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全国高中数学联赛导引(五) 平面图形 立体图形 空间向量


联赛导引 导引(五 联赛导引 五) 平面图形 立体图形 空间向量 一,基础知识导引 <一>,直线,平面之间的平行与垂直的证明方法 1,运用定义证明(有时要用反证法); 2,运用平行关系证明; 3,运用垂直关系证明; 4,建立空间直角坐标系,运用空间向量证明. 例如,在证明:直线 a ⊥ 直线 b 时.可以这样考虑 (1),运用定义证明直线 a 与 b 所成的角为 900 ; (3),运用“若 a ⊥ 平面 α , b ? α ,则 a ⊥ b ”; v v (5),建立空间直角坐标系,证明 a ? b = 0 . <二>,空间中的角和距离的计算 1,求异面直线所成的角 (1),(平移法)过 P 作 a ' // a , b ' // b ,则 a ' 与 b ' 的夹角就是 a 与 b 的夹角; (2),证明 a ⊥ b (或 a // b ),则 a 与 b 的夹角为 900 (或 00 ); (2),运用三垂线定理或其逆定理; (4),运用“若 b // c 且 a ⊥ c ,则 a ⊥ b ”;

v v π (3),求 a 与 b 所成的角( θ ∈ [0, π ] ),再化为异面直线 a 与 b 所成的角( α ∈ (0, ] ). 2 2,求直线与平面所成的角 (1),(定义法)若直线 a 在平面 α 内的射影是直线 b ,则 a 与 b 的夹角就是 a 与 α 的夹角;
(2),证明 a ⊥ α (或 a // α ),则 a 与 α 的夹角为 900 (或 00 );

v v (3)求 a 与 α 的法向量 n 所成的角 θ ,则 a 与 α 所成的角为 900 ? θ 或 θ ? 900 .
3,求二面角 (1),(直接计算)在二面角 α ? AB ? β 的半平面 α 内任取一点 P ? AB ,过 P 作 AB 的垂线, 交 AB 于 C,再过 P 作 β 的垂线,垂足为 D,连结 CD,则 CD ⊥ AB ,故 ∠PCD 为所求的二面角. (2),(面积射影定理)设二面角 α ? AB ? β 的大小为 θ ( θ ≠ 900 ),平面 α 内一个平面图形 F 的面积为 S1 ,F 在 β 内的射影图形的面积为 S2 ,则 cos θ = ±
S2 .(当 θ 为钝角时取“ ? ”). S1

(3),(异面直线上两点的距离公式): EF 2 = d 2 + m 2 + n 2 ? 2mn cos θ ,其中 θ 是二面角

α ? AB ? β 的平面角,EA 在半平面 α 内且 EA ⊥ AB 于点 A,BF 在半平面 β 内且 FB ⊥
AB 于 B,而 AB = d , EA = m , FB = n . (4),(三面角的余弦定理),三面角 S ? ABC 中, ∠BSC = α , ∠CSA = β , ∠ASB = γ ,又二面角
B ? SA ? C = θ ,则 cos θ =

cos α ? cos β cos γ . sin β sin γ

uv uu v (5),(法向量法)平面 α 的法向量 n1 与平面 β 的法向量 n2 所成的角为 θ ,则所求的二面角为

θ (同类)或 π ? θ (异类).
33

4,求两点 A,B 间距离
uuu v (1),构造三角形进行计算; (2),导面直线上两点间的距离公式; (3),求 AB .

5,求点到直线的距离 (1),构造三角形进行计算; (2),转化为求两平行红色之间的距离. 6,求点到平面的距离 (1),直接计算从点到平面所引垂线段的长度; (2),转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (3),(体 3V 积法)转化为求一个棱锥的高 h = ,其中 V 为棱锥体积,S 为底面面积, h 为底面上的高.(4),在平面上取一 S uuu v 点 A,求 AP 与平面的法向量 n 的夹角的余弦 cos θ ,则点 P 到平面
uuu v 的距离为 d = AP ? cos θ .

