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泰勒幂级数展开


数学物理方法

陈尚达

材料与光电物理学院

第三章 幂级数展开
1、复数项级数

数学物理方法

2、幂级数
3、泰勒级数展开 4、解析延拓 5、洛朗级数展开 6、孤立奇点的分类

3.3 泰勒级数展开

数学物理方法

通过对幂级数的学习,我们已经知道一个
幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解

析函数。现在我们来研究与此相反的问题,就
是:任何一个解析函数是否能用幂级数来表示? 这个问题不但有理论意义,而且很有实用价值.

数学物理方法

3.3.1泰勒级数 泰勒(Taylor)展开定理 设 f ( z ) 在区域 D:z ? z0 |? R 内 | 解析,则在 D 内 f ( z ) 可展为泰勒级数
f ( z ) ? ? an ( z ? z0 ) n ,
n ?0 ??

(| z ? z0 |? R)

(3.3.1)

其中

f ( n ) ( z0 ) 1 f (? )d? an ? ?C (? ? z0 )n?1 ? n! 2? i ?

(n ? 0,1, 2,?) ,

且展式是唯一的。

特别地,当 z0 ? 0 时,级数 级数。

?
n ?0

?

f ( n ) (0) n z 称为麦克劳林 n!

数学物理方法

【证明】 设函数 f ( z ) 在区域 D: z ? z0 ? R 内解析,任取一点 ? ? D ,以 z0 为 中心, ? 为半径( ? ? R )作圆周 C:

? ? z0 ? ? ,如图

?z z0
C

?
R

?

由柯西积分公式知 1 f (? ) f ( z) ? ?C ? ? z d? 2πi ?

(3.3.2)

数学物理方法 其中z在C的内部,,而 ? 在C上取值, C取逆时针正方向. 故

z ? z0 ? ?
从而

? ? z0 ? ?

z ? z0 ?1 ? ? z0
1 1 1 1 ? ? ? ? ? z (? ? z0 ) ? ( z ? z0 ) ? ? z0 1 ? z ? z0 ? ? z0
? 1 ? ? z n , (| z |? 1) 1 ? z n ?0

因为

根据

数学物理方法
? z ? z ? z ? z ?2 ? ? ( z ? z )n 1 1 0 0 0 ?1 ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? z ? ? z 0 ? ? ? z0 ? ? ? z0 ? (? ? z0 )n?1 ? n ?0 ? ?

以此代入(3.3.2),并把它写成 ? ? 1 f (? )d? ? f ( z) ? ? ? ( z ? z0 ) n ?C (? ? z0 )n?1 ? 2? i ? n ?0 ? ?

利用解析函数的高阶导数公式,上式即为
f ( z ) ? ? an ( z ? z0 ) n
n ?0 ?

(3.3.3)

其中
f ( n ) ( z0 ) 1 f (? )d ? an ? ?C (? ? z0 )n?1 ? n! 2πi ? (0,1, 2,?)

(3.3.4)

数学物理方法

这样便得到了 f ( z ) 在圆 | z ? z0 |? R 内的幂级数展 开式,但上述展开式是否唯一呢?我们可以证明其唯一 性。
假设 f ( z ) 在 | z ? z0 |? R 内可展开为另一展开式

f ( z ) ? ? bn ( z ? z0 )
n ?0

?

n

(3.3.5)

两边逐项求导,并令 z ? z0 可得到系数

f n ( z0 ) bn ? ? an , (n ? 0,1, 2,?) n!
故展开式系数是唯一的。

(3.3.6)

数学物理方法

3.3.2 将函数展开成泰勒级数的方法

泰勒展开定理本身提供了一种展开方 (n) 法,即求出 f ( z0 ) 代入即可,这种方法称 为直接展开法.
例3.3.1 在 z0 ? 0 的邻域上把 f ( z ) ? e
z

展开。

f ( z ) ? e z 的各阶导数 f ( k ) ( z ) ? e z 而 解:函数
f ( k ) ( z0 ) ? f ( k ) (0) ? 1

f ( z ) ? e z 在 z0 ? 0 领域上的泰勒级数写为 故
z z 2 z3 e z ? 1 ? ? ? ?? 1! 2! 3!
易求收敛半径无限大

数学物理方法 例3.3.2 在 z0 ? 0 的邻域把 f1 ( z ) ? sin z 和 f 2 ( z ) ? cos z 展开。
' 解: 函数 f1 ( z ) ? sin z 的前四阶导数分别为 f1 ( z ) ? cos z

f1'' ( z ) ? ? sin z

f1(3) ( z ) ? ? cos z

f1(4) ( z ) ? sin z

由上可见其四阶导数等于函数本身,因此其高阶导 数是前四阶导数的重复。
f1'' (0) ? 0 且在 z0 ? 0 有 f (0) ? 1
' 1

f1(3) (0) ? ?1

f1(4) (0) ? 0

故有

z z z z sin z ? ? ? ? ?? 1! 3! 5! 7!

