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第一讲 解不等式


第一讲
§1 一元二次不等式 一、知识要点: 1、何谓一元二次不等式?

解不等式

经过整理,含有一个未知数,且未知数的最高次数为 2 的整式不等式,叫做一元二次不等式. 形如: ax2 ? bx ? c ? 0, ax2 ? bx ? c ? 0, ax2 ? bx ? c ? 0, ax2 ? bx ? c ? 0 , 2、

如何解一元二次不等式?同解变形确定不等式的解集. 3、探究: 解下列不等式:

?1? x2 ? 2 x ? 3 ? 0; ? 2 ? x2 ? 2 x ? 3 ? 0; ?3? x2 ? 2 x ? 3 ? 0; ? 4 ? x2 ? 2 x ? 3 ? ?1; ? 5? x2 ? 2 x ? 1 ? 0; ? 2 ? x2 ? 2 x ? 1 ? 0; ?3? x2 ? 2 x ? 3 ? 0;
答案: ?1? ? x x ? 3, 或x ? ?1? ; ? 2 ? ? x ? 1 ? x ? 3?;3 ? ? x x ? 3, 或x ? ?1?; ? 4 ? x x ? 1 ? 3, 或x ? 1 ? 3 ; ?

?

?

? 5??x x ? R, 且x ? 1?; ? 6 ? ?;7? R ?
画出函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 的图象,利用图象回答 4、总结: 一般地,怎样确定一元二次不等式 ax ? bx ? c >0 与 ax ? bx ? c <0 的解集呢?
2 2

??0
y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

??0
y ? ax2 ? bx ? c

??0
y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax 2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

ax ? bx ? c ? 0
2

?a ? 0?的根
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
5、深入探究:

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

?x x

1

? x ?x2?

?

?
1

(8)若 x2 ? 2x ? a ? 0 解集为 R,求 a. (9)若 ? x2 ? 2 x ? a ? 0 解集为 R,求 a.

? ? ? 0 ? a ? 1? ? ? ? 0 ? a ? ?1? ? a ? ?2, b ? ?3?

(10)已知不等式 x2 ? ax ? b ? 0 解集为 ? ?? ? 1? ? ? 3, ?? ? ,求 a,b.

(11)解集为 ? ?? ? 1? ? ? 3, ?? ? 得一元二次不等式是怎样的?你能给出几种形式?
a ? x ? 3?? x ? 1? ? 0 ? a ? 0 ? ; a ? x ? 3?? x ? 1? ? 0 ? a ? 0 ? ; a ? x ? 3? ? 0 ?a ? 0?; a ? x ? 3?? x ? 1? x2 ? 1 ? 0 ? a ? 0 ?;

?x

2

? x ? 1? ? x ? 3?? x ? 1? ? 0; x ? 2 ? 2.

? x ? 1?

二、例题分析: 例 1、解关于 x 的不等式 2 x ? kx ? k ? 0
2

分析:此不等式为含参数 k 的不等式,当 k 值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同,故应先从讨论 判别式入手. 解: ? ? k ? 8k ? k (k ? 8)
2

(1) 当 ? ? 0, 既k ? ?8或k ? 0时, 方程2 x 2 ? kx ? k ? 0 有两个不相等的实根. 所以不等式 2 x2 ? kx ? k ? 0的解集 是 : ? x

? ? k ? k (k ? 8) ? k ? k (k ? 8) ? ? ? ?x? ? 4 4 ? ? ? ?
2

(2) 当 ? ? 0即k ? ?8或k ? 0时, 方程2 x ? kx ? k ? 0 有两个相等的实根, 所以不等式 2 x ? kx ? k ? 0的解集是??
2
2

? k? ?; ? 4?

(3) 当 ? ? 0,即 ? 8 ? k ? 0时, 方程2 x ? kx ? k ? 0 无实根 所以不等式 2 x ? kx ? k ? 0的 解集为 ? .
2

说明:一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系,要注意数形结合研究问题.
2 例 2、已知关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是 x ? ? x ? ? (?? ? 0) ,试求不等式

?

?

cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集.
? a? 2 ? b? ? c ? 0 ? ? ? 解:由 ?、? 是方程 ax ? bx ? c ? 0 的两实根得 ? 2 ? ? a? ? b? ? c ? 0 ? ? ?
2

1 2 1 ? ? ?c (? ? ) ? b( ? ? ) ? ? ? 0 ? ? ,∴ ? 1 、 1 是方程 cx 2 ? bx ? a ? 0 的两根, ∴? ? ? ? ? ? ?c (? 1 ) 2 ? b(? 1 ) ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ?

