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执信中学2012届高三模拟考试试题(文数)【含答案与评分标准】


执信中学 2012 届高三模拟考试 数学(文科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) . 1.已知集合 A ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? ? x lo g x 4 ? 2 ? ,则 A ? B ? (
2

?

?

)

A. ? ? 2,1, 2 ?
2

B. ?1, 2 ?

C.

? 2?

D. ? ? 2, 2 ? );

2.若复数 z ? ( a ? 2 a ? 3 ) ? ( a ? 3 ) i 为纯虚数( i 为虚数单位),则实数 a 的值是( A. ? 3 3.已知函数 f ( x ) ? ? A. ? 1 B. ? 3 或 1
? lo g 2 x , x ? 0, ?2 ,
x

C. 3 或 ? 1 若 f (a ) ?
1 2

D. 1 ) D.1 或 ? 2

x ? 0.

,则 a ? ( C. ? 1 或 2

B. 2
n

4.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? p ? 2 ? 2 , ?a n ? 是等比数列的充要条件是 A. p ? 1 B p ?2 C. p ? ? 1 D. p ? ? 2

5.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为
2 ,则双曲线方程为(

) B、x2-y2= 2 C、x2-y2=1 D、x2-y2=
1 2

A、x2-y2=2

6.在等差数列 { a n } 中, a 3 ? a 9 ? 27 ? a 6 , S n 表示数列 { a n } 的前 n 项和,则 S 11 ? A. 18 B. 99 C. 198 D. 297
??? ? ???? ?

? 7.如图所示的方格纸中有定点 O , P ,Q , E , F ,G , H , O O 则P Q
???? ?
???? ???? ????

A. O H

B. O G

C. F O

D. E O

8. 已知 f ( x ), g ( x ) 都是定义在 R 上的函数, 且满足以下条件:
f ( x ) ? a ? g ( x ) ( a ? 0, 且 a ? 1) ;② g ( x ) ? 0 ;
x

③ f ( x ) ? g ?( x ) ? f ?( x ) ? g ( x ) .若
1 2

f (1) g (1)

?

f ( ? 1) g ( ? 1)

?

5 2

,则 a 等于
5 4 1 2

A.

B.

2

C.

D. 2 或

1

9. 从某高中随机选取 5 名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示: 身高 x(cm) 体重 y(kg) 160 63 165 66 170 70 175 72 180 74

? 根据上表可得回归直线方程 ? ? 0.56 x ? a ,据此模型预报身高为 172 cm 的高三男生的体重 y

为 A. 70.09

B. 70.12

C. 70.55

D. 71.05

10.设函数 f ( x ) 的定义域为 R , f ( ? 1) ? 2 ,对于任意的 x ? R , f ?( x ) ? 2 ,则不等式
f ( x ) ? 2 x ? 4 的解集为(

) C. ( ? ? , ? 1) D. ( ? ? , ? ? )

A. ( ? 1,1)

B. ? ? 1, ? ? ?

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,2 题全答的,只计算前一题得分) . 11.在面积为 1 的正方形 A B C D 内部随机取一点 P ,则 ? P A B 的面积大于等于
1 4

的概率是

_________.
12.比较大小: lg 9 ? lg 11
2

1

(填“ ? ”“ ? ”或“ ? ” , )

13.如图,过抛物线 x ? 4 y 焦点的直线依次交抛物线与圆
x ? ( y ? 1)
2 2

? 1 于点 A、B、C、D,则 AB ? CD 的值是________

14.( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 极 坐 标 方 程 分 别 为 ? ? 2 cos ? 和
? ? sin ? 的两个圆的圆心距为____________
A

15.(几何证明选讲选选做题)如图 4,三角形 ABC 中,
AB ? AC ,⊙ O 经过点 A ,与 BC 相切于 B ,与 AC

O ?

D

相交于 D ,若 AD ? CD ? 1 ,则⊙ O 的半径 r ?


B

图4

C

三、解答题(总分 80 分) 16 . 本 小 题 满 分 12 分 ) △ (
??? ???? ? 2 2 2 A B ? A C ? a ? (b ? c ) .

ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c , 满 足

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求 2
3 cos
2

C 2

? sin(

4? 3

? B)

的最大值,并求取得最大值时角 B、C 的大小.

17. (本小题满分 12 分) 我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突
2

出.某市为了节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均 用水量标准?用水量不超过 a 的部分按照平价收费,超过 a 的部分按照议价收费).为了较 为合理地确定出这个标准,通过抽样获得了 100 位居民某年的月均用水量(单位:t),制作 了频率分布直方图. (1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失,请在图中将其补充完整; (2)用样本估计总体,如果希望 80%的居民每月的用水量不超出标准?则月均用水量的 最低标准定为多少吨,请说明理由; (3)从频率分布直方图中估计该 100 位居民月均用水量的众数,中位数,平均数(同一 组中的数据用该区间的中点值代表).

