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等比数列知识点总结与典型例题(精华word版)


等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义: 2、通项公式:
an ? a1q n ?1 ? a1 n q ? A ? B n ? a1 ? q ? 0, A ? B ? 0 ? ,首项: a1 ;公比: q q
an a ? q ? n?m n am am

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? , q 称为公比 an?1

推广: an ? am q n ? m ? q n ? m ? 3、等比中项:

(1)如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项,即: A2 ? ab 或 A ? ? ab 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个( (2)数列 ?an ? 是等比数列 ? an 2 ? an?1 ? an?1 4、等比数列的前 n 项和 Sn 公式: (1)当 q ? 1 时, Sn ? na1 (2)当 q ? 1 时, Sn ?
?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' ( A, B, A ', B ' 为常数) 1? q 1? q

5、等比数列的判定方法: (1)用定义:对任意的 n ,都有 an?1 ? qan或
an?1 ? q(q为常数,an ? 0) ? {an } 为等比数列 an

(2)等比中项: an 2 ? an?1an?1 (an?1an?1 ? 0) ? {an } 为等比数列 (3)通项公式: an ? A ? Bn ? A ? B ? 0? ? {an } 为等比数列 6、等比数列的证明方法: 依据定义:若
an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an?1

7、等比数列的性质: (2)对任何 m, n ? N * ,在等比数列 {an } 中,有 an ? amqn?m 。
* (3)若 m ? n ? s ?t m ,则 an ?am ? as ?at 。特别的,当 m ? n ? 2k 时,得 an ? am ? ak 2 ( n , s ,t , ? N )

注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3an?2 ??? 等差和等比数列比较: 等差数列 等比数列
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定义 递推公 式 通项公 式 中项
A?

a n ?1 ? a n ? d

a n ?1 ? q ( q ? 0) an
a n ? a n ?1 q

a n ? a n ?1 ? d

; a n ? a m?n ? md

; a n ? a m q n ?m

a n ? a1 ? (n ? 1)d

a n ? a1 q n?1 ( a1 , q ? 0 )

a n?k ? a n? k ( n, k ? N * , n ? k ? 0 ) 2 Sn ? n (a1 ? a n ) 2

G ? ? an?k an?k (an?k an?k ? 0) ( n, k ? N * , n ? k ? 0 )

前 n 项和

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 1 ? q n a ?a q ? 1 n (q ? 2) ? 1 ? q 1? q ?

?

?

重要 性质

am ? an ? a p ? aq ( m, n , p , q ? N * , m ? n ? p ? q )

am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)

经典例题透析 类型一:等比数列的通项公式 例 1.等比数列 {an } 中, a1 ? a9 ? 64 , a3 ? a7 ? 20 ,求 a11 . 思路点拨: 由等比数列的通项公式, 通过已知条件可列出关于 a1 和 q 的二元方程组, 解出 a1 和
q ,可得 a11 ;或注意到下标 1 ? 9 ? 3 ? 7 ,可以利用性质可求出 a3 、 a7 ,再求 a11 .

解析:
8 ? ?a1 ? a9 ? a1 ? a1q ? 64 法一:设此数列公比为 q ,则 ? 2 6 ? ?a3 ? a7 ? a1q ? a1q ? 20

(1) (2)

由(2)得: a1q2 (1 ? q4 ) ? 20 ..........(3) ∴ a1 ? 0 . 由(1)得: (a1q4 )2 ? 64 , ∴ a1q4 ? 8 ......(4) (3)÷ (4)得:

1 ? q 4 20 5 ? ? , q2 8 2
1 2

∴ 2q4 ? 5q2 ? 2 ? 0 ,解得 q2 ? 2 或 q 2 ?