7,求异面直线的距离 (1)(定义法)求异面直线公垂线段的长; (2)(体积法)转化为求几何体的高; (3)(转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (4)(最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值; (5)(射影法)如果两异面直线 a, b 在同一平面内的射影分别是一个点 P 和一条直线 l , 则 a 与 b 的距离等于 P 到 l 的距离; (6)(公式法) d 2 = EF 2 ? m 2 ? n 2 ± 2mn cos θ .

8,求平行的线线,线面,面面之间的距离的方法,通常是转化为求点与线或点与面之间的距离. <三>,多面体与旋转体 1,柱体(棱柱和圆柱) (1)侧面积 S侧 = c ? l ( c 为直截面周长, l 为侧棱或母线长)(2)体积 V = Sh ( S 为底面积, h 为高) 2,锥体(棱锥与圆锥)
1 c ? h ' ( c 为底面周长, h ' 为斜高)(2)圆锥的侧面积: S侧 = π rl 2 1 ( r 为底面周长, l 为母线长)(3)锥体的体积: V = Sh ( S 为底面面积, h 为高). 3

(1)正棱锥的侧面积 S侧 =

3,锥体的平行于底面的截面性质: 4,球的表面积: S = 4π R 2 ;

S1 h12 V1 h13 = , = . S h 2 V h3

4 球的体积: V = π R3 . 3

二,解题思想与方法导引 1,空间想象能力; 2,数形结合能力; 3,平几与立几间的相互转化; 4,向量法 三,习题导引 <一>,选择题 1,正四面体的内切球和外接球的半径之比为 A,1:2 B,1:3 C,1:4 D,1:9 2,由曲线 x 2 = 4 y , x 2 = ?4 y , x = 4 , x = ?4 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得的几何体的体 积为 V1 ;满足 x 2 + y 2 ≤ 16 , x 2 + ( y ? 2) 2 ≥ 4 , x 2 + ( y + 2)2 ≥ 4 的点 ( x, y ) 组成的图形绕
y 轴旋转一周所得的几何体的体积为 V2 ,则
34

1 2 A, V1 = V2 B, V1 = V2 C, V1 = V2 D, V1 = 2V2 2 3 3,如右图,底面半径 r = 1 ,被过 A,D 两点的倾斜平面所截,截面是离心

D

率为

2 的椭圆,若圆柱母线截后最短处 AB = 1 ,则截面以下部分的 2
A

几何体体积是 A,
3π 2

B, 2π

C, π

D, (1 +

2 )π 2

C

B

4,在四面体 ABCD 中,设 AB = 1 , CD = 3 ,直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角为 面体 ABCD 的体积等于 A,
3 2

π
3

,则四

B,

1 2

C,

1 3

D,

3 3

5,三个圆柱侧面两两相切,且它们的轴也两两相互垂直,如果每个圆柱底面半径都是 1, 那么,与这三个圆柱侧面都相切的最小球的半径是 A, 2 ? 1 B,
2 ?1 2

C,

5 ?1 2

D,

5 ?1 4

6,四面体 ABCD 的顶点为 A,B,C,D,其 6 条棱的中点为 M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , M 6 ,共 10 个 点,任取 4 个点,则这 4 个点不共面的概率是 5 7 24 B, C, A, 7 10 35 <二>,填空题
47 70

D,

7,正方体 ABCD ? A' B 'C ' D ' 的棱长为 a ,则异面直线 C D ' 与 BD 间的距离等于 8,正四棱锥 S ? ABCD 中, ∠ASB = 450 ,二面角 A ? SB ? C 为 θ 且 cos θ = m + n ,( m ,

.

n 为整数),则 m + n = . 9,在正三棱锥 P ? ABC 中, AB = a , PA = 2a ,过 A 作平面分别交平面 PBC 于 DE.当截面
?ADE 的周长最小时, S ?ADE =

,P 到截面 ADE 的距离为

.

10,空间四个球,它们的半径分别是 2,2,3,3.每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这 四个球都相切,则这个小球的半径等于 . 11,三个 12 × 12 的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成 A,B 两 片,如图,把这六片粘在一个正六边形的外面,然后折成多面体,则这个 多面体的体积为 . 12,直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中,平面 A1 BC ⊥ 平面 ABB1 A1 ,且 AC =
A

B

3AA1 ,则 AC 与平面 A1 BC 所成的角 θ 的取值范围是
<三>,解答题 13,如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC = BC ,连接 AB1 , BC1 , C1
B1

.

