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江西省临川一中2014-2015学年高二上学期期末考试 数学文 Word版含答案


一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ?x | y ? lg(2 ? x)?,集合 B ? ?x | ?2 ? x ? 2?,则 A ? B ? ( A. ?x | x ? ?2?
? ? ? ?



B. ?x | ?2 ? x ? 2?
?

C.
?
?

?x | ?2 ? x ? 2?


D.

?x | x ? 2?

2. 若 a ? b ? a ? b ? 2 a ,则向量 a ? b 与 b 的夹角为(

?

A.

5? 6

B.

?
3

C.

2? 3

D.

?
6


3. 若坐标原点到抛物线 y A.8 B. ? 8 C.

? mx2 的准线距离为 2,则 m ? (
1 8
D. ?

1 8

4. 下列说法中正确的是 ( ) ? A.命题“函数 f(x)在 x=x0 处有极值,则 f ( x) ? 0 ”的否命题是真命题 B.若命题 p :

C.若 p 是 q 的充分不必要条件,则 ?p 是 ?q 的必要不充分条件; D.方程 ax 2 ? x ? a ? 0 有唯一解的充要条件是 a ? ? 5.一个长方体,其正视图面积为 接球的 表面积为( A. 6? 6. 函数 f ( x) ? A. (?1,1) 7.点在圆 x A. ( x ? 3)
2 2

1 1 ? 0 ,则 ?p : ? 0; x ?1 x ?1

1 2

6 ,侧视图面积为 3 ,俯视图面积为 2 ,则长方体的外

) B. 24? C. 6

6?


D.

6?

1 2 x ? ln x 的单调递减区间为( 2
B. (??,1) C. (0,1)

D. (1,??) )

? y 2 ? 1 上移动时,它与定点 B(3,0) 连线的中点的轨迹方程是(
B. ( x ? 3) D. ( x ?
2

? y2 ? 4
2

? y2 ? 1

C. (2 x ? 3)

? 4y2 ? 1

3 2 1 ) ? y2 ? 2 2

8.对某同学的 6 次物理测试成绩(满分 100 分)进行统计,作出的茎叶图如图所示,给出关于 该同学物理成绩的以下说法:①中位数为 84; ②众数为 85;③平均数为 85; ④极差为 12.

-1-

其中,正确说法的序号是( A. ①② B.③④
x

) C. ②④ B. ( 0, ) D.①③ ) D. (??,1) C. ( ,?? )

9.若方程 ae ? x ? 0 有两个不相等的实根,则 a 的取值范围为( A. (?? , )

1 e

1 e

1 e

10.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,M 为棱 BB1 的中点,则下列结 论中 错误 的是( ) ..

A.D1O∥平面 A1BC1 C.异面直线 BC1 与 AC 所成的角等于 60°

B.D1O⊥平面 AMC D.点 B 到平面 AMC 的距离为

2 2

11. 在区间 ? ?1, 5 ? ?和? ? 2, 4 ? ? 上分别取一个数, 记为 a,b , 则方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x a2 b2

轴上且离心率小于

3 的椭圆的概率为 ( 2
B.



A.

1 2

15 32

C.

17 32

D.

31 32

12. f ( x) 是定义在 D 上的函数, 若存在区间, 使函数 f ( x) 在 [ m, n ] 上的值域恰为 [ km, kn] , 则称函数 f ( x) 是 k 型函数.若函数 y ? ? ( A. 0 ) B. 8 C. ? 4 D. ? 4或8

1 2 x ? x [m, n] ? D 是 3 型函数, 则 m ? n 的值为 2

第Ⅱ卷 (非选择题共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

-2-

13.在等比数列{an}中,已知 a1+a3=8,a5+a7=4,则 a9+a11+a13+a15=________.

14.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件 A :两个点数互不相同,事件 B :出现一个 4 点, 则

P( B A) 等于__________.
15. 已 知 函 数 f ( x)=

1 1 3 x ? sin x ? cos x 的 图 象 在 点 A( x0 , y0 ) 处 的 切 线 斜 率 为 1 , 则 2 4 4

tanx0 ? _________.
16.给出如下五个结论: ①若 ?ABC 为钝角三角形,则 sin A ? cos B. ②存在区间( a , b )使 y ? cos x 为减函数而 sin x <0 ③函数 y ? 2 x
3

? 3x ? 1 的图象关于点 ? 0,1? 成中心对称
?
2 ? x) 既有最大、最小值,又是偶函数

④ y ? cos 2 x ? sin( ⑤ y ? sin(2 x ?