当 q2 ? 2 时, a1 ? 2 , a11 ? a1 ? q10 ? 64 ; 当 q2 ?
1 时, a1 ? 32 , a11 ? a1 ? q10 ? 1 . 2

法二:∵ a1 ? a9 ? a3 ? a7 ? 64 ,又 a3 ? a7 ? 20 ,
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∴ a3 、 a7 为方程 x2 ? 20 x ? 64 ? 0 的两实数根,
?a 3 ? 16 ?a 3 ? 4 ∴? 或 ? ?a 7 ? 4 ?a 7 ? 16

a7 2 ∵ a3 ? a11 ? a7 , ∴ a11 ? ? 1 或 a11 ? 64 . a3
2

总结升华: ①列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量; ②解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用 除法(除式不为零). 举一反三: 【变式 1】{an}为等比数列,a1=3,a9=768,求 a6。 【答案】± 96 法一:设公比为 q,则 768=a1q8,q8=256,∴q=± 2,∴a6=± 96; 法二:a52=a1a9 ? a5=± 48 ? q=± 2,∴a6=± 96。 【变式 2】{an}为等比数列,an>0,且 a1a89=16,求 a44a45a46 的值。 【答案】64;
2 ∵ a1a89 ? a45 ? 16 ,又 an>0,∴a45=4 3 ∴ a44a45a46 ? a45 ? 64 。

【变式 3】已知等比数列 {an } ,若 a1 ? a2 ? a3 ? 7 , a1a2 a3 ? 8 ,求 an 。 【答案】 an ? 2n?1 或 an ? 23?n ;
3 2 法一:∵ a1a3 ? a2 ,∴ a1a2a3 ? a2 ? 8 ,∴ a2 ? 2

? a1 ? a3 ? 5 , 解之得 a1 ? 1 , a3 ? 4 或 a1 ? 4 , a3 ? 1 从而 ? ? a1a3 ? 4

当 a1 ? 1 时, q ? 2 ;当 a1 ? 4 时, q ? 故 an ? 2n?1 或 an ? 23?n 。

1 。 2

法二:由等比数列的定义知 a2 ? a1q , a3 ? a1q 2
?a1 ? a1q ? a1q 2 ? 7 ? 代入已知得 ? 2 ? ?a1 ? a1q ? a1q ? 8
?a1 (1 ? q ? q 2 ) ? 7, ? a1 (1 ? q ? q 2 ) ? 7, (1) ? ?? ?? 3 3 (2) ? ? a1q ? 2 ?a1 q ? 8

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将 a1 ?

2 代入(1)得 2q2 ? 5q ? 2 ? 0 , q
1 2

解得 q ? 2 或 q ?

?a ? 4 ? a1 ? 1 ? 1 由(2)得 ? 或? 1 ?q ? 2 ?q ? ? 2

,以下同方法一。

类型二:等比数列的前 n 项和公式 例 2.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=2S9,求数列的公比 q. 解析:若 q=1,则有 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1. 因 a1≠0,得 S3+S6≠2S9,显然 q=1 与题设矛盾,故 q≠1.

a1 (1 ? q3 ) a1 (1 ? q 6 ) 2a1 (1 ? q9 ) 由 S3 ? S6 ? 2S9 得, , ? ? 1? q 1? q 1? q
整理得 q3(2q6-q3-1)=0, 由 q≠0,得 2q6-q3-1=0,从而(2q3+1)(q3-1)=0,
3 1 4 因 q3≠1,故 q 3 ? ? ,所以 q ? ? 。 2 2

举一反三:
1 1 【变式 1】求等比数列 1, , ,? 的前 6 项和。 3 9

【答案】

364 ; 243

1 ∵ a1 ? 1 , q ? , n ? 6 3

? ? 1 ?6 ? 1? ?1 ? ? ? ? 6 ? 3? ? 3 ? ? 1 ? ? 364 ? ? ? ∴ S6 ? 。 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 2 3 243 ? ? ? ? ? ? 1? 3
【变式 2】已知:{an}为等比数列,a1a2a3=27,S3=13,求 S5. 【答案】 121或
121 ; 9

3 ∵ a2 ? 27 ? a2 ? 3 , 13 ?