A1

35

C B

A

CA1 ,若 AB1 ⊥ BC1 ,求证: AB1 ⊥ CA1

S

14,如图,设 S ? ABCD 是一个高为 3,底面边长为 2 的正四棱锥, K 是棱 SC 的中点,过 AK 作平面与线段 SB,SD 分别交于 M,N (M,N 可以是线段的端点).试求四棱锥 S ? AMKN 的体积 V D 的最大值与最小值.
A

N M

K C B

15,有一个 m × n × p 的长方体盒子,另有一个 (m + 2) × (n + 2) × ( p + 2) 的长方体盒子, 其中 m, n, p 均为正整数( m ≤ n ≤ p ),并且前者的体积是后者一半,求 p 的最大值.

四,解题导引 1,B 设棱长为 a ,外接球的半径为 R,内切球的半径为 r ,则 R 2 ? (
6 6 6 6 a,r = a? a= a ,有 r :R=1:3. 4 3 4 12 3 2 6 a) = ( a ? R)2 3 3

解得 R =

2,C 设 A(0, a )(a > 0) ,则过 A 的两个截面都是圆环,面积分别是 (42 ? x 2 )π = (42 ? 4a )π 和
( x12 ? x2 2 )π = {(42 ? a 2 ) ? [22 ? (a ? 2)2 ]}π = (4 2 ? 4a )π ,于是 V1 = V2 .

3,B 在椭圆中 b = r = 1 ,又

c 2 1 = ,得 a = 2 ,所求的体积 V = π ?12 ?1 + (π ?12 ? 2) = 2π a 2 2

4,B 过 C 作 CE // AB ,以 ?CDE 为底面,BC 为侧棱作棱柱 ABF ? ECD ,则所求四面体的体
36

1 1 积 V1 等于上述棱柱体积 V2 的 ,而 ?CDE 的面积 S = CE × CD × sin ∠ECD ,AB 与 CD 3 2 1 的公垂线 MN 就是棱柱 ABF ? ECD 的高,于是 V2 = MN × CE × CD × sin ∠ECD = 2

1 3 3 1 1 × 2 × 1× 3 × = ,因此 V1 = V2 = . 2 2 2 3 2

5,A

三个圆柱的轴为三条两两垂直的异面直线,而异面直线的距离都为 2,则所求球的半径为

r = 2 ? 1.
6,D
4 C10 ? 6C64 ? 6 ? 3 141 47 . = = 4 C10 270 70

7,

3 a 3

设 E 是 CD ' 上的点,过 E 作 EH ⊥ DC 于 H,所以 EH ⊥ 面 ABCD,过 H 在面 ABCD 2 x ,所以 EF= 2

内作 HF ⊥ BD ,连接 EF,所以 EF ⊥ BD,令 DH = x , HE = a ? x , FH =
2 2 3 2 3 2 a2 3 x) = x ? 2ax + a 2 = ( x ? a )2 + ≥ a. 2 2 2 3 3 3

( a ? x) 2 + (

8,5

因各侧面为全等的等腰三角形.在 ?SAB 内作高 AE,则 CE 也是 ?SBC 的高,故
1 450 , AB = BC = 2 sin , AC 2 = AB 2 + BC 2 2 2

∠AEC = θ .设 SA = 1 则 AE = CE =

= 8sin 2

450 AE 2 + CE 2 ? AC 2 = 4(1 ? cos 450 ) = 4 ? 2 2 . cos θ = = ?3 + 8 , 2 2 AE ? CE

得 m + n = ?3 + 8 = 5 . 9,
3 55 2 3 5 a ; a 64 5

将三棱锥的侧棱 PA 剪开,当 ?ADE 的周长最小时,其展开图如图
P

?ADE 的周长即是展开图中线段 AA' 的长.易证 ?ABD

∽ ?PAB ,又 PA=2AB= 2a ,故 AD = AB = 2 BD = a , 3 PD 3 PD = PB ? BD = a , DE = ? BC = a . ?ADE 中, 2 PB 4

D A B

E C

A’