2

又 ? ? ? , ?? ? 0, 故? ? 0, ? ? 0.

∴?

1

?

? 0,?

1

?

? 0, 有 ?

1

?

??

1

?

, 又c ? 0

不等式 cx 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 ? x ?

? ?

1

?

?x??

1? ? ??

点评:主要问题是,解题方法凌乱,未能很好搭好连接已知与未知的“桥”.二次关系在解题中起着 举足轻重的作用. 例 3、求实数 a 的取之范围,使得关于 x 的不等式 ax2 ? 2ax ? 2a ? 3 ? 0 分别满足下列情况: ⑴解集为 R;⑵解集为?;⑶至少有一个实数解.(参考优等生数学教程 P47) 解析:当 a ? 0 时,原不等式为 ?3 ? 0 ,解集为 R; 当 a ? 0 时,方程 ax2 ? 2ax ? 2a ? 3 ? 0 的判别式 ? ? ?4a ? a ? 3? .
?a ? 0 ⑴解集为 R ? a ? 0 or ? ,解得: a ? ? ??,0?. ?? ? 0 ?a ? 0 ⑵解集为? ? ? ,解得: a ? ?3, ?? ? . ?? ? 0 ?a ? 0 ⑶至少有一个实数解 ? a ? 0 or ? 解得: a ? ? ??,0? ? ? 0,3? . ?? ? 0

点评:本题的⑵⑶是互相否定的关系,所得 a 的范围满足:交集空集,并集为全集 R. 例 4、 (06 江西卷)若不等式 x2+ax+1?0 对于一切 x? ? 0, ? 成立,则 a 的取值范围是 分析:利用三个二次关系,把不等式问题转化为以二次函数为核心的函数问题,结合函数图像,并分类讨 论可解. 解析:设 f(x)=x2+ax+1,则对称轴为 x= ①若 -

? ?

1? 2?

a 2

a 1 1 1 5 > ,即 a?-1 时,则 f(x)在〔0, 〕上是减函数,应有 f( )?0?- ?a?-1; 2 2 2 2 2 a 1 ②若 - <0,即 a?0 时,则 f(x)在〔0, 〕上是增函数,应有 f(0)=1?0 恒成立,故 a?0; 2 2
③若 0? -

a2 a2 a2 a 1 a - +1= - ? 0 恒成立,故-1?a?0; 1 ? ,即-1?a?0,则应有 f( - )= 4 2 4 2 2 2

综上,有-

5 ?a. 2

§2 高次不等式、分式不等式 1、比对一元二次不等式与特殊的高次不等式的解法 例 1、解不等式 ( x ? 4)( x ? 1) ? 0 . 分析一:利用上一节的方法求解; 分析二:由乘法运算的符号法则可知,若原不等式成立,则左边两个因式必须异号,
3

∴原不等式的解集是下面两个不等式组: ?

?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 0 与? 的解集的并集: ?x ? 4 ? 0 ?x ? 4 ? 0

{x| ?

?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 0 }∪ { x | ? }=φ∪{x|-4<x<1}={x|-4<x<1}.书写时可按下列格式: ?x ? 4 ? 0 ?x ? 4 ? 0 ?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 0 或? ? x∈φ 或-4<x<1 ? -4<x<1, ?x ? 4 ? 0 ?x ? 4 ? 0

解二:∵(x-1)(x+4)<0 ? ?

∴原不等式的解集是{x|-4<x<1}. 小结(可不做总结) :一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 ( 或 ax ? bx ? c ? 0 ) (a ? 0 ) 的代数解法:
2 2

设一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0 ) 相应的方程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0 ) 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 ,
2 2

则 ax ? bx ? c ? 0 ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0 ;
2

①若 a ? 0 , 则得 ?

? x ? x1 ? 0, ? x ? x1 ? 0, ? x ? x1 , ? x ? x1 , 或? ?? 或? ? x ? x2 ? 0, ? x ? x2 ? 0. ? x ? x2 , ? x ? x2 .

当 x1 ? x2 时,得 x ? x1 或 x ? x2 ;当 x1 ? x2 时,得 x ? R , 且 x ? x1 . ②若 a ? 0 , 则得 ?

? x ? x1 ? 0, ? x ? x1 ? 0, ? x ? x1 , ? x ? x1 , 或? ?? 或? ? x ? x 2 ? 0, ? x ? x 2 ? 0. ? x ? x 2 , ? x ? x 2 .

