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课时作业27


课时作业(二十七)
1.互为共轭复数的两复数之差是( A.实数 C.0 )

数系的扩充与复数的引入
A 级

B.纯虚数 D.零或纯虚数

2.(2012· 福建莆田质量检测)已知 a,b 是实数,i 是虚数单位,若 i(1+ai)=1+bi,则 a +b 等于( A.0 C.2 ) B.1 D.-

2

2 ? 1 ?1+i? ? ?,i 是虚数单位,Z 为整数集,则集 3.(2012· 长沙模拟)已知集合 M=?i,i2, , i i ? ?

合 Z∩M 中的元素个数是( A.3 个 C.1 个

) B.2 个 D.0 个 )

m-2i 4.复数 z= (m∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( 1+2i A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

5.定义:若 z2=a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位),则称复数 z 是复数 a+bi 的平方根.根 据定义,则复数-3+4i 的平方根是( A.1-2i 或-1+2i C.-7-24i z2-2z 6.已知复数 z=1-i,则 =________. z-1 7.(2012· 临沂模拟)已知复数 z 与(z+2)2-8i 均是纯虚数,则 z=________. 1 8.已知复数 2+i 与复数 在复平面内对应的点分别是 A 与 B,则∠AOB=________. 3+i 9.设复数 z 满足|z|=5 且(3+4i)z 是纯虚数,则 z =________. ?-1+i??2+i? 10.计算:(1) ; i3 ?1+2i?2+3?1-i? (2) ; 2+i 1-i 1+i (3) + . ?1+i?2 ?1-i?2 ) B.1+2i 或-1-2i D.7+24i

1

11.(2011· 上海卷)已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2,且 z1·2 是实数,求 z2. z

B 级 1.已知 i 为虚数单位,a 为实数,复数 z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为 M,则 1 “a> ”是“点 M 在第四象限”的( 2 A.充分而不必要条件 C.充要条件 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

y 2.已知复数 z=x+yi,且|z-2|= 3,则 的最大值为________. x → → 3.已知 A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面上的四点,且向量AB,CD 对应的复数分别为 z1,z2. 1+i 1-i (1)若 z1+z2=1+i,求 + . z1 z2 (2)若 z1+z2 为纯虚数,z1-z2 为实数,求 a,b.

2

3

答案 课时作业(二十七) A 级 1.D 设互为共轭复数的两个复数分别为 z=a+bi, z =a-bi(a,b∈R),则 z- z = 2bi 或 z -z=-2bi. ∵b∈R,当 b≠0 时,z- z , z -z 为纯虚数; 当 b=0 时,z- z = z -z=0.故选 D.
? ?-a=1, 2.A 由于 a,b 是实数,所以 i(1+ai)=1+bi 变形为 i-a=1+bi,∴? 即 ? ?1=b, ?a=-1, ? ? 从而 a+b=0. ?b=1. ?

3.B 由已知得 M={i,-1,-i,2},Z 为整数集,∴Z∩M={-1,2},即集合 Z∩M 中有 2 个元素. 4.A m-2i ?m-2i??1-2i? m-4 -?2m+2? m-4 2m+2 z= = = + i,显然 >0 与- >0 不 5 5 5 5 5 1+2i

m-2i 可能同时成立,则 z= 对应的点不可能位于第一象限. 1+2i 5.B
?x2-y2=-3, ?x=1, ?x=-1, ? ? ? 设(x+yi) =-3+4i,则? 解得? 或? ?xy=2, ?y=2 ?y=-2. ? ? ?
2

6.解析:

z2-2z ?1-i?2-2?1-i? -2i-2+2i -2i = = = =-2i. z-1 ?1-i?-1 -i -i· i

答案: -2i 7.解析: 设 z=ai,a∈R 且 a≠0, 则(z+2)2-8i=4-a2+(4a-8)i. ∵(z+2)2-8i 是纯虚数,∴4-a2=0 且 4a-8≠0. 解得 a=-2.因此 z=-2i. 答案: -2i 8.解析: 由题意得,点 A 的坐标为(2,1). ∵ 3 1 1 3 i = - ,∴B 点的坐标为?10,-10?. ? ? 3+i 10 10

3 1 → → ∴OA=(2,1),OB=?10,-10?, ? ? → → OA· OB 2 π ∴cos∠AOB= = ,∴∠AOB= . 2 4 → → |OA||OB|
4

答案:

π 4

9.解析: 设 z=a+bi(a、b∈R),则有 a2+b2=5.(*) 于是(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i.
? ?3a-4b=0 3 由题设得? 得 b= a, 4 ? ?4a+3b≠0 ? ? ?a=4 ?a=-4 3 代入(*)得 a2+?4a?2=25,解得 a=± 4,∴? 或? . ? ? ?b=3 ?b=-3 ? ?

∴ z =4-3i 或 z =-4+3i. 答案: ± (4-3i) ?-1+i??2+i? -3+i 10.解析: (1) = =-1-3i. i3 -i ?1+2i?2+3?1-i? -3+4i+3-3i (2) = 2+i 2+i = i?2-i? 1 2 i = = + i. 5 5 5 2+i

1-i 1+i 1-i 1+i 1+i -1+i (3) = + = + =-1. 2+ 2 ?1+i? ?1-i?2 2i -2i -2 11.解析: (z1-2)(1+i)=1-i?z1=2-i.

设 z2=a+2i,a∈R, 则 z1·2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. z ∵z1·2∈R.∴a=4.∴z2=4+2i. z B 级 1.C z=(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i,若其对应的点在第四象限,则 a+2>0,且 1 1 1-2a<0,解得 a> .即“a> ”是“点 M 在第四象限”的充要条件. 2 2 2.解析:

|z-2|= ?x-2?2+y2= 3, ∴(x-2)2+y2=3. y 3 由图可知?x?max= = 3. ?? 1 答案: 3

→ 3.解析: (1)∵AB=(a,1)-(1,2)=(a-1,-1), → CD=(-1,b)-(2,3)=(-3,b-3), ∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i,
5

∴z1+z2=(a-4)+(b-4)i,
?a-4=1 ?a=5 ? ? 又 z1+z2=1+i,∴? ,∴? , ? ? ?b-4=1 ?b=5

∴z1=4-i,z2=-3+2i, ∴ = = 1+i 1-i 1+i 1-i + = + z1 z2 4-i -3+2i ?1+i??4+i? ?1-i??-3-2i? + 42+12 ?-3?2+22 3+5i -5+i 46 82 + =- + i. 17 13 221 221

(2)由(1)得 z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i,

?a-4=0 ? ∵z1+z2 为纯虚数,z1-z2 为实数,∴?b-4≠0, ?2-b=0 ?

?a=4, ? ∴? . ?b=2 ?

6


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