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2.1数列的定义及简单的表示法


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qwx

8

7

6

5

4

陛下,赏小 人一些麦粒 请在第一个格 请在第三个格 请在第四个格 子放1颗麦粒 子放4颗麦粒 就可以。 请在第二个格 子放8颗麦粒 依次类推……
子放2颗麦粒

/>8 7 6 5 4 64个格子 你想得到 3 什么样的 2 赏赐? 1 3 2 1

OK

?
64个格子

8

7

6

5

4

3

2

1

8 7 6 5 4 3 2 1

你认为国王 有能力满足 上述要求吗

每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的 2倍 且共有 64 格子

?? ? 63 2 2 1 2 2 2 18446744073709551615
0

1

2

3

传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题:
三角形数:1,3,6,10,· · ·

正方形数:1,4,9,16,· · ·

1, 2, 5 ,8 , 1, 3, 13 , 21 ,34 ,55 , 89 , ? ?

1,3,6,10,· · ·
2 3

1,4,9,16,· · ·
63

1 2, , , ? 2 ,2 2 ?
1 1 1 1, , , , ? ? 2 3 4

1

2 3 4 5

1, 2, 5 ,8 ,13 ? ? 1, 3,
? 1 1 ? 1 1? ? , , ,

1 1 1 1 ?? , , , ,

共同特点:
1. 都是一列数; 2. 都有一定的顺序

数列

3

1,2 , 3 ,… ,35 改为
请问:是不是同一数列?

问1: , 2 ,1 ,… ,35 3

问2: 数列

4

-1,1,-1,1…… 改为:

1,-1,1,-1……,请问:是不是同一数列?

数列中的每一个数叫 做这个数列的项。 各项依次叫做这个数列 的第1项,第2项,···, ··· 第n项, ··· ··· 数列的分类
(1)按项数分: 项数有限的数列叫有穷数列 项数无限的数列叫无穷数列
(2)按项之间的大小关系:

1 2, , , ? 2 , 2 2 ?
2 3

63

1

有穷数列 无穷数列

递增数列
2

1 1 1 1 , ,, , ? ? 2 3 4

递减数列
3

1, 3, ? ? 35 2, 4, 有穷数列 递增数列
1 1 1 1 ?? , , , ,

递增数列, 递减数列,

无穷数列 常数列 ? 1 1 ? 1 1? ? , , , 无穷数列 摆动数列

4

5

摆动数列, 常数列。

? 第n项 数列的一般形式可以 a3 ? an a1 a2 写成: a 1, a 2, a 3, , a n ?, 1 0 , 2 1 , 2 , ? ? n ?1 2 2 2 , ? , 2 63 , 简记为?a n ? 其中 a n 是数 ?2n?1 ?(n ? N * , n ? 64) a 2n?1 1 1 1 1 n? , 列的第n项。 ,? , , ? 1 , 1
第1项 第2项 第3项
2 3

1

2

如果数列 ?an ?的第n项 { } (n ? N ) a n n , 2 n, 3 , ? , n , ? , 35 与项数之间的关系可以用一 1 个公式来表示, 那么这个 { n } (n ? N * , n ? 35) an n 公式就叫做这个数列的 , 1 , - 1 , ? , (- 1 ) n , ? -1 通项公式。
1
*

n

?

1

3

?

1 , 1 , 1 , ?,

a n ? (-1)n an

4

(n ? N )
*

1
0

?

1

n



a n? n

,

?
*

5

(n ? N )

例1:写出下面数列的一个通项公式,使 它的前4项分别是下列各数:
1 1 1 ( )1, ,, ; 1 ? ? 2 3 4 (2) 2, 2, 0, 0; (3)9,99,999,9999,... ( 4)5,55,555,5555,... 注意: (5)0.9,0.09,0.009,... ①一些数列的通项公式不是唯一的 (6)0.2,0.02,0.002,...
②不是每一个数列都能写出它的通项公式

根据数列的前若干项写 出的通项公式的形式唯 一吗?请举例说明。

数列的实质

数列可以看作是一个定义域为正整数 N * 集 ( 或它的有限子集{ 1,2,…,n})的 函数,当自变量从小到大依 次取值时对应 的一列函数值。

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5

an ? n( n ? 1)的图象
是些孤立点

6

7

8

9

10

5
做出常数数列:4 , 4 , 4 , 4 , ? 图象

4

3
做出摆动数列: - 1, - 1, ? 图象 1, 1,

2

1
0 -1 1 2 3 4 5

我们好孤单! 我们好孤单!

如果一个数列 a n }的首项a1 ? 1,从第2项起每一项等于它 { 的前一项的 倍再加上 ,即 a n ? 2a n ?1 ? (n ? 1) 2 1 1
象这样给出数列的方法 叫做递推法,其中 a n ? 2a n ?1 ? (n ? 1) 1 称为递推公式。

如果已知数列 a n }的第1项(或前n项),且任一项 n与它 { a 的前一项a n ?1 (或前n项)间的关系可以用一 个公式来表示, 那么这个公式就叫做这 个数列的递推公式。

递推公式也是数列的一种表示方法。

例3:设数列 a n }满足 { ?a1 ? 1, ? ? a ? 1 ? 1 (n ? 1) . n ? a n ?1 ? 写出这个数列的前 项。 5

观察下面数列的特点,用适当的数填空,并 写出每个数列的一个通项公式: (1 ) 2 , 4 , ( 8 ),16 , 32 , (64 ),128

( 2 )( 1 ), 4 , 9 ,16 , 25 , (36 ), 49
1 1 1 ( 3 ) - 1, , (- ), , - , , ( - ) 2 4 5 6 3 7 1

1

1

( 4 )1, 2 , ( 3 ), 2 , 5 , ( 6 ), 7

本节课学习的主要内容有: 1、数列的有关概念 2、数列的通项公式; 3、数列的实质; 4、本节课的能力要求是:

(1) 会由通项公式 求数列的任一项;
(2)会用观察法由数列的前几项 求数列的通项公式。

1、 选择题

补充练习
是( , ; 4 ? ). 1 ) 1 1 A.1,0,1,0, ? B.1, , 2 3 C.2,22,222 , ? D.0,0,0,0,

( 1 )下面数列是有穷数列的

( 2 )以下四个数中 , 是数列 { n ( n ? 1 )}中的一项是 ( A . 380 B . 39 C . 32 D . 23 n
2 2

( 3 )已知数列 { a n }的通项公式 a n ? A .是这个数列的项 B .是这个数列的项 C .是这个数列的项 D .不是这个数列的项

n ?1

,那么 0 . 98 (

)

, 且n ? 6; , 且 n ? ?7 ; , 且n ? 7 ;
.


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