18.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? A B C 中, P A ? 平面 A B C , A C ? B C , D 为侧棱 P C 上一点,它的 正(主)视图和侧(左)视图如图所示. (1)证明: A D ? 平面 P B C ; (2)求三棱锥 D ? ABC 的体积; (3)在 ? A C B 的平分线上确定一点 Q ,使得 P Q ∥ 平面 A B D ,并求此时 P Q 的长.

19. (本小题满分 14 分) 设数列 { a n }的前 n 项和为 S n , 且 S n ? 2 S n ? a n S n ? 1 ? 0 , n ? 1, 2 ,3 , ? .
2

(1)求 a 1 , a 2 ; (2)求 S n 与 S n ?1 ( n ? 2 )的关系式,并证明数列{ (3)求 S 1 ? S 2 ? S 3 ? S 2 0 1 0 ? S 2 0 1 1 的值。
1 sn ? 1

}是等差数列。

20.(本小题满分 14 分)

3

已知函数 f ( x ) ? a ln x ? ax ? 3( a ? R ) . (I)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (II)若函数 y ? f ( x ) 的图象在点 ( 2, f ( 2)) 处的切线的倾斜角为 45o,问:m 在什么范围取 值时,对于任意的 t ? [1, 2 ] ,函数 g ( x ) ? x 3 ? x 2 [
m 2 ? f ? ( x )] 在区间 ( t , 3) 上总存在极值?

21.(本小题满分 14 分) 如图, 曲线 C 1 是以原点 O 为中心, F1 , F 2 为焦点的椭圆的一部分.曲线 C 2 是以原点 O 为顶点,
F 2 为焦点的抛物线的一部分,A、 是曲线 C 1 和 C 2 的交点且 ? AF 2 F1 为钝角, | AF 1 | ? B 若

7 2



| AF 2 |?

5 2

.

(1)求曲线 C 1 和 C 2 的方程; (2)设点 C、 D 是曲线 C 2 所在抛物线上的两点(如图) 。设 ..... 直线 OC 的斜率为 k 1 , 直线 OD 的斜率为 k 2 , k 1 ? k 2 ? 且 证明:直线 CD 过定点,并求该定点的坐标.
2



4

参考答案
一、选择题 1B 2D 3C 4D 二、填空题 11.
1 2

5A

6B 7C 8A 9B 10B 13.1 14.
5 2

12.<

15.

2 7

14

16.解答 (Ⅰ)由已知 2 bc cos A ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 bc , ·················2 分 ··········· ······ ·········· ······ 由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 bc cos A 得 4 bc cos A ? ∵0 ?
A?? ? 2 bc

,∴ co s A

? ?

1 2

, ······ 4 分 ······ ······

,∴ A ?
2? 3

2? 3

. ··········· ··········· ········ 分 ··········· ·········· ········ 6 ·········· ··········· ········
?

(Ⅱ)∵ A ?
2 3 co s
2

,∴ B
4? 3

?
3

?C

,0 ?

C ?

?
3

.
?
3 ? B) ? 3 ? 2 sin ( C ?

C 2

? sin (

? B) ? 2 3 ? ?C ? 3 co s

1 ? co s C 2

? sin (

?
3

)

. ···· 分 ··· 8 ···

∵0 ?

C ? ?

?
3

,∴
?

?
3

?
3
2

? C 2

2? 3


4? 3 ? B ) 取最大值

∴当 C

?
3

?
2

,2

? sin (

3 ?2

,解得 B

?C ?

?
6

.·12 分 ·

17. 解: (Ⅰ)???????????????????3 分 (Ⅱ) 月均用水量的最低标准应定为 2.5 吨.样本中月均用水量不低于 2.5 吨的居民有 20 位,占样本总体的 20%,由样本估计总体,要保证 80%的居 民 每 月 的 用 水 量 不 超 出 标 准 , 月 均 用 水 量 的 最 低 标 准 应 定 为 2.5 吨.??????????????????7 分 (Ⅲ)这 100 位居民的月均用水量的众数 2.25,中位数 2, 平均数为
0 .5 ? ( 1 ? 0 .1 0 ? 3 4 ? 0 .2 0 ? 5 4 ? 0 .3 0 ? 7 4 ? 0 .4 0 ? 9 4 ? 0 .6 0 ? 11 4 ? 0 .3 ? 13 4 ? 0 .1) 4 ? 1.875

???????12 分
BC

18.解: (1)因为 P A ? 平面 A B C ,所以 PA ? 又 AC
? BC


? AD

,所以 B C

?

平面 P A C ,所以 B C
AC ? 4


? PC

由三视图可得,在 ? PAC 中, P A ? 所以 A D ? 平面 P B C (2)由三视图可得 B C 又三棱锥 D
? ABC ?4

, D 为 P C 中点,所以 A D


P

,由⑴知 ? A D C

? 90 ? , B C ?

平面 P A C ,

D

的体积即为三棱锥 B ?
? 1 3 ? 1 2 ?4? 1 2

AD C

的体积,
A C
O Q

所以,所求三棱锥的体积 V

?4?4 ?

16 3



B

(3)取 A B 的中点 O ,连接 C O 并延长至 Q ,使得 C Q ? 2 C O ,点 Q 即为所求. 因为 O 为 C Q 中点,所以 P Q ∥ O D , 因为 P Q ? 平面 A B D , O D
?

