1 ? 3n 2 ? 5n 1? 1 1 1 1 1 ? 1?3 .…… 12 分 ? ? ? ? Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 3 2 4 n n ? 2 ? 2 ? 2 n ? 1 n ? 2 ? 4 ? n ? 1?? n ? 2 ?
18、解: (Ⅰ) x甲 ?

74 ? 85 ? 86 ? 90 ? 93 76 ? 83 ? 85 ? 87 ? 97 ? 85.6 ; x乙 ? ? 85.6 …2 分 5 5

1 DX 甲 ? [(74 ? 85.6) 2 ? (85 ? 85.6) 2 ? (86 ? 85.6) 2 ? (90 ? 85.6) 2 ? (93 ? 85.6) 2 ] 5 1 = ? 209.20 ? 41.84 5 1 DX 乙 ? [(76 ? 85.6) 2 ? (83 ? 85.6) 2 ? (85 ? 85.6) 2 ? (87 ? 85.6) 2 ? (97 ? 85.6) 2 ] 5 1 ? ? 231.2 ? 46.24 5 ……………………6 分 DX 甲 ? DX 乙 ,甲的水平更稳定,所以派甲去;
(Ⅱ)高于 80 分的频率为

4 4 ,故每次成绩高于 80 分的概率 p ? 。 5 5 4 ? 取值为 0,1,2,3, ? ~ B(3, ) 。 5 4 1 1 12 1 4 1 1 2 ; P (? ? 1) ? C 3 ; P(? ? 0) ? C 30 ( ) 0 ( ) 3 ? ( ) ( ) ? 5 5 125 5 5 125 4 1 48 64 3 4 3 1 0 ; P (? ? 3) ? C 3 P(? ? 2) ? C 32 ( ) 2 ( )1 ? ( ) ( ) ? 5 5 125 5 5 125

?
P

0

1

2

3

1 125 4 12 . E? ? np ? 3 ? ? 5 5

12 125

48 125

64 125

………………10 分

…………………………………12 分

19、 (Ⅰ)证明:以 DA 所在直线为 x 轴,过 D 作 AC 的垂线为 y 轴,DB 所在直线为 z 轴建立空间直角坐 标系 则 A(1,0,0),C( ?1, 0, 0 ),E( -1,-1,0 ),A1( 1,-2,0 ),C1( -1,-2,0 ),B( 0,0, 3 )

???? ? ??? ? ??? ? AE ? (-2, -1, 0) , A1 D ? (-1,2,0) , BD ? (0,0,- 3 ) ??? ? ???? ? ∵ AE ? A1 D =2-2+0=0 ∴ AE ? A1 D ??? ? ??? ? AE ? BD ? 0 ? 0 ? 0 ? 3 ? 0 ∴ AE ? BD
又 A1D 与 BD 相交∴AE⊥面 A1BD

?? (Ⅱ)设面 DA1B 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ?? ???? ? ?? ? ? ?n1 ? A1 D ? 0 ?? x1 ? 2 y1 ? 0 由 ? ?? ??? , ?? ,取 n1 ? (2,1, 0) ……………………………6 分 ? ? ? ? z1 (? 3) ? 0 ?n1 ? BD ? 0

…………………………………4 分

设面 AA1B 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,

?? ?

?? ? ???? ?? ? ? ? ? x ? 2 y2 ? 3 z 2 ? 0 ?n2 ? A1 B ? 0 ? 则由 ? ?? ,取 n2 ? (3, 0, 3) ………………8 分 ?? 2 ? ???? ? 2 y2 ? 0 ?n2 ? A1 A ? 0 ? ?

6 15 15 故二面角 D ? BA1 ? A 的余弦值为 …………10 分 ? 5 5 5 ? 12 ???? ?? (Ⅲ) B1 B ? (0, 2, 0) ,平面 A1BD 的法向量取 n1 ? (2,1, 0) ???? ?? B B?n 2 5 则 B1 到平面 A1BD 的距离为 d ?| 1 ?? 1 |? …………………………12 分 5 n1
20. (Ⅰ)解:由题意可知 B(0,-1) ,则 A(0,-2) ,故 b=2. 令 y=0 得 x 2 ? 1 ? 0 即 x ? ?1 ,则 F1(-1,0),F2(1,0) ,故 c=1. 所以 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 5 .于是椭圆 C1 的方程为:
2

?? ?? ? cos ? n1 ? n2 ??

x2 y 2 ? ? 1 .………………2 分 5 4

(Ⅱ)设 N( t , t ? 1 ) ,由于 y ' ? 2 x 知直线 PQ 的方程为:

y ? (t 2 ? 1) ? 2t ( x ? t ) . 即 y ? 2tx ? t 2 ? 1 . ………………………………4 分
代入椭圆方程整理得: 4(1 ? 5t ) x ? 20t (t ? 1) x ? 5(t ? 1) ? 20 ? 0 ,
2 2 2 2 2

? ? 400t 2 (t 2 ? 1) 2 ? 80(1 ? 5t 2 )[(t 2 ? 1) 2 ? 4] = 80(?t 4 ? 18t 2 ? 3) ,
x1 ? x2 ?