a1 (1 ? q3 ) 1 ? q ? 3或q ? ,则 a1=1 或 a1=9 1? q 3

1? ? 9 ? ?1- 5 ? 1? 3 3 ? 121 ∴ S5 ? . ? 121或S5= ? = 1 1? 3 9 1- 3
5

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【变式 3】在等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 66 , a2 ? an?1 ? 128 , Sn ? 126 ,求 n 和 q 。 【答案】 q ?
1 或 2, n ? 6 ; 2

∵ a2 ? an?1 ? a1 ? an ,∴ a1an ? 128
? a1 ? 64 ?a a ? 128 解方程组 ? 1 n ,得 ? ? an ? 2 ?a1 ? an ? 66 ? a1 ? 2 或? ? an ? 64

? a1 ? 64 a ?a q 1 ①将 ? 代入 Sn ? 1 n ,得 q ? , 2 1? q ? an ? 2

由 an ? a1qn?1 ,解得 n ? 6 ;
? a1 ? 2 a ?a q ②将 ? 代入 Sn ? 1 n ,得 q ? 2 , 1? q ? an ? 64

由 an ? a1qn?1 ,解得 n ? 6 。 ∴q ?
1 或 2, n ? 6 。 2

类型三:等比数列的性质 例 3. 等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 ,求 log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 a10 . 解析: ∵ {an } 是等比数列,∴ a1 ? a10 ? a2 ? a9 ? a3 ? a8 ? a4 ? a7 ? a5 ? a6 ? 9 ∴ log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? log3 (a1 ? a2 ? a3 ?a10 ) ? log3 (a5 ? a6 )5 ? log3 95 ? 10 举一反三: 【变式 1】正项等比数列 {an } 中,若 a1· a100=100; 则 lga1+lga2+……+lga100=_____________. 【答案】100; ∵lga1+lga2+lga3+……+lga100=lg(a1· a2· a3·……·a100) 而 a1· a100=a2· a99=a3· a98=……=a50· a51 ∴原式=lg(a1· a100)50=50lg(a1· a100)=50× lg100=100。
8 27 【变式 2】在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为 3 2

________。 【答案】216; 法一:设这个等比数列为 {an } ,其公比为 q ,
8 27 8 81 9 ? a1q 4 ? ? q 4 ,∴ q 4 ? , q 2 ? ∵ a1 ? , a5 ? 2 3 16 4 3

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?8? ∴ a2 ? a3 ? a4 ? a1q ? a1q ? a1q ? a ? q ? ? ? ? 3?
2 3 3 1 6

3

?9? ? ? ? ? 63 ? 216 。 ? 4?

3

8 27 法二:设这个等比数列为 {an } ,公比为 q ,则 a1 ? , a5 ? , 2 3

加入的三项分别为 a2 , a3 , a4 ,
8 27 2 ? ? ? 36 ,故 a3 ? 6 , 由题意 a1 , a3 , a5 也成等比数列,∴ a3 3 2
2 3 ∴ a2 ? a3 ? a4 ? a3 ? a3 ? a3 ? 216 。

类型四:等比数列前 n 项和公式的性质 例 4.在等比数列 {an } 中,已知 Sn ? 48 , S2n ? 60 ,求 S3n 。 思路点拨:等差数列中也有类似的题目,我们仍然采用等差数列的解决办法,即等比数列中 前 k 项和,第 2 个 k 项和,第 3 个 k 项和,……,第 n 个 k 项和仍然成等比数列。 解析: 法一:令 b1=Sn=48, b2=S2n-Sn=60-48=12,b3=S3n-S2n 观察 b1=a1+a2+……+an, b2=an+1+an+2+……+a2n=qn(a1+a2+……+an), b3=a2n+1+a2n+2+……+a3n=q2n(a1+a2+……+an)
2 b2 122 易知 b1,b2,b3 成等比数列,∴ b3 ? ? ? 3, b1 48

∴S3n=b3+S2n=3+60=63. 法二:∵ S2n ? 2Sn ,∴ q ? 1 ,
? a1 (1 ? q n ) ? 1 ? q ? 48 ① ? 由已知得 ? 2n ? a1 (1 ? q ) ? 60 ② ? ? 1? q

②÷ ①得 1 ? q n ? ③代入①得 ∴ S3n ?

