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导数的应用题


导数在实际生活 中的应用

?

导数在实际生活中有着广泛的应用.例如, 用料最省,利润最大,效率最高等问题,常常 可以归纳为函数的最值问题,从而可用导 数来解决.

例1

例2
习题1

例3
习题2

例4
习题3

>
? 例1:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去

边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起, 做成一个无盖的方底铁皮箱.当箱底边长为多 少时,箱子容积最大?最大容积是多少?

x
60cm

解:设箱底边长为x(cm),则箱高为
h?

60? x ?0? x?60? 箱子的容积为: 2
2 2

1 3 由 V ?x ? ? x h ? 30 x ? x ?0 ? x ? 60 ? 2 3 2 V ??x ? ? 60 x ? x ? 0 解得: x1 ? 0 (舍去), 2
且当

x2 ? 40.

V ??x? ? 0. 所以函数V(x)在x=40处 取得极大值,
这个极大值就是函数V(x)的最大值.
2

x ? ?0,40? 时, V ??x? ? 0; 当 x ? ?40,60? 时,

1 3 3 ? ? V 40 ? 30 ? 40 ? ? 40 ? 16000 (cm ) 2 3 答:当箱子底边长等于40cm时,箱子容积最大,最大值为16000cm

? 例2:某种圆柱形饮料罐的容积一定,如何确定

它的高与底半径,才能使它的用料最省? 解:如图,设圆柱的高为h,底
半径为R,则表面积

h V ? ?R 2 h?定值 ?, 则h ? V , 故 2
?R
R

S ?R? ? 2?Rh ? 2?R

2



V 2V 2 S ?R ? ? 2?R ? 2 ? 2?R ? ? 2?R 2 ?R R

2V V 3 由S ??R ? ? ? 2 ? 4?R ? 0, 解得R ? . R 2?

V V 从而h ? 2 ? 23 , ?R 2?

即h=2R.

因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值。 答:当罐高与罐底的直径相等时,用料最省。

? 例3:在如图所示的电路中,已知电源的内阻为r,

电动势为E。当外电阻R多大时,才能使电功率最大? 最大电功率是多少?
E 解: 电功率 P ? I R, 其中 I ? 为电流强度 , 则 R?r 2 E2R ? E ? ?R ? 0?. p?? ? R? 2 ?R ? r ? ?R?r? ? 2 2 ? 2 2 ? E R ? ?R ? r ? ? E R ?R ? r ? E 2 ?r ? R ? P? ? ? 4 3 ?R ? r ? ?R ? r ?
2

?

?

由p? ? 0, 解得R ? r.
答:(略)

可以检验,当R=r时,P取得极大值,且是最大值,最大值为

E2 P? 4r

? 例4:强度分别为a,b的两个光源A,B的距离为d,试问:在连接两 光源的线段AB上,何处照度最小?试就a=8,b=1,d=3时回答上 述问题.(照度与光的强度成正比,与光源距离的平方成反比)

A

P

B

x 3-x 解:如图,设点p在线段AB上,且P距光源A为x,则P距光源B 为3-x(0<x<3).

kb k P点受B光源的照度为 ,即 , 2 2 (其中,k为比例常数) ?3 ? x ? ?3 ? x ?

ka 8k , 即 ; P点受A光源的照度为 2 2 x x

8k k ?0 ? x ? 3?. 从而,P 点的总照度为 I ?x ? ? 2 ? 2 x ?3 ? x ?

16k 2k 18k ?x ? 2? x 2 ? 6 x ? 12 由I ??x ? ? ? 3 ? ? ?0 3 3 3 x ?3 ? x? x ?3 ? x ?

?

?

I ??x? ? 0;当2 ? x ? 3时, I ?( x) ? 0. 解得x=2,故当0<x<2时,
因此,x=2时,I取得极小值,且是最小值。
答:在连结两光源的线段AB上,距光源A为2处的照度最小。

习题1:把长为60cm的铁丝围成矩形,长,宽各为多少 时矩形的面积最大?
? 解:设矩形的长为xcm,则宽为(30-x)cm.则矩形面积

s=x(30-x)=30x2.(0<x<30)

由S ??x ? ? 30 ? 2 x ? 0, 得x ? 15, ?x ? 0舍去?.

x ? (0,15)时, S ??x? ? 0; x ? (15,30)时, S ??x? ? 0.
故x=15时,S(x)取得最大值S(15)=225.

答:

? 习题2:把长100cm的铁丝分成两段,各围成正方形,

怎样分法,能使两个正方形面积之和最小? ? 解:设其中一个正方形的边长为xcm,则另一个正方 形的边长为(25-x)cm.这两个正方形面积之和为: S(x)=x2+(25-x)2=2x2-50x+625(0<X<25)

由S ??x? ? 4x ? 50 ? 0得x ? 12.5
x ? (0,12.5)时, S ??x? ? 0; x ? ?12.5,25?时, S ??x ? ? 0
所以,当x=12.5时,函数S(x)取得最小值。此时,两个正方 形的边长相等。

? 习题3:求内接与半径为R的圆且面积最大的矩形。
X

解:设此矩形的一边长为2x, 则另一边长为

R2 ? R x22? X 2 R
O

2 R ?x
2

2

则此矩形面积为

S ? 2x ? 2 R2 ? x 2 ? 4x R2 ? x 2

S ??x ? ? 4 R 2 ? x 2 ?

4x2 R2 ? x2

2 由S ??x ? ? 0得x ? R 2

2 R 。故此矩形为正方形.其面积 此时另一边长也为 2 2 2 S ? 4? R? R ? 2R 2 2 2

作业:P34 9(2)


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