1 55 DE 上的高 AH = AD 2 ? ( DE ) 2 = a .于是 2 8
1 3 55 2 S ?ADE = × AH × DE = a ; 2 64

从 P 向底面作高 PO.则 PO= PA2 ? AO 2

= (2a ) 2 ? (

1 2 33 1 33 3 2 11 3 a) = a .于是 VP ? ABC = ? a? a = a . 3 3 4 12 3 3

37



S ?PDE PD 2 9 9 9 11 3 3 11 3 = = ,得 VA? PDE = VA? PBC = × a = a .设 P 到截面的距离 2 S ?PBC PB 16 16 16 12 64

1 3 11 3 3 5 为 d ,则 VA? PDE = VP ? ADE = d ? S ?ADE = a ,于是 d = a. 3 64 5

10,

C 6 设半径为 3 的球心为 A,B,半径为 2 的球心为 C,D.则易知 11 F O AB=6,CD=4,AC=AD=BC=BD=5.设小球中心为 O,半径为 r ,则 O 在 B 四面体 ABCD 内且 AO=BO=3+ r ,CO=DO=2+ r .取 AB 中点 E,连结 E CE,DE,则 CE ⊥ AB,DE ⊥ AB,故平面 CDE 为线段 AB 的垂直平分面 D A α ,所以 O 在平面 CDE 内,又由 OC=OD=2+ r 知 O 在 CD 的垂直平

分面 β 内,故 O 在等腰 ?CED 底边 CD 上的高 EF 上(F 为 CD 中点),易算出 ED=EC=

52 ? 32 = 4 ,得 ?ECD 为等边三角形.于是 EF=

3 ED = 2 3 .而 OF = OC 2 ? CF 2 2

= (2 + r )2 ? 22 = r (4 + r ) .OE= OA2 ? AE 2 = (3 + r ) 2 ? 32 = r (6 + r ) ,代入 OE+OF =EF=2 3 得 r (4 + r ) + r (6 + r ) = 2 3 ,解得 r = 11,864
6 . 11 123 . 2

将几何体补成一个棱长为 12 的正方体,几何体的体积为正方体体积的一半,为 作 AD ⊥ A1 B 于 D,易证 AD ⊥ 平面 A1 BC ,所以 ∠ACD = θ .设 AA1 = a ,
ax
2

12, 00 < θ < 300

3a 2 sin 2 θ AB = x ,则 AD = = 3a ? sin θ ,故 x = .易证 BC ⊥ 平面 A1 ABB1 , 1 ? 3sin 2 θ a 2 + x2 3a 2 sin 2 θ 1 故 ∠CBA = 90 ,从而 AB < AC ,即 x < 3a ,于是 0 ≤ < 3a 2 , sin θ < , 2 1 ? 3sin θ 2
0

又 00 < θ < 900 ,得 00 < θ < 300 . 13,证明:设 D, D1 分别为 AB, A1 B1 的中点.连结 CD, C1 D1 及 BD1 , DA1 .因为 BD //D1 A1 ,所以 四边形 BD1 A1 D 为平行四边形,得 BD1 // DA1 .因 AC=BC,于是 B1C1 = C1 A1 .又 D, D1 分别为 AB, A1 B1 的中点,故 CD ⊥ AB, C1 D1 ⊥ A1 B1 ,而 AB1 在平面 ABC(或 A1 B1C1 )内的射影为 AB (或 A1 B1 ),得 AB1 ⊥ CD, AB1 ⊥ C1 D1 ,又已知 AB1 ⊥ BC1 ,所以 AB1 ⊥ 平面 B C1 D1 ,从而 AB1
⊥ BD1 ,又 BD1 // DA1 ,所以 AB1 ⊥ DA1 .又 AB1 ⊥ C1 D1 ,得 AB1 ⊥ 平面 A1 CD,从而得证.

