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2.4.2 平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角(上课用)


2.4.2平面向量数量积的坐标表示、 模、夹角

(1). 平面向量的数量积:

? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos?
? ? ? ? (2) a ? b ? a ? b ? 0.解垂直常用方法 r2 r r r2 2 (3) a ?| a | 求模|a |? a

? ? a?b (

4) cos? ? ? ? .求角 | a || b |

问题1:两平面向量共线的充要条件又是什 么,如 何用坐标表示出来?

a // ( bb?0 ) ? 存在唯一的 ?使得 a ? ? b

? ? 若a ? (x1,y1), b? (x2,y2), ? ? a / / b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

二、新课讲授
问题2:已知 a ? ( x1, y1 ),b ? ( x2 , y2 ), 怎样用 a, b 的坐标表示 a ? b 呢?请同学们看下 列问题. ? 设x轴上单位向量为 i ,y轴上单位向量为 请计算下列式子: ? ? ① i ?i = 1

? j

? ? ③ i?j =

0

? ? ② j? j = ? ? ④ j ?i =

1 0

? ? 1. a ? b的坐标公式
已知两非零向量 a? (x1,y1 ), b? (x2,y2)
设i, j分 别 为 与 x轴 和y轴 方 向 相 同 的 单 位 向 , 量则 有 a ? x1 i ? y1 j b ? x2 i ? y2 j
? ? ? ? ? ? ?a ? b ? (x1 i ? y1 j )( ? x2 i ? y2 j ) 2 2 ? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1 j ? i ? y1 y2 j

? i ? 1, j ? 1, i ? j ? j ? i ? 0

2

2

? a ? b ? x1 x 2 ? y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

2.两向量垂直的坐标表示
已知两非零向量 a? (x1,y1 ), b? (x2,y2)

?a ? b ? a ? b ? 0
? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
注意:与向量共线的坐标表示区别清楚。

r r a / / b ? x1 y2

x2 y1 = 0

3.向量的长(模)的坐标公式 ? 2 ?2 ? 2 2 a ?a ? x ? y 或 a ? x2 ? y2 ? 若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别 ? 为(x1,y1),(x2,y2),那么a ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) 4.两向量夹角的坐标公式

???? 设a ? (x,y)

2 2 a ? ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) (平面内两点间的距离 公式)

两非零向量 a? (x1,y1 ), b? (x2,y2) ,夹 角 为 ?

cos? ?

a?b ab

?

x1 x2 ? y1 y2 x ?y ? x ?y
2 1 2 1 2 2 2 2

? ? ? ? 例1:已知a ? (, 5 ?7 ), b? (? 6, ?4 ),求a ? b。

(? 6 ) ? (? 7 ) ? (? 4 ) 解: a ? b ? 5 ?
? ?30 ? 28
? ?2
? | a |? 25 ? 49 ? 74 ? | b |? 36 ? 16 ? 52 ? 2 13
cos? ? ?2 ? ?0.03 74 ? 2 13

想一想

a, b 的夹角有多大?

例 2 (1)若 a=(3,0),b=(-5,5),则 a 与 b 的夹角 为 . (2)已知:a=(-3,1),b=(1,-2),若(-2a+b)⊥(a+λ b).试求实 数λ 的值. (1)解析:设 a 与 b 的夹角为θ ,则

3 ? ( ? 5)+0 ? 5 a ?b 2 cos θ = = =. 2 2 2 2 a b 2 3 ? 0 ? (?5) ? 5

3π 3π 又∵θ ∈[0,π ].∴θ = .即 a 与 b 的夹角为 . 4 4

(2)解:∵a=(-3,1),b=(1,-2), ∴-2a+b=(7,-4),a+λ b=(-3+λ ,1-2λ ). ∵(-2a+b)⊥(a+λ b), ∴7(-3+λ )+(-4)(1-2λ )=0. ∴-21+7λ -4+8λ =0.

5 ∴15λ =25,λ = . 3

例3 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5), 试判断?ABC的形状,并给出证明.

证明 :?AB ? (2 ?1,3 ? 2) ? (1,1)
AC ? (?2 ?1,5 ? 2) ? (?3,3)

C(-2,5)

y

?AB? AC ? 1? (?3) ? 1? 3 ? 0

? AB ? AC

?三角形 ABC是直角三角形 .

想一想:还 A(1,2) 有其他证明 方法吗?

B(2,3)

0

x

提示:可先计算三边长,再用勾 股定理验证。

? ? ? ? 1、若a ? (?3,4), b ? (5,12), 则 a 与 b 夹角的余弦值 为 ( B )
A.

练习
63 65

B.

? ? 2、已知: a ? (cos? , sin ? ),b ? (cos? , sin ? ) ? ? ? ? 求证:(a ? b ) ⊥ (a ? b ) 答案: ? ?

33 65

C. ?

33 65

D. ?

63 65

? ? (a ? b ) ? (a ? b ) ? (cos? ? cos ? , sin ? ? sin ? ) ? (cos? ? cos ? , sin ? ? sin ? )

? ? ∴ (a ? b ) ⊥ (a ? b )

2 2 2 ? cos2 ? ? cos ? ? sin ? ? sin ? ? ?

? ? (1)a ? b ? x1 x2 ? y1 y2
(2)两向量垂直的充要条件的坐标表示

小结:

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
(3)向量长(模)的坐标公式 ? 2 ?2 ? 2 2 a ?a ? x ? y 或 a ? x2 ? y2 (4)两向量夹角的坐标公式

cos ? ?

a?b ab



x1 x 2 ? y1 y 2 x ?y
2 1 2 1

x ?y
2 2

2 2


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