?
4

) 最小正周期为π
.

其中正确结论的序号是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 我校开设了“足球社”、“诗雨文学社”、“ 旭爱公益社”三个社 团,三个社团参加的人数如下表所示: 社团 人数 足球社 320 诗雨文学社 240 旭爱公益社 200

已知“足球社”社团抽取的同学 8 人。 (Ⅰ) 求样本容量 n 的值和从“诗雨文学社”社团抽取的同学的人数; (Ⅱ)若从“诗雨文学社”社团抽取的同学中选出 2 人担任该社团正、副社长的职务,已知 “诗雨文学社”社团被抽取的同学中有 2 名女生,求至少有 1 名女同学被选为正、副社长的 概率. 18.(本小题满分 10 分) 已知在等比数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 a 2 是 a1 和 a3 ? 1 的等差中项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 bn ? 2n ? 1 ? an (n ? N ) ,求 {bn } 的前 n 项和 Sn .
*

19. (本小题满分 12 分) 已知命题 p : “存在 x ? R,2 x 2 ? (m ? 1) x ?
2 2 1 ,命题 q :“曲线 C1 : x 2 ? y ? 0” ? 1 表示焦 2 2m ? 8 m

-3-

点在 x 轴上的椭圆”,命题 s :“曲线 C 2 :

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线” m ? t m ? t ?1

(1)若“ p 且 q ”是真命题,求 m 的取值范围; (2)若 q 是 s 的必要不充分条件,求 t 的取值范围. 20. (本小题满分 12 分) 某工厂欲加工一件艺术品,需要用到三棱锥形状的坯材,工人将如图所示的长方体 ABCDEFGH 材料切割成三棱锥 HACF. (1)若点 M,N,K 分别是棱 HA,HC,HF 的中点,点 G 是 NK 上的任意一点,求证:MG∥ 平面 ACF; (2)已知原长方体材料中,AB=2 m,AD=3 m,DH=1 m,根据艺术品加工需要,工程师必须 求出该三棱锥的高.工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序,其框图如图所示,则运行该 程序时乙工程师应输入的 t 的值是多少?

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e x 和 g ( x) ? kx3 ? x ? 2 .

-4-

(1)若函数 g ( x) 在区间 ?1, 2 ? 不单调,求实数 k 的取值范围; (2)当 x ?

?1, ??? 时,不等式 f ( x) ? g ( x)+x+2 恒成立,求实数 k 的最大值.

22. (本小题满分 13 分)

已知椭圆

6 2 x2 y2 . ) ,且离心率为 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M (1, 2 2 2 a b
1 2

(1) 求椭圆的标准方程; (2) 若 P ( ?1, ) 是椭圆内一点,椭圆的内接梯形 ABCD, ( AB // CD) 的对角线 AC 与 BD 交于 点 P ,设直线 AB 在 y 轴上的截距为 m ,记 f (m) ? S ?PAB ,求 f ( m) 的表达式.

密????????????封??????????????线??????????????

临川一中 2014-2015 学年度上学期期末考试

高二数学试卷答题卷(文科)
一 二 17 18 19 三 20 21 22 总 分

题 号

考号:___________________

得 分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合目要求的.)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

姓名:___________ ___

二、填空题(本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分;把正确答案填在横线上.) 13._________________________; 14._________________________;

_______ ___

-5-

15._________________________; 16._________________________; 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(10 分) 18.(10 分)

-6-

19.(12 分)

-7-

20.(12 分)

-8-

-9-

21.(13 分)

- 10 -

22.(13 分)

- 11 -

- 12 -

含有 2 名女生的选法只有{A,B}1 种. 至少有 1 名女同学共 9 种 故至少有 1 名女同学被选中的概率

9 3 = 15 5

. …………10 分

法 2:从这 6 位同学中任选 2 人,没有女生的有:{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F}, {E,F},共 6 种 故至少有 1 名女同学被选中的概率 1-

6 3 = 15 5

. .…………10 分

18: (1)设等比数列 {an } 的公比为 q ? a 2 是 a1 和 a3 ? 1 的等差中项

? 2a2 ? a1 ? (a3 ? 1) ? a3
?an ? a1qn ?1 ? 2n ?1 (n ? N * )
(2) bn

?q ?

