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江苏省连云港市2013届高三上学期期末考试数学试题


一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答 题纸的指定位置上. 1.集合 A={1,2,3},B={2,4,6},则 A
B=

▲ ▲

. .

2.已知 i 为虚数单位,复数 z 满足(1-i)z=2,则 z=

11.二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2?r,二维测度(面积)S=?r2;三维空间 4 中,球的二维测度(表面积)S=4?r2,三维测度(体积)V= ?r3.应用合情推理,若四 3 维空间中,“超球”的三维测度 V=8?r3,则其四维测度 W= ▲ . y 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆(x?1)2+(y?1)2=4,C 为圆心, B? 点 P 为圆上任意一点,则 OP ? CP 的最大值为 ▲ . B D? D 13.如图,点 A,B 分别在 x 轴与 y 轴的正半轴上移动,且 AB=2, 若点 A 从( 3,0)移动到( 2,0),则 AB 中点 D 经过的路程 为 ▲ .
2

O

A?

A x

(第 13 题图)

14.关于 x 的不等式 x ?ax+2a<0 的解集为 A,若集合 A 中恰有两 个整数,则实数 a 的取值 范围是 ▲ . 二、 解答题: 本大题共 6 小题, 计 90 分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 ccosB+bcosC=3acosB. (1)求 cosB 的值;

? ? (2)若BA?BC=2,求 b 的最小值.

[来源:学科网 ZXXK]

18.(本小题满分 16 分) x2 y 2 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的上顶点为 A,左,右焦点分别为 F1, F2,且椭圆 C 过 a b 4 b 点 P( , ),以 AP 为直径的圆恰好过右焦点 F2. 3 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,试问:在 x 轴上是否存在两定点,使其 到直线 l 的距离之积为 1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由.

y A P F1 O
1

F2

x

(第 18 题图)

19.(本小题满分 16 分) 1 1 已知函数 f ( x) ? x3 ? mx2 ? x ? m ,其中 m ?R. 3 3 (1)求函数 y=f(x)的单调区间; (2)若对任意的 x1,x2?[?1,1],都有 | f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) |? 4 ,求实数 m 的取值范围; (3)求函数 f ( x) 的零点个数.

20.(本小题满分 16 分) n(an-a1) 已知数列{an}中,a2=a(a 为非零常数),其前 n 项和 Sn 满足:Sn= (n?N*). 2 (1)求数列{a n}的通项公式; 1 2 (2)若 a=2,且 am ? Sn ? 11 ,求 m、n 的值; 4 (3)是否存在实数 a、b,使得对任意正整数 p,数列{an}中满足 an ? b ? p 的最大项恰为 第 3p-2 项?若存在,分别求出 a 与 b 的取值范围;若不存在,请说明理由.

连云港市高三调研试题参考答案
一、填空题(每 题 5 分)
1.{2}; 1 7. ; 3 2.1+i; ? 8. ; 3 3.19; 9.1; 4.4; 1 5. ; 2 6.2;

[来源:Zxxk.Com]

10.{x|0?x?1,或 x=2};

11.2?r4; 12.4+2 2;

? 13. ; 12

1 25 14. [?1, ? ) ( ,9] 3 3

15.解:(1)因为 ccosB+bcos C=3acosB, 由正弦定理,得 sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB, 即 sin(B+C)=3sinAcosB. ????????????5 分
[来源:学|科|网]

1 又 sin(B+C)=sinA?0,所以 cosB= . ???????????7 分 3 ? ? (2)由BA?BC=2,得 accosB=2,所以 ac=6. ?????????9 分 2 由余弦定理,得 b2=a2+c2?2accosB?2ac? ac=8,当且仅当 a=c 时取等号, 3 故 b 的最小值为 2 2. ????????????14 分

17.【解】(1)函数 y=0.05(x2+4x+8)在[2,10]上是增函数,满足条件①, ?????2 分 当 x=10 时,y 有最大值 7.4 万元,小于 8 万元,满足条件③. ?????????4 分 29 3 x 但当 x=3 时,y= < ,即 y? 不恒成立,不满足条件②, 20 2 2 故该函数模型不符合该单位报销方案. ?????????6 分 2 x-2 (2)对于函数模型 y=x?2lnx+a,设 f(x)= x?2lnx+a,则 f ? (x)=1? = ?0. x x 所以 f(x)在[2,10]上是增函数,满足条件①, x x 由条件②,得 x?2lnx+a? ,即 a?2lnx? 在 x?[2,10]上恒成立, 2 2 x 2 1 4-x 令 g(x)=2lnx? ,则 g?(x)= - = ,由 g?(x)>0 得 x<4, 2 x 2 2x ?g(x)在(0,4)上增函数,在(4,10)上是减函数. ?a?g(4)=2ln4?2=4ln2?2. ??????10 分 由条件③,得 f(10)=10?2ln10+a ?8,解得 a?2ln10?2. ????????12 分 另一方面,由 x?2lnx+a?x,得 a?2lnx 在 x?[2,10]上恒成立, ?a?2ln2, 综上所述,a 的取值范围为[4ln2?2,2ln2], 所以满足条件的整数 a 的值为 1. ?????14 分
[来源:学科网]