3

5

7

数学物理方法 同样的方法,可求得 cos z 在 z0 ? 0 邻域上的泰勒级数

z z z cos z ? 1 ? ? ? ?? 2! 4! 6!
容易求得上面两个泰勒级数的收敛半径为无限大。 即 Z在全复平面上取值只要有限,上面两个级数 就收敛。

2

4

6

数学物理方法 例3.3.3 在 z0 ? 1 的邻域把 f ( z ) ? ln z 解:多值函数 f ( z ) ? ln z 的支点在 展开。

z ? 0, z ? ?

现在展开中心 z0 ? 1 并非支点,在它的邻域上,各个单 值互相独立,可以比照单值函数的方法展开,先计算系数 f ( z ) ? ln z f (1) ? ln1 ? n2? i
f '( z ) ? 1 z
1! z2

f '(1) ? 1
f ''( z ) ? ?1!

f ''( z ) ? ?

f (3) ( z ) ?

2! z3

f (3) ( z ) ? 2!

……

于是可写成 z0 ? 1 在邻域上的泰勒级数

数学物理方法

1 ?1! 2! 2 ln z ? ln1 ? ( z ? 1) ? ( z ? 1) ? ( z ? 1)3 ? 1! 2! 3! 2 3 4 ( z ? 1) ( z ? 1) ( z ? 1) ? n 2? i ? ( z ? 1) ? ? ? ?? 2 3 4
可以求得上式的收敛半径为1。因此

( z ? 1) ( z ? 1) ln z ? n2? i ? ( z ? 1) ? ? ? ? ( z ? 1) 2 3
2 3

上式n=0的那一个单值分支叫作 ln z 的主值。

数学物理方法
m z0 ? 0 的邻域把 f ( z ) ? (1 ? z ) 展开(m不是 例3.3.3 在

正整数)。 解:先计算展开系数
f ( z ) ? (1 ? z )
m

f (0) ? 1m

f '( z ) ? m(1 ? z )

m ?1

f '(0) ? m1m
m?2

f ''( z ) ? m(m ? 1)(1 ? z )

f ''(0) ? m(m ? 1)1m

f (3) ( z ) ? m(m ? 1)(m ? 2)(1 ? z ) m?3

……
m m

f (3) (0) ? m(m ? 1)(m ? 2)1m

m m m(m ? 1) m 2 (1 ? z ) ? 1 ? 1 z ? 1 z 1! 2! m(m ? 1)(m ? 2) m 3 ? 1 z ?? 3!

数学物理方法

易求其收敛半径为1,故
m m(m ? 1) 2 m(m ? 1)(m ? 2) 3 (1 ? z ) ? 1 {1 ? z ? z ? z ? ?}, ( z ? 1) 1! 2! 3!
m m

式中 1m ? (ei 2 n? ) m ? ei 2 nm? 在许多的单值分支中,n=0那一支即 1m ? 1的那一个叫 作 (1 ? z ) m的主值。上式也就是指数为非整数的二项式 定理。

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f ( z ) 较复杂时,求 f ( n ) ( z0 ) 比较麻烦。根据泰勒展式 二、当
的唯一性,因此通常用间接展开法,即利用基本展开公式及 幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展 开成幂级数,基本展开公式如下:
? 1 ? ? z n , z ? 1; 1 ? z n ?0 ? 1 ? ? (?1) n z n , z ? 1; 1 ? z n ?0

(3.3.7) (3.3.8) (3.3.9)

zn e z ? ? , z ? ??; n ?0 n ! (?1) n z 2 n ?1 sin z ? ? , n ? 0 (2n ? 1)!
?

?

z ? ??.

(3.3.10)

数学物理方法

例 3.3.4 将函数 f ( z ) ? sin z 和

f ( z ) ? cos z 在 z0 ? 0 处展开成幂级数.
zn 解:利用 e z ? ? , z ? ??; 有 n ?0 n !
?

1 iz ?iz 1 ? (iz ) n ? (?iz ) n sin z ? (e ? e ) ? (? ?? ) 2i 2i n ?0 n ! n ?0 n ! z3 z5 z 2 m ?1 ? z ? ? ? ? ? (?1) m ?? 3! 5! (2m ? 1)! z 2 m ?1 ? ? (?1) m (2m ? 1)! m?0
?

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例 3.3.5 将函数 f ( z ) ? ln(1 ? z ) 在

z0 ? 0 处展开成幂级数.

数学物理方法

解: 我们知道, ln(1 ? z) 在从 ?1 向左沿负实轴剪开的平面内 是解析的,而 ?1 是它的一个奇点,所以它在 z ? 1 内可以展 开成 z 的幂级数.
? 1 因为 ? ln(1 ? z ) ?? ? ? ? (?1) n z n , ( z ? 1), 1 ? z n ?0

所以

z 1 n n ln(1 ? z ) ? ? dz ? ? ? (?1) z dz 0 1? z 0 n ?0 z

?

z ? ? (?1) , z ?1 n ?1 n ?0
n

?

n ?1

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1 例 3.3.6 将函数 在 z0 ? 0 处展开成幂级数. 2 (1 ? z )
解: 由于函数
1 在单位圆周 z ? 1 上有一个奇 2 (1 ? z )

点 z ? ?1,而在 z ? 1 内处处解析,所以它在 z ? 1 内可展开成 z 的幂级数.