5 1 ,即 q n ? 4 4



a1 ? 64 , 1? q

a1 (1 ? q3n ) 1 ? 64(1 ? 3 ) ? 63 。 1? q 4

法三:∵ {an } 为等比数列,∴ Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 也成等比数列, ∴ (S2n ? Sn )2 ? Sn (S3n ? S2n ) ,

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∴ S3n ?

( S2 n ? Sn ) 2 (60 ? 48)2 ? S2 n ? ? 60 ? 63 。 Sn 48

举一反三: 【变式 1】等比数列 {an } 中,公比 q=2, S4=1,则 S8=___________. 【答案】17; S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1× (1+24)=17 【变式 2】已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, 且 S10=10, S20=40,求:S30=? 【答案】130; 法一:S10,S20-S10,S30-S20 构成等比数列,∴(S20-S10)2=S10· (S30-S20) 即 302=10(S30-40),∴S30=130. 法二:∵2S10≠S20,∴ q ? 1 , ∵ S10 ? ∴

a1 (1 ? q10 ) a (1 ? q 20 ) ? 40 , ? 10 , S20 ? 1 1? q 1? q

a 1 ? q10 1 ? , ∴ q10 ? 3 ,∴ 1 ? ?5 20 1? q 1? q 4

∴ S 30

a1 (1 ? q 30 ) ? ? (?5)(1 ? 33 ) ? 130. 1? q

【变式 3】等比数列 {an } 的项都是正数,若 Sn=80, S2n=6560,前 n 项中最大的一项为 54,求 n. 【答案】∵

Sn S 80 1 ,∴ q ? 1 (否则 n ? ) ? S 2 n 6560 S 2n 2

∴ Sn ?

a1 (1 ? q n ) =80 ........(1) 1? q

a1 (1 ? q 2 n ) =6560.........(2), S2 n ? 1? q
(2)÷ (1)得:1+qn=82,∴qn=81......(3) ∵该数列各项为正数,∴由(3)知 q>1 ∴{an}为递增数列,∴an 为最大项 54. ∴an=a1qn-1=54,∴a1qn=54q, ∴81a1=54q..........(4) ∴ a1 ?
54 2 2 q ? q 代入(1)得 q (1 ? 81) ? 80(1 ? q) , 81 3 3

∴q=3,∴n=4. 【变式 4】等比数列 {an } 中,若 a1+a2=324, a3+a4=36, 则 a5+a6=_____________.
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【答案】4; 令 b1=a1+a2=a1(1+q),b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q), 易知:b1, b2, b3 成等比数列,∴b3=

b22 362 = =4,即 a5+a6=4. b1 324

【变式 5】等比数列 {an } 中,若 a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求 a7+a8+a9 的值。 【答案】448; ∵{an}是等比数列,∴(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,∴q3=8, ∴a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56× 8=448. 类型五:等差等比数列的综合应用 例 5.已知三个数成等比数列,若前两项不变,第三项减去 32,则成等差数列.若再将此等差 数列的第二项减去 4,则又成等比数列.求原来的三个数. 思路点拨:恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,并 将其设为整式形式. 解析: 法一:设成等差数列的三数为 a-d, a,a+d. 则 a-d, a, a+d+32 成等比数列,a-d, a-4, a+d 成等比数列.
2 ? .(1) ?a ? (a ? d )(a ? d ? 32)......... ∴? 2 ? .(2) ?(a ? 4) ? (a ? d )(a ? d ).........

d 2 ? 16 由(2)得 a= ...........(3) 8

由(1)得 32a=d2+32d ..........(4)
8 (3)代(4)消 a,解得 d ? 或 d=8. 3 8 26 ∴当 d ? 时, a ? ;当 d=8 时,a=10 3 9

2 26 338 ∴原来三个数为 , , 或 2,10,50. 9 9 9

法二:设原来三个数为 a, aq, aq2,则 a, aq,aq2-32 成等差数列,a, aq-4, aq2-32 成等比数列
2 ? 1) ?2aq ? a ? aq ? 32........( ∴? 2 2 ? 2) ?(aq ? 4) ? a (aq ? 32)......(

由(2)得 a ?