当 x1 ? x2 时,得 x1 ? x ? x2 ;当 x1 ? x2 时,得 x ? ? . 分析三:由于不等式的解与相应方程的根有关系,因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求 出不等式的解集. 解:①求根:令(x-1)(x+4)=0,解得 x(从小到大排列)分别为-4,1,这两根将 x 轴分为三部分: ? ,-4) ((-4,1) (1,+ ? ) ; ②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号 (- ? ,-4) x+4 x-1 (x-1)(x+4) + (-4,1) + (1,+ ? ) + + +

③由上表可知,原不等式的解集是{x|-4<x<1}. 例 2、解不等式:(x-1)(x+2)(x-3)>0; 分析:一元高次不等式是指:经过整理,含有一个未知数,并且未知数的最高次数大于 2 的整式不等式, 叫做一元高次不等式.可整理为形式:
f ? x ? ? a ? x ? x1 ? 1 ? ? x ? xk ? k ? x 2 ? p1 x ? q1 ? ? ? x 2 ? pm x ? qm ? ?
? ? ?1 ?m

g 设: ? x ? ? a ? x ? x1 ? 1 ?? x ? xk ? k , 根据 a 的正负,f ? x ? ? 0 ? g ? x ? ? 0(or g ? x ? ? 0) .,如何解高次不等式呢?
? ?

4

我们用列表法或者数轴穿根法. 解析:①检查各因式中 x 的符号均正; ②求得相应方程的根为:-2,1,3; ③列表如下: -2 x+2 x-1 x-3 各因式积 + + 1 + + 3 + + + +

④由上表可知,原不等式的解集为:{x|-2<x<1 或 x>3}. 小结:此法叫列表法,解题步骤是: ①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式(各项 x 的符号化“+”) ,令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0,求出 各根,不妨称之为分界点,一个分界点把(实数)数轴分成两部分,n 个分界点把数轴分成 n+1 部分……; ②按各根把实数分成的 n+1 部分,由小到大横向排列,相应各因式纵向排列(由对应较小根的因式开 始依次自上而下排列) ; ③计算各区间内各因式的符号,下面是乘积的符号; ④看下面积的符号写出不等式的解集. 练习:解不等式:x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1<x<0 或 2<x<3}.

思考:由函数、方程、不等式的关系,能否作出函数图像求解直接写出解集:{x|-2<x<1 或 x>3}. {x|-1<x<0 或 2<x<3} 在没有技术的情况下:可大致画出函数图形求解,称之为根轴法(零点分段法) ①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式,并将各因式 x 的系数化“+”;(为了统一方便) ②求根,并在数轴上表示出来; ③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?) ; ④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线” 在 x 轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在 x 轴下方的区间.

例2图

练习图

注意:奇过偶不过. 例 3、解不等式:(x-2)2(x-3)3(x+1)<0. 解析:①检查各因式中 x 的符号均正; ②求得相应方程的根为:-1,2,3(注意:2 是二重根,3 是三重根) ; ③在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方开始奇过偶不过) ,如下图:
5

④∴原不等式的解集为:{x|-1<x<2 或 2<x<3}. 说明:∵3 是三重根,∴在 C 处过三次,2 是二重根,∴在 B 处过两次,结果相当于没过.由此看出,当左 侧 f(x)有相同因式(x-x1)n 时,n 为奇数时,曲线在 x1 点处穿过数轴;n 为偶数时,曲线在 x1 点处不穿过数 轴,不妨归纳为“奇过偶不过”. 练习:解不等式:(x-3)(x+1)(x2+4x+4) ? 0. 解析:①将原不等式化为:(x-3)(x+1)(x+2)2 ? 0; ②求得相应方程的根为:-2(二重) ,-1,3; ③在数轴上表示各根并穿线,如图: ④∴原不等式的解集是{x|-1 ? x ? 3 或 x=-2}. 说明: 注意不等式若带“=”号, 点画为实心, 解集边界处应有等号; 另外, 线虽不穿过-2 点, x=-2 满足“=” 但 的条件,不能漏掉. 小结:数轴标根法解不等式的步骤是: ①化高次不等式为标准型: p ? x ? ? ? x ? x1 ?? x ? x2 ?? x ? x3 ? ... ? x ? xn ? ? 0 ? 或<0 ? ,即,等价变形后的

不等式一边是零,一边是若干一次因式或二次不可分因式之积 (未知数系数一定为正数); ②把每一个一次因式的根标在数轴上; ③用曲线“从上往下同时从右向左”穿根.(奇次根穿过,偶次根穿而不过); ④看图象写出解集.简记为:“变形,标根,穿根,写解集”. 2、分式不等式的解法

x ?3 x?3 ? 0 .;⑵ ?0 x?7 x?7 错解:去分母得 x ? 3 ? 0 ∴原不等式的解集是 ?x | x ? 3? .
例 4、解不等式:⑴ 解法 1:化为两个不等式组来解: ∵