14,解:为了建立 V 与原四棱锥 S ? ABCD 的关系.我们先引用 下面的事实: (如图)设 A1 , B1 , C1 分别在三棱锥 S ? ABC 的侧棱 SA,SB,SC 上,
A A1

S H1 C1 B1 H C B
38

又 S ? A1 B1C1 与 S ? ABC 的体积分别是 V1 和 V,则
V1 SA1 ? SB1 ? SC1 = . V SA ? SB ? SC

事实上,设 C, C1 在平面 SAB 的射影分别是 H, H1 .则
S ?SA1B1

C1 H1 SC1 = , CH SC

1 ?C H ? S SA1 ? SB1 V1 3 1 1 ?SA1B1 SA1 ? SB1 ? SC1 又 = ,所以 = = .下面回到原题. 1 S ?SAB SA ? SB V SA ? SB ? SC ? CH ? S ?SAB 3 SM SN 1 设 = x, = y ,因 S ? ABCD 的体积为 V0 = × 3 × 22 = 4 .于是由上面的事实有 SB SD 3 VS ? AMN VS ? KMN VS ? AMK V S ? ANK V SM ? SN ? SA SM ? SN ? SK V = + = + .得 = + = 1 VS ? ABD VS ?CBD VS ? ABC VS ? ADC 2 SB ? SD ? SA SB ? SD ? SC V0 2 SM ? SK ? SA SN ? SK ? SA 1 1 1 x + = xy + xy = x + y ,于是 y = , SB ? SC ? SA SD ? SC ? SA 2 2 2 3x ? 1 x 1 x 1 而由 0 < y = ≤ 1 , x ≤ 1 ,得 ≤ x ≤ 1 .则 V = x + y = x + ,( ≤ x ≤ 1 ). 3x ? 1 2 3x ? 1 2 又得 V ' = 1 ? (1)当
1 3 x(3 x ? 2) = .所以 2 (3 x ? 1) (3 x ? 1)2

1 2 2 ≤ x < 时, V ' < 0 ,V 为减函数,(2)当 < x ≤ 1 时, V ' > 0 ,V 为增函数. 2 3 3
x= 2 3

所以得 Vmin = V

=

4 3 3 ,又 V 1 = Vx =1 = ,得 Vmax = V 1 = Vx =1 = . x= x= 3 2 2 2 2 2 2 2 )(1 + )(1 + ) = 2 . m n p

15,解:由题意, 2mnp = (m + 2)(n + 2)( p + 2) ,得 (1 +

(1)当 m ≥ 8 时,由 m ≤ n ≤ p ,则 (1 +

2 2 2 2 )(1 + )(1 + ) ≤ (1 + )3 < 2 ,矛盾! m n p 8

(2)当 m ≤ 2 时, (1 +

2 2 2 )(1 + )(1 + ) > 2 ,矛盾! m n p

(3)当 m = 3 时,则 6np = 5(n + 2)( p + 2) ,即 (n ? 10)( p ? 10) = 120 . 所以 p 的最大值为 130; (4)当 m = 4 时,则 4np = 3(n + 2)( p + 2) ,即 (n ? 6)( p ? 6) = 48 . 所以 p 的最大值为 54; (5)当 m ≥ 5 时, (1 +
2 2 2 )= > ,得 p < 98 . 2 2 2 2 p (1 + )(1 + ) (1 + )(1 + ) m n 5 5

综上所述: p 的最大值为 130.
39

[参考题] (如图)在棱长为 1 的正方体 ABCD -A1B1C1D1 中, (1)求异面直线 A1 B 与 B1 C 所成的角的大小;( 600 ) (2)求异面直线 A1 B 与 B1 C 之间的距离;(
3 ) 3
A A1 D1 B1 C1

D C B

(3)求直线 A1 B 与平面 B1 CD 所成的角的大小;( 300 ) (4)求证:平面 A1 BD//平面 C B1 D1 ;(略) (5)求证:直线 A C1 ⊥ 平面 A1 BD;(略) (7)求点 A1 到平面 C B1 D1 的距离;(

(6)求证:平面 AB C1 ⊥ 平面 A1 BD;(略)
3 6 )(8)求二面角 A1 ? B1 C ? D1 的大小.( arccos ) 3 3

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