平面 A B D ,所以 P Q ∥ 平面 A B D ,

连接 A Q , B Q ,四边形 A C B Q 的对角线互相平分,

5

所以 A C B Q 为平行四边形,所以 A Q ? 4 ,又 P A ? 平面 A B C , 所以在直角 ? P A D 中, P Q ?
AP ? AQ
2 2

? 4 2
2


1 2 .

19. (1)解:当 n ? 1 时,由已知得 a 1 ? 2 a 1 ? a 1 ? 1 ? 0 , 解得 a 1 ?
2

同理,可解得 a 2 ?

1 6

.
2

???? 4 分
*

(2)证明 :由题设 S n ? 2 S n ? 1 ? a n S n ? 0 . 当 n ? 2 ( n ? N )时 , a n ? S n ? S n ?1 代入上式,得 S n ?1 S n ? 2 S n ? 1 ? 0 .
? Sn ? 1 Sn ?1
1 Sn ?1

6分
?1 ? ? 1 ? S n ?1 2 ? S n ?1

1 2 ? S n ?1 ?

,? S n ? 1 ?

1 2 ? S n ?1 1 S n ?1 ? 1 ,

?

2 ? S n ?1 S n ?1 ? 1
1

? ?1 ?

?{

}是首项为

S1 ? 1

? ? 2 , 公差为

-1 的等差数列
1 n ?1 n n ?1

???10 分 ???? 12 分
1 2012

?

1 Sn ?1

? ? 2 ? ( n ? 1) ? ( ? 1) ? ? n ? 1 .

? Sn ? ?

?1?

S1 ? S 2 ? S 3 ? S 2 0 1 0 ? S 2 0 1 1 ?

1 2

?

2 3

?

3 4

?? ?

2010 2011

?

2011 2012

?

14 分

20. f ? ( x ) ?

a x

? a ( x ? 0) 1 x ?1? 1? x x

(I)当 a ? 1 时, f ? ( x ) ?



?????????????2 分

令 f ? ( x ) ? 0 时,解得 0 ? x ? 1 ,所以 f ( x ) 在(0,1)上单调递增; ??4 分 令 f ?( x ) ? 0 时,解得 x ? 1 ,所以 f ( x ) 在(1,+∞)上单调递减. ???6 分 (II)因为函数 y ? f ( x ) 的图象在点(2, f ( 2 ) )处的切线的倾斜角为 45o, 所以 f ?( 2) ? 1 . 所以 a ? ? 2 , f ? ( x ) ?
g (x) ? x ? x [
3 2

?2 x

? 2 . ??????????????????8 分 ? x ?(
3

m 2

?2?

2 x

]

m 2

? 2) x ? 2 x ,
2

g ? ( x ) ? 3 x ? ( 4 m )x ? , ? 2
2

?????????????????10 分
m 2 ? f ? ( x )] 在区间 ( t , 3) 上总存在极值,

因为任意的 t ? [1, 2 ] ,函数 g ( x ) ? x 3 ? x 2 [

6

所以只需 ?
37 3

? g ? ( 2 ) ? 0, ? g ? (3) ? 0,
? m ? ?9 .

????????????????????12 分

解得 ?

?????????????????????14 分

21. 解 : (1 ) 设 A(xA,yA),F1(-c,0),F2(c,0), 曲 线 C1 所 在 椭 圆 的 长 轴 长 为 2a , 则 2a=|AF1|+|AF2|=6???2 分 又由已知及圆锥曲线的定义得:
(x A ? c) ? y A ?
2 2

25 4

, (xA ? c) ? y A ?
2

2

49 4

, xA ? c ?

5 2

????4 分
1 2

得: ( x A ? c ) ?
2

1 4

,又∵ ? AF 2 F1 为钝角,∴ x A ? c ?
x
2

,故 x A ?
2

3 2

, c ? 1 ??5 分
3 2

即曲线 C1 的方程为

?

y

2

? 1( ? 3 ? x ?

3 2

) ,曲线 C2 的方程为 y ? 4 x ( 0 ? x ?

) ?7 分

9

8

(2)设直线 OC 的方程为:y=k1x, 由 ?
?

? y ? k1 x ?y
2

? 4x

得 ( k 1 x ) 2 ? 4 x ? 0 即 C(

4 k1
2

,

4 k1

),??9 分

同理得:D ? ?

4
2

? ( 2 ? k1 )

,

? ? ????????10 分 2 ? k1 ? ? 4

4

? ?

4 2 ? k1 4
2

∴直线 CD 的方程为: y ?

4 k1

?

k1 4 k1
2

(x ?

4 k1
2

)?

k1 ( 2 ? k1 ) 2

(x ?

4 k1
2

)

( 2 ? k1 )

即y ?

k1 ( 2 ? k1 ) 2

x ? 2 2 ,?13 分

当 x=0 时,恒有 y= 2 2 ,即直线 CD 过定点(0, 2

2

)?14 分

7


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