2 ,代入(1)解得 q=5 或 q=13 q?4
2 . 9
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当 q=5 时 a=2;当 q=13 时 a ?

∴原来三个数为 2,10,50 或

2 26 338 , , . 9 9 9

总结升华:选择适当的设法可使方程简单易解。一般地,三数成等差数列,可设此三数为 a-d, a, a+d;若三数成等比数列,可设此三数为 首项 a,公比 q 来解决问题反而简便。 举一反三: 【变式 1】一个等比数列有三项,如果把第二项加上 4, ,那么所得的三项就成为等差数列, 如果再把这个等差数列的第三项加上 32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数 列.
2 10 50 【答案】为 2,6,18 或 , ? , ; 9 9 9

x ,x, xy。但还要就问题而言,这里解法二中采用 y

设所求的等比数列为 a,aq,aq2; 则 2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32);
2 ,q=-5; 9

解得 a=2,q=3 或 a ?

2 10 50 故所求的等比数列为 2,6,18 或 , ? , . 9 9 9

【变式 2】已知三个数成等比数列,它们的积为 27,它们的平方和为 91,求这三个数。 【答案】1、3、9 或―1、3、―9 或 9、3、1 或―9、3、―1
a 设这三个数分别为 , a, aq , q

?a ?a ? 3 ? q ? a ? aq ? 27 ? ? 由已知得 ? 2 ?? 2 1 2 ? a ? a 2 ? a 2 q 2 ? 91 ?a ( q 2 ? q ? 1) ? 91 ? 2 ? ?q
得 9q4 ? 82q2 ? 9 ? 0 ,所以 q2 ? 9 或 q 2 ? 即 q ? ?3 或 q ? ?
1 3 1 , 9

故所求三个数为:1、3、9 或―1、3、―9 或 9、3、1 或―9、3、―1。 【变式 3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第 四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和为 12,求这四个数. 【答案】0,4,8,16 或 15,9,3,1; 设四个数分别是 x,y,12-y,16-x
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1) ?2 y ? x ? 12 ? y.......( ∴? 2 2) ?(12 ? y ) ? y(16 ? x).......(
由(1)得 x=3y-12,代入(2)得 144-24y+y2=y(16-3y+12) ∴144-24y+y2=-3y2+28y, ∴4y2-52y+144=0, ∴y2-13y+36=0, ∴ y=4 或 9, ∴ x=0 或 15, ∴四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 类型六:等比数列的判断与证明 例 6.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式,并判 断{an}是何种数列? 思路点拨:由数列{an}的前 n 项和 Sn 可求数列的通项公式,通过通项公式判断{an}类型. 解析:∵log5(Sn+1)=n,∴Sn+1=5n,∴Sn=5n-1 (n∈N+), ∴a1=S1=51-1=4, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4× 5n-1 而 n=1 时,4× 5n-1=4× 51-1=4=a1, ∴n∈N+时,an=4× 5n-1 由上述通项公式,可知{an}为首项为 4,公比为 5 的等比数列. 举一反三: 【变式 1】已知数列{Cn},其中 Cn=2n+3n,且数列{Cn+1-pCn}为等比数列,求常数 p。 【答案】p=2 或 p=3; ∵{Cn+1-pCn}是等比数列, ∴对任意 n∈N 且 n≥2,有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1) ∵Cn=2n+3n,∴[(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)]2=[(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)]· [(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)] 即[(2-p)· 2n+(3-p)· 3n]2=[(2-p)· 2n+1+(3-p)· 3n+1]· [(2-p)· 2n-1+(3-p)· 3n-1]
1 整理得: (2 ? p)(3 ? p) ? 2n ? 3 n ? 0 ,解得:p=2 或 p=3, 6

