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补充(静力学) 物理竞赛


静力学
? 力平衡 力矩平衡 几种力: 张力(拉伸)—绳子,处处相等吗? 有摩擦,离心力场,有自重等 弹力(挤压)—刚性物体,无形变,垂直于接触面 弹性物体,有形变,满足胡克定律 摩擦力—静摩擦(有无,大小,方向的判断) 动摩擦 重力(引力)—非接触力

26届复赛2:图示正方形轻质刚性水平桌面由完全相同的轻 质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A、B

、C、D处,桌腿竖 直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生微小 形变。现于桌面中心点O至角A的连线OA某点P施加一竖直 向下的力F,令OP/OA=c, 求桌面对桌腿1的压力F1。
分析:力平衡,力矩平衡,对称性, F1+F2+F3+F4=F

F2=F4
F3+cF=F1

差一个方程,弹性形变,X1=F1/k, X2=X4=F2/k, X3=F3/k
从侧面看1、2(4)、3腿构成梯形,形变量满足 X1+X3=2X2

即F1+F3=2F2

以上方程解得 F1=(2c+1)F/4, F3=(1-2c)F/4 讨论: c>1/2, F3<0? 取F3=0,重新解,以上哪个方程不必满足? ? F1+F2+F3+F4=F ? F2=F4 ? F3+cF=F1 ? X1+X3=2X2??? 化成 F1=cF
总结: F1=(2c+1)F/4, 0≤c≤1/2 F1=cF, 1/2≤c≤1

张力在连续物体(绳与杆)中的分布
引力的积分问题 其它数学型的问题

? 光滑曲线上有一匀质链条,求链条上任意 位置的张力。证明如果链条两端处于同一 水平高度则链条保持静止。
解: 取一小段长为dl的线元, 质量dm??dl 两端张力之差(净张力) dT=(dm)gsinq??dlgsinq??gdy
T ? ? ?gdy ? ?gy ? mgy/ l
0 y

T ? ? ?gdy ?0
0

0

例题:均匀弹簧在重力场中的伸长问题。 M, K 引例:弹簧串联。哪个伸长更大?

k m

k

k k m m m

n个弹簧串联,从下向上数 x1=mg/k, x2=2mg/k, x3=3mg/k,… X=x1+x2+x3+…+xn=n(1+n)mg/2k M=nm X=Mg(1+n)/2k n?无穷大, 1+n=n, k/n=K(n个串联弹簧的等效弹性系数)
X=Mg/2K (M均匀弹簧的总质量,K弹性系数) 可以进一步考虑,均匀弹簧悬挂小球的伸长,振动。。。

练习:均匀弹簧在离心力场中的伸长问题。 M, K

? 先看一个类似的问题——旋转刚性杆的张力
T ? dT ? T ? ?? 2 rdm, M dm ? dr L
dT ? ?M? 2 rdr / L

T

T+dT L

?

0

T

dT ? ? ? M? 2 rdr / L
r

L

1 T ? M ? 2 ( L2 ? r 2 ) 2L

练习:均匀弹簧在离心力场中的伸长问题。 M, k
(2010 IYPT题目)

T ? dT ? T ? ?? 2 xdm, M dm ? dx0 L ~ L k ? k dx0

x0

x0+dx0

~ dx T ( x) ? k ( dx ? dx0 ) ? kL( ? 1) dx0 dx d 2x M dT ? kLd ( ? 1) ? kL ? ? ? 2 xdx0 dx0 dx0 L 2 d x M 2 ? ? ? x 2 2 kL dx0

T x

T+dT x+dx

类似于简谐振动方程,解是
d 2x k ? ? x 2 dt m

? M 2 ? ? x ? A cos? ? kL2 ? x0 ? B ? ? ?

? 均匀链条悬挂在距离为2d的两壁之间, 两端等高。链条的长度是多少时悬挂点 上作用力最小。已知链条的方程。本题 求解需要数值计算。

y ( x) ?

1

?

cosh( ?x )

e x ? e? x e x ? e? x sinh x ? , cosh x ? 2 2 1 ? sinh2 x ? cosh2 x

绳子长度:
l ? ? dl ? ?
d ?d

y ( x) ?

1

?

cosh( ?x )

d x?d y ? ?
2 2

d

?d

1 ? (dy / dx) 2 dx

e x ? e? x e x ? e? x sinh x ? , cosh x ? 2 2 1 ? sinh2 x ? cosh2 x

? ? (cosh?x)dx ?

2

?

sinh(?d )

绳子重量:
W ? ?gl ? 2 ?g

d 1 ( cosh?x) dx ? ? sinh(?x) ? tanq sin q ? tanh( ?x ) dy / dx ?

?

sinh(?d )

悬挂点作用力:

?g F sin q ? W / 2 ? sinh(?d ) ? ?g ?g F? sinh(?d ) ? cosh( ?d ) ? tanh( ?d ) ?

1 tanh( ?d ) ? ?d
F对?求极小值,得 数值解
tanh( ?d ) ? 1 ?d

?d ? 1.1997

2d l ? sinh(?d ) ? sinh 1.1997 ? 2.52 d ? 1.1997
思考:悬挂点作用力X分量和Y分量极小时链子形状是 什么?

2

? 质心的计算

? 当切掉末端dx长度对应的dm以 后,质心向前移动dx,按照杠 杆原理,与端点距离始终是l

? -ldm=mdx
dm dx ?? m l m dm x ? 1? ? ?dx ?m0 m ? ?0 ? ? l? ln m / m0 ? ? x / l m ? m0 e ? x / l

dm

dx

mg

? 刚体平面力系的平衡
三力平衡的性质:刚体在三个力作用下平 衡,这三个力必在同一平面内,而且它们 的作用线(或延长线)必相交于同一点。 (平行力系除外)

? 匀质平行六面体,放在斜面上,两者之间的摩擦系数是m, 斜面与水平面作q角。求六面体对斜面正压力的作用点。 使q角逐渐增大,何时发生滑动或翻倒现象?
滑动条件: tgq ? m 翻倒条件:N的作用点应该在P与f 交点。 当P的作用线不经过六面体底面时会翻倒。
N f q P

a tgq ? b a b 如果m?a/b, tgq ? a 时先翻倒, b 如果m <a/b, tgq ? m 时先滑动,继续增大到a/b 时
翻到。

杆均由铰链与地面连接,所 有接触皆为光滑。在球和杆 数目很大的极限下,求杆与 球之间的法向作用力。假设 最后一个球靠在墙上以保持 静止。


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