5(t 2 ? 1) 2 ? 20 5t (t 2 ? 1) x x ? , , 1 2 1 ? 5t 2 4(1 ? 5t 2 )
2

故 PQ ? 1 ? 4t

x1 ? x2 ? 1 ? 4t 2 . ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
………………………………8 分

5 ? 1 ? 4t 2 ? ?t 4 ? 18t 2 ? 3 ? . 1 ? 5t 2
设点 M 到直线 PQ 的距离为 d,则 d ?

4 ? ? t 2 ?1 5 1 ? 4t 2

t2 ? ?

1 5

1 ? 4t 2

.……………9 分

1 t2 ? 2 4 2 1 5 ? 1 ? 4 t ? ? t ? 18 t ? 3 1 5 所以, ?MPQ 的面积 S ? PQ ? d ? ? 2 2 1 ? 5t 2 1 ? 4t 2
? 5 5 5 105 ?t 4 ? 18t 2 ? 3 ? ?(t 2 ? 9) 2 ? 84 ? 84 ? 10 10 10 5 当 t ? ?3 时取到“=”,经检验此时 ? ? 0 ,满足题意.
105 .………………………………12 分 5

综上可知, ?MPQ 的面积的最大值为
/

21.解:(Ⅰ) h( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) ? ln( x ? 1) ? x ? 2 , x ? ?1

1 ?x ?1 ? . x ?1 x ?1 当 ?1 ? x ? 0 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, h?( x) ? 0 .
所以 h?( x) ? 因此, h( x) 在 (?1 , 0) 上单调递增,在 (0 , ? ?) 上单调递减.

因此,当 x ? 0 时, h( x) 取得最大值 h(0) ? 2 ;

………………3 分

b?a ?0. 2a 由(1)知:当 ?1 ? x ? 0 时, h( x) ? 2 ,即 ln(1 ? x) ? x .
(Ⅱ)当 0 ? b ? a 时, ?1 ? 因此,有 f (a ? b) ? f (2a ) ? ln

a?b ? b?a? b?a ? ln ?1 ? .………………7 分 ?? 2a 2a ? 2a ?
/

(Ⅲ)不等式 k ( x ? 1) ? xf ( x) ? 3 g ( x) ? 4 化为 k ?

x ln x ? x ?2 x ?1

x ? x ln x ? 2 对任意 x ? 1 恒成立. x ?1 x ? x ln x x ? ln x ? 2 令 g ? x? ? , ? 2 ,则 g ? ? x ? ? 2 x ?1 ? x ? 1?
所以 k ? 令 h ? x ? ? x ? ln x ? 2 ? x ? 1? ,则 h? ? x ? ? 1 ? 所以函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增. 因为 h ? 3? ? 1 ? ln 3 ? 0, h ? 4 ? ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 , 所以方程 h ? x ? ? 0 在 ?1, ?? ? 上存在唯一实根 x0 ,且满足 x0 ? ? 3, 4 ? . 当 1 ? x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,当 x ? x0时,h( x ) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 , 所以函数 g ? x ? ? 所以 ? ? g ? x ?? ?

1 x ?1 ? ?0, x x

x ? x ln x ? 2 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ?? ? 上单调递增. x ?1

min

? g ? x0 ? ?

x0 ?1 ? ln x0 ? x ?1 ? x0 ? 2 ? ?2? 0 ? 2 ? x0 ? 2 ? ? 5, 6 ? . x0 ? 1 x0 ? 1

所以 k ? ? ? g ? x ?? ? min ? x0 ? 2 ? ? 5, 6 ? . 故整数 k 的最大值是 5 . 22.解:(Ⅰ)连结 DG, AB ∵ AD 为⊙M 的直径 ∴ ?ABD ? ?AGD ? 90? 在⊙ O 中, ?ABC ? ?AEC ? ?ABD ? 90? ∴ AC 为⊙O 的直径。 (Ⅱ) ∵ ?AEC ? 90? ∴ ?CEF ? 90? ∵点 G 为弧 BD 的中点 ∴ ?BAG ? ?GAD 在⊙ O 中, ?BAE ? ?ECB ∴ ?AGD ∽ ?ECF ∴ AG ? EF ? CE ? GD
2 2

………………12 分

A O· C E B

·

M F

D G

………………4 分

………………10 分

23、(Ⅰ)曲线 C 的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,直线的方程是: x ? y ? 2 5 ? 0 …………4 分 (Ⅱ)将曲线 C 横坐标缩短为原来的

1 2 2 ,再向左平移 1 个单位,得到曲线曲线 C1 的方程为 4 x ? y ? 4 , 2

设曲线 C1 上的任意点 (cos ? ,2 sin ? ) 到直线距离 d ?

| cos ? ? 2 sin ? ? 2 5 | 2
10 。 2

?

| 2 5 ? 5 sin(? ? ? ) | 2

.

到直线距离的最小值为

………………10 分


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