②当直线 l 斜率不存 在时,直线方程为 x=? 2时, 定点(-1,0)、F2(1,0)到直线 l 的距离之积 d1? d2=( 2-1)( 2+1)=1. 综上,存在两个定点(1,0),(?1,0),使其到直线 l 的距离之积为定值 1. 19.解:(1) f ? (x)=x2-2mx-1, 由f? (x)?0,得 x?m- m2+1,或 x? m+ m2+1; 故函数 f ( x) 的单调增区间为(-∞,m- m2+1),(m+ m2+1,+∞), 减区间(m- m2+1, m+ m2+1). ?????? ?????4分 ???16 分

(2) “对任意的 x1,x2?[?1,1],都有|f?(x1)?f?(x2)|?4”等价于“函数 y=f ? (x),x?[?1,1]的最大 值与最小值的差小于等于 4”. 对于 f ? (x)=x2-2mx-1,对称轴 x=m. ①当 m<?1 时, f ? (x)的最大值为 f ? (1),最小值为 f ? (?1),由 f ? (1)?f ? (?1)?4,即?4m?4,解得 m?1,舍去; ???????????6 分

?f ? (1)?f ? (m)?4 ②当?1?m?1 时, f ? (x)的最大值为 f ? (1)或 f ? (?1),最小值为 f ? (m),由 ? ,即 (?1)?f ? (m)?4 ?f ? ?m ?2m?3?0 ? 2 ,解得?1?m?1; ?m +2m?3?0
2

????????????8 分

③当 m>1 时, f ? (x)的最大值为 f ? (?1),最小值为 f ? (1),由 f ? (?1)?f ? (1)?4,即 4m?4,解得 m?1, 舍去;

1?(a1-a1) nan 20. (1)证明:由已知,得 a1=S1= =0,?Sn= , 2 2 (n+1)an+1 则有 Sn+1= , 2

?????????2 分

?2(Sn+1-Sn)=(n+1)an+1-nan,即( n-1)an+1=nan n?N*, ?nan+2=(n+1)an+1, 两式相减得,2an+1=an+2+an n?N*, ???????????4 分 即 an+1-an+1=an+1-an n?N*, 故数列{an}是等差数列. 又 a1=0,a2=a,?an=(n-1)a. ????????????6 分 (2)若 a=2,则 an=2(n-1),?Sn=n(n?1). 1 2 由 am ? Sn ? 11 ,得 n2?n+11=(m?1)2,即 4(m?1)2-(2n?1)2=43, 4

[来源:学&科&网]

?(2m+2n?3)(2m-2n?1)=43. ????????????8 分 ∵43 是质数, 2m+2n?3>2m-2n?1, 2m+2n?3>0, ?2m-2n-1=1 ?? ,解得 m=12,n=11. ????????????10 分 ?2m+2n-3=43

数学附加题部分
21.A.证明:设 F 为 AD 延长线上一点, ∵ A、B、C、D 四点共圆, ∴ ?ABC=?CDF, ????3 分 ????????5 分 ??? ????7 分

又 AB=AC, ∴?ABC=?ACB, 且?ADB=?ACB, ∴?ADB=?CDF,

对顶角?EDF=?ADB, 故?EDF=?CDF, 即 AD 的延长线平分?CDF. 21.B. 解:∵ ? ????????? 10 分

?a ?b

1? 0? ?

?1 ? ?1 ? ?0? ? ?2? ,∴a=1,b=2. ? ? ? ?

???????5 分

?M= ?

?1 1? ? ? 2 0?

1 ? ? 0 ? 2 ? ∴M?1= ? ?. ?1 ? 1 ? ? 2? ? ?

?????????10 分

21.C. 解:曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2+y2-4x=0, 即(x-2)2+y2=4. ????????3分 ????????5分

直线l的普通方程方程为y=x-m,

则圆心到直线l的距离 d=

4-(

14 2 2 )= , 2 2

??????7分 ?????10分

|2-0-m| 2 所以 = ,即|m-2|=1,解得m=1,或m=3. 2 2

2 C5 1 22. 解:(1)一次从袋中随机抽取 3 个球,抽到编号为 3 的小球的概率 p ? 3 ? . C6 2

所以,3 次抽取中,恰有 2 次抽到 3 号球的概率为

1 1 3 2 2 C3 p (1 ? p ) ? 3 ? ( ) 2 ( ) ? . 2 2 8
(2)随机变量 X 所有可能的取值为 1,2,3.
3 C3 1 , ? 3 C6 20

?????4 分

P( X ? 1) ?

1 2 2 1 C2 C3 ? C2 C3 9 , P( X ? 2) ? ? 3 C6 20 2 C5 10 , ? 3 C6 20

P( X ? 3) ?

???????????8 分

所以,随机变量X的分布列为: X P 故随 机变量X的数学期望E(X)= 1 ? 1 2 3

1 20

9 20

1 2
???????10 分

1 9 1 49 . ? 2 ? ? 3? ? 20 20 2 20


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