1 ? ? ?? ? 1 ?? ? ? ? ? ( ?1) n z n ? ? ?? ? (1 ? z ) 2 1? z ? ? ? n?0 ?

? ? (?1) n ?1nz n ?1 , z ? 1
n ?0

?

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z 例 3.3.7 将函数 f ( z ) ? ,在 | z ? 1|? 2 z ?1
内展开成幂级数. z 1 解: f ( z ) ? ? 1? z ?1 1? z
1 ? 1? ( z ? 1) ? 2
1 1 1 n ? z ?1 ? ? 1? ? ? 1 ? ? (?1) ? ? 2 1? z ?1 2 n ?0 2 ? ? 2 ? ( z ? 1) n ? 1 ? ? (?1) n , ( z ? 1 ? 2) n ?1 2 n ?0
? n

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z 例 3.3.8 将函数 f ( z ) ? ,在 | z |? 1 ( z ? 1)( z ? 2)
内展开成幂级数.
解:

z 1 2 f ( z) ? ?? ? ( z ? 1)( z ? 2) z ?1 z ? 2
? ? 1 1 ? ? ? ? z n ? ? ( z / 2) n 1 ? z 1 ? z / 2 n?0 n?0

1 n ? ? (1 ? n ) z 2 n?0

?

作业

数学物理方法

P52
(2), (3), (5),(6),(8)

补充:

(1)将 shz 在 z0 ? 0 领域展开。

补充 泰勒展开的方法(参见陆全康教材)

数学物理方法

1、替换法 z ?1 例 将函数 f ( z ) ? 3 ,以为 z ? ?1 中心展开为幂

z

级数.

解:令 ? ? z ? 1 即

z ?1 ? ?2 ? 3 z (1 ? ? )3
利用 (1 ? z ) ?
m ?

?a
k ?0

?

m k

z 得到

k

(1 ? ? ) ?3 ? ? ak?3 ( ?? ) k
k ?0

数学物理方法

z 例 3.3.8 将函数 f ( z ) ? ,在 | z |? 1 ( z ? 1)( z ? 2)
解:
内展开成幂级数.

z 1 2 f ( z) ? ?? ? ( z ? 1)( z ? 2) z ?1 z ? 2
第二式中令 z

? 2t 即可

z 例 3.3.7 将函数 f ( z ) ? ,在 | z ? 1|? 2 z ?1
内展开成幂级数.

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2、加减法

例 3.3.4 将函数 f ( z ) ? cos z 在 z0 ? 0 处 展开成幂级数。
1 iz ? iz 1 ? (iz ) n ? (?iz ) n cos z ? (e ? e ) ? (? ?? ) 2 2 n?0 n ! n?0 n ! z2 z4 z 2m ? 1 ? ? ? ? ? (?1) m ?? 2! 4! (2m)! z 2m ? ? (?1) m (2m)! m ?0
?

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3、多项式乘或除

例 将函数 f ( z ) ? e cos z 以 z0 ? 0 为中
z

心展开成幂级数。
解:

zn e z ? ? , z ? ??; n ?0 n !
(?1) n z 2 n cos z ? ? , (2n)! n ?0
?

?

z ? ??.

将上面两式直接相乘即可。

数学物理方法

例 将函数 f ( z ) ? tan z 以 z0 ? 0 为中心 展开成幂级数。
解:利用 sin z ? z ? z ? z ? z ??
3 5 7

1! 3!
2

5!

7!

z z z cos z ? 1 ? ? ? ?? 2! 4! 6!


4

6

sin z tan z ? cos z

数学物理方法

z3 2 5 z ? ? z ?? 3 15 z2 z4 z6 z3 z5 z7 1? ? ? ?? z ? ? ? ?? 2 24 720 6 120 5040
z z z z? ? ? ?? 2 24 720
3 5 7

z3 z5 z7 ? ? ?? 3 30 720 z3 z5 z7 ? ? ?? 3 6 72

数学物理方法

4、化成微分方程法

例 将函数 f ( z ) ? e 开成幂级数。
解:

1 1? z

以 z0 ? 0 为中心展

对上逐次求导有

f ( z) 2 f '( z ) ? 于是 (1 ? z ) f '( z ) ? f ( z ) ? 0 (1 ? z ) 2

(1 ? z ) 2 f ''( z ) ? (2 z ? 3) f '( z ) ? 0 (1 ? z ) f
2 (3)

( z ) ? (4 z ? 5) f ''( z ) ? 2 f '( z ) ? 0

令 z ? 0 则 f '(0) ? e

?

依次可得到

f ''(0) ? 3e

f (3) (0) ? 13e,?


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