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直线的倾斜角和斜率


直线的倾斜角和斜率

1.直线的倾斜角
y

l
.

Q

?
o
P

x

1.直线的倾斜角
定义:在平面直角坐标系中,当一条直线l与x轴相 交时,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角? . 就叫做直线

l的倾斜角。
y o

?

p

l
x

y

l

y o p

y

p o

?x

?x

p

o

l x

l

规定:当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角为0° 倾斜角的范围: 0? ? ? ? 180?.

练习:下列图中标出的直线的倾斜角对不对?如 果不对,违背了定义中的哪一条?
y y y y

o

?

x

o

?

x

? o
(3)

x

?
o
(4)

x

(1)

(2)

日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量呢?

提示:

升高量 坡度(比) ? 前进量
升 高 量

45°

前进量

“坡度(比)”是“倾 斜角”的正切值.

y
45°

升 高 量

前进量

o

α

x

描述直线倾斜程度的量——直线的斜率

2.直线的斜率 定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这
条直线的斜率。斜率通常用k表示,即: k ? tan ?

倾斜角是90 °的直线没有斜率。
k ? tan 45? ? 1 例如:直线 l的倾斜角为 45? , 则斜率为:

k ? tan120? ? ? 3 直线l的倾斜角为 120? , 则斜率为:

应用:
例1:如图,直线 l1 的倾斜角 ?1 =300,直线 l2⊥l1,求l1,l2 的斜率。
y
l2

l1

?1
O

?2
x

解:
3 l1的斜率k1 ? tan? 1 ? tan 30 ? , 3
0

因为l2的倾斜角?2 ? 900 ? 300 ? 1200 ,
所以l2的斜率k 2 ? tan1200 ? tan(1800 ? 600 ) ? ? tan 600 ? ? 3.

例2:直线 l1、 l2、 l3的斜率分别是k1、 k2、 k3,试比较斜率的大小
l1 l2 l3

y
o

?

p

l
x

y p
o

l

y
o p

y

?x

?x

p

o

l x

l

0°< ? < 90°

? = 90°
k不存在

90°< ? <180° ? = 0°

k >0

k<0

k=0

已知一条直线上的两点坐标,如何计算斜率?

y y

提示:如图,若α为锐角,

2

P2 ( x2 , y2 )

? ? ?P2 PQ 1 ,
且x1 ? x2 , y1 ? y2

y1

?
P 1 ( x1 , y1 )

Q( x2 , y1 )

在Rt ?P 2 PQ 1 中,

o

?

x1

x2

x

QP2 k ? tan ? ? tan ?P2 PQ ? 1 PQ 1

y2 ? y1 ? ? 0. x2 ? x1

结论:当 0? ? ? ? 90?时,斜率k≥0.

α= 180o -θ(设∠P2P1Q=θ),且x1 > x2 ,y1 < y2, 若α为钝角,

y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )

tanα= tan(180o -θ)= -tanθ.
P2Q y2 - y1 在RtΔP2QP中, tanθ= = , 1 P1Q x1 - x2

?
Q( x2 , y1 )

P 1 ( x1 , y1 )

o

x2

x1

?

y2 - y1 y2 - y1 所以k = tanα= = ? 0. x1 - x2 x2 - x1

x

结论:当 90? ? ? ? 180?时,斜率k<0.

y2 ? y1 P P 同样,当 2 1 的方向向上时,也有 tan ? ? 成立. x2 ? x1

y

y
?
P 1 ( x1 , y1 )

P 1 ( x1 , y1 )

o

?

P 2 ( x2 , y2 )

?

P 2 ( x2 , y2 )

x

o

?

x

说明:此公式与两点坐标的顺序无关.

3、斜率公式
( x ? x )的直线的斜率公式 经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) y2 ? y1 k? ( x1 ? x2 ). x2 ? x1 公式特点:
1 2

(1)与两点坐标的顺序无关. (2)公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两点 的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角. (3)当x1=x2时,公式不适用,此时α=90°.

(1)当a ? c时,斜率k不存在; 解:
b?d (2)当a ? ? c时,斜率 k ? a?c

例2:求过A(-2,0),B(-5,3)两点的 直线的斜率和倾斜角

变式1: A(-5,0),B(-5,3)

变式2: A(-2,1),B(-5,3)

例3:判断正误:
①直线的倾斜角为α,则直线的斜率为 tan ? ( ) ②直线的斜率为 t an ? ,则它的倾斜角为 ? ( ) ③因为所有直线都有倾斜角,所以所有直线都有 斜率。 ( ) ④因为平行于y轴的直线的斜率不存在,所以平 行于y轴的直线的倾斜角不存在 ( ) ⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ( )

小结:
直线的倾斜角? 定义
三要素

斜率 k

斜率公式
y2 ? y1 k? x2 ? x1
k ? ? ??, ???

k ? tan ?

范围

? ? ?0?,180?

?

k ? ? ??, ???

补充:1已知直线l的倾斜角为α, sinα =

4 5

求此直线的斜率 2 已知A(a,2), B(3,-1),当AB倾斜 角为钝角时,求a的范围


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