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解题-用概率分布列证明分式不等式-李洋


用概率分布列证明分式不等式
辽宁省黑山李洋 读了贵刊田彦武周长林的文章受益匪浅, 感觉用这种方法证明一些分式不等式好于非常规 方法。现用此办法解文[1]中的例题。 1. ( 《数学通报》1997 年 2 月号问题 1085)a,b,c, ? R 且 abc=1 求证:
?

3 1 1 1 ? 2 ? 2 ? a (b ? c) b (c

? a) c (a ? b) 2
2

bc ac ab 3 ? ? ? ab ? ac bc ? ab ac ? bc 2 1 s?x 令 ab ? ac ? ba ? s , Ai ? , Bi ? ,其中 x ? ab, bc, ac s?x 2s
证明:原不等式等价于 设随机变量 ? 的分布列为

p(? ? Ai ) ? Bi (i ? 1,2,3)
3 2s 1 1 1 E? 2 ? ? 2 ? 2s s ? x 2s x 3 ?? ? s?x 2 E? ? ? Ai ? Bi ?

2

?

s?x?x 9 ? 2 s?x 4s

3 1 1 1 ? 2 ? 2 ? a (b ? c) b (c ? a) c (a ? b) 2

2.( 《数学通报》 1993 年 7 月号问题 845)已知:x1 , x2 ,?, xn ? R ? , 且 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1
2 2 xn x12 x2 1 求证: ? ??? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn n ? 1

证明:令 Ai ?

xi 1 ? xi

Bi ?

1 ? xi 设随机变量 ? 的分布列为 n ?1
1 n ?1

p(? ? Ai ) ? Bi E? ? ? Ai ? Bi ?

E? 2 ?

xi2 1 1 ? ( E? ) 2 ? ? n ? 1 1 ? xi (n ? 1) 2

?

xi2 1 ?1 ? x ? n ?1 i
参考文献

[1].朱胜强.证明分式不等式的几种非常规方法.中学数学研究,2007,1 [2]. 田彦武,周长林.分式不等式的概率分布列证法.中学数学研究,2006,11

此文 09 年发表在中学数学研究上


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