显然 Cn+1-pCn≠0,故 p=2 或 p=3 为所求. 【变式 2】设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列,Cn=an+bn,证明数列{Cn}不是等比数列. 【证明】设数列{an}、{bn}的公比分别为 p, q,且 p≠q
2 为证{Cn}不是等比数列,只需证 C1 ? C3 ? C2 . 2 ∵ C2 ? (a1 p ? b1q)2 ? a12 p2 ? b12q2 ? 2a1b1 pq ,

C1 ? C3 ? (a1 ? b1 )(a1 p2 ? b1q2 ) ? a12 p2 ? b12q2 ? a1b1 ( p2 ? q2 )
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2 ∴ C1 ? C3 ? C2 ? a1b1 ( p ? q)2 ,

又∵ p≠q, a1≠0, b1≠0,
2 2 ∴ C1 ? C3 ? C2 ? 0 即 C1 ? C3 ? C2

∴数列{Cn}不是等比数列. 【变式 3】判断正误: (1){an}为等比数列 ?a7=a3a4; (2)若 b2=ac,则 a,b,c 为等比数列; (3){an},{bn}均为等比数列,则{anbn}为等比数列;
?1? 2 (4){an}是公比为 q 的等比数列,则 {an } 、 ? ? 仍为等比数列; ? an ?

(5)若 a,b,c 成等比,则 logma,logmb,logmc 成等差. 【答案】 (1)错;a7=a1q6,a3a4=a1q2· a1q3=a12q5,等比数列的下标和性质要求项数相同; (2)错;反例:02=0× 0,不能说 0,0,0 成等比; (3)对;{anbn}首项为 a1b1,公比为 q1q2;
a a
2 n ?1 2 n

(4)对;

1 a 1 ? q 2 , n ?1 ? ; 1 q an

(5)错;反例:-2,-4,-8 成等比,但 logm(-2)无意义. 类型七:Sn 与 an 的关系
2 例 7.已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn ? an ? 5an ? 6 ,且 a1,a3,a15 成等比数列,

求数列{an}的通项 an.
2 解析:∵ 10Sn ? an ? 5an ? 6 ,



∴ 10a1 ? a12 ? 5a1 ? 6 ,解之得 a1=2 或 a1=3.
2 又 10Sn?1 ? an ?1 ? 5an?1 ? 6 (n ? 2) ,



2 2 由①-②得 10an ? (an ? an ?1 ) ? 5(an ? an?1 ) ,即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 5) ? 0

∵an+an-1>0,∴an-an-1=5(n≥2). 当 a1=3 时,a3=13,a15=73,a1,a3,a15 不成等比数列 ∴a1≠3; 当 a1=2 时,a3=12,a15=72,有 a32=a1a15, ∴a1=2,∴an=5n-3.
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(n ? 1) ?a 总结升华:等比数列中通项与求和公式间有很大的联系,它们是 an ? ? 1 ,尤 ? Sn ? Sn?1 (n ? 2)
其注意首项与其他各项的关系. 举一反三: 【变式】命题 1:若数列{an}的前 n 项和 Sn=an+b(a≠1),则数列{an}是等比数列;命题 2:若 数列{an}的前 n 项和 Sn=na-n,则数列{an}既是等差数列,又是等比数列。上述两个命题中, 真命题为 【答案】0; 由命题 1 得,a1=a+b,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(a-1)· an-1. 若{an}是等比数列,则
a ( a ? 1) a2 ? a, ? a ,即 a?b a1

个.

所以只有当 b=-1 且 a≠0 时,此数列才是等比数列. 由命题 2 得,a1=a-1,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=a-1, 显然{an}是一个常数列,即公差为 0 的等差数列, 因此只有当 a-1≠0,即 a≠1 时数列{an}才又是等比数列.

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