?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0 x?3 或? ?0 ?? ? x∈φ 或 ? 7 ? x ? 3 ? ? 7 ? x ? 3 , x?7 ?x ? 7 ? 0 ?x ? 7 ? 0

∴原不等式的解集是 ?x | ?7 ? x ? 3?. 解法 2:化为二次不等式来解:

x?3 ? 0 ? ( x ? 3)( x ? 7) ? 0 ? ?7 ? x ? 3 ,∴原不等式的解集是 ?x | ?7 ? x ? 3? x?7 说明:若本题带“=”,即(x-3)(x+7) ? 0,则不等式解集中应注意 x ? -7 的条件,解集应是{x| -7<x ? 3}.
∵ 小结:⑴分式不等式解法是:移项,通分,一边化为 0,一边化为

f ( x) 的形式. g ( x)



g ? x?
g ? x?

f ? x?
f ? x?

⑵解分式不等式,首先要把它等价变形为整式不等式.一般有以下几种常见类型:

? 0 ? f(x)· (x)>0; ② g

g ? x?

f ? x?

? 0 ? f(x)· (x)<0. g



? 0 ? f(x)g(x)≥0 且g(x)≠0 ? f(x)· (x)>0 或 f(x)=0. g
6



g ? x?

f ? x?

? 0 ? f(x)· (x)≤0 且g(x)≠0 ? f(x)· (x)<0 或 f(x)=0. g g

例 5、 解不等式:

x 2 ? 3x ? 2 ?0. x 2 ? 2x ? 3

解法 1:化为不等式组来解较繁. 解法 2:∵
2 ? 2 ?( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 1) ? 0 x 2 ? 3x ? 2 ?( x ? 3x ? 2)( x ? 2 x ? 3) ? 0 ?0?? 2 ?? 2 x ? 2x ? 3 ?x ? 2x ? 3 ? 0 ?( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ?

由数轴穿根法可得,原不等式的解集为{x| -1<x ? 1 或 2 ? x<3}.

-1

1

2

3

x?3 2 ? 4x ?2; ⑵ 2 ? x ? 1. x?5 x ? 3x ? 2 答案:⑴ {x|-13<x<-5};⑵{x|x ? 0 或 1<x<2})
练习:解不等式:⑴ 三、小结: 1、特殊的高次不等式即右边化为 0,左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式,一般用区间法解, 注意:①左边各因式中 x 的系数化为“+”,若有因式为二次的(不能再分解了)二次项系数也化为“+”,再 按我们总结的规律作;②注意边界点(数轴上表示时是“0”还是“.”). 2、分式不等式,切忌去分母,一律移项通分化为 高次不等式形式,再用数轴穿根法求解

f ( x) f ( x) >0(或 <0)的形式,转化为一次、二次或特殊 g ( x) g ( x)

王新敞
奎屯

新疆

3、一次不等式,二次不等式,特殊的高次不等式及分式不等式,我们称之为有理不等式. 4、注意必要的讨论. 5、一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴.
2 例 6、解不等式: ?1?? x ? 2 ?5 ? x ? 1?3 ? x ? 3?4 ? x ? 5 ? ? 0; ? 2 ? x ? x ? 1?? x ? 2 ? ? 0 2 2

? x ? 2 ?? x ? 1?

答案: ?1?? ?5, ?3? ? ? ?3, ?1? ? ? 2, ?? ? ; ? 2 ??0? ? ?1, 2 ?

2 x 2 ? 2k x ? k ? 1 对于 x 取任何实数均成立,求 k 的取值范围.(提示:4x2+6x+3 恒正) 例 7、若不等式 2 4x ? 6x ? 3
解:
2 x2 ? 2kx ? k 2 x2 ? 2kx ? k 2 x 2 ? 2(k ? 3) x ? 3 ? k ?1? ?1 ? 0 ? ?0 4 x2 ? 6 x ? 3 4 x2 ? 6 x ? 3 4 x2 ? 6 x ? 3

? 2 x 2 ? 2(k ? 3) x ? 3 ? k ? 0 (∵4x2+6x+3 恒正),
故,原不等式对 x 取任何实数均成立,等价于不等式 2x2-2(k-3)x+3-k>0 对 x 取任何实数均成立. ∴ ? =[-2(k-3)]2-8(3-k)<0 ? k2-4k+3<0 ? 1<k<3. ∴k 的取值范围是(1,3).

小结:逆向思维题目,告诉解集反求参数范围,即确定原不等式,待定系数法的一部分
7


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