a3 ?2 a2
…….. 5 分

? 2n ?1 ? an


? S n ? (1 ? 1) ? (3 ? 2) ? (5 ? 22 ) ? ? ? (2n ? 1 ? 2n?1 )

? [1 ? 3 ? 5 ????(2n ?1)] ? (1 ? 2 ? 22 ????? 2n?1 )
1 ? (2n ? 1) 1 ? 2n ? ?n? 2 1? 2
19 解: (1)若

? n 2 ? 2n ? 1

.... 10 分

1 2 p 为真: ? ? (m ? 1) ? 4 ? 2 ? ? 0 2
- 13 -

解得 m ? ?1 或 m ? 3 若 q 为真:则 ?

?m 2 ? 2m ? 8 ?2m ? 8 ? 0

解得 ? 4 ? m ? ?2 或 m ? 4 若“

p 且 q ”是真命题,则 ?

?m ? ?1或m ? 3 ?? 4 ? m ? ?2或m ? 4
…… 6 分

解得 ? 4 ? m ? ?2 或 m ? 4 (2)若 s 为真,则 (m ? t )(m ? t ? 1) ? 0 ,即 t ? m ? t ? 1 由 q 是 s 的必要不充分条件, 则可得 {m | t ? m ? t ? 1} ? ? {m | ?4 ? m ? ?2 或 m ? 4}

即?

?t ? ?4 或t ? 4 ?t ? 1 ? ?2

解得 ? 4 ? t ? ?3 或 t ? 4

……12 分

20(1)证明:∵HM=MA,HN=NC,HK=KF,∴MK∥AF,MN∥AC. ∵MK?平面 ACF,AF? 平面 ACF,∴MK∥平面 ACF, 同理可证 MN∥平面 ACF, ∵MN,MK? 平面 MNK,且 MK∩MN=M, ∴平面 MNK∥平面 ACF,又 MG? 平面 MNK,故 MG∥平面 ACF. (2)由程序框图可知 a=CF,b=AC,c=AF, b2+c2-a2 AC2+AF2-CF2 ∴d= = =cos∠CAF, 2bc 2AC· AF 1 1 ∴e= bc 1-d2= AC· AF· sin∠CAF=S△ACF. 2 2 3t 1 1 又 h= ,∴t= he= h· S =V 三棱锥 HACF. e 3 3 △ACF ∵三棱锥 HACF 为将长方体 ABCDEFGH 切掉 4 个体积相等的小三棱锥所得, 1 1 ∴V 三棱锥 HACF=2× 3× 1-4× × × 3× 2× 1=6-4=2,故 t=2. 3 2

- 14 -

22.(1)椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 ,……………..4 分 4 2

(2)由已知得 AB 、CD 不垂直于 x 轴(否则由对称性,点 P 在 x 轴上) 设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,直线 CD 的方程为 y ? kx ? n, (m ? n) 将 y ? kx ? m 代入

x2 y2 2 2 2 2 2 ? ? 1 得 (2k ? 1) x ? 4kmx? 2(m ? 2) ? 0 , ?1 ? 4(8k ? 2m ? 4) ? 0 4 2

4km ? x A ? xB ? ? 2 ? ? 2k ? 1 设点 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,由韦达定理得 ? ,…………..6 分 2 2 ( m ? 2 ) ?x x ? A B ? 2k 2 ? 1 ? 4kn ? xC ? x D ? ? 2 ? ? 2k ? 1 同理设点 C ( xC , yC ), D( x D , y D ) ,由韦达定理得 ? 2 ? x x ? 2( n ? 2) ? C D 2k 2 ? 1 ?
由 A、C、P 三点共线

1 1 ? (?1 ? x A )( ? y C ) ? (?1 ? xC )( ? y A ) ? ? x A ? 2 y C ? 2 x A y C ? ? xC ? 2 y A ? 2 xC y A 2 2
同理由 B、D、P 三点共线 ? ? x B ? 2 y D ? 2 x B y D ? ? x D ? 2 y B ? 2 xD y B

- 15 -

两式相加结合 AB 、CD 的方程 y ? kx ? m , y ? kx ? n, (m ? n) 得

? ( x A ? x B ) ? 2k ( xC ? x D ) ? 2 x B y D ? 4n ? 2 x A (kxC ? n) ? 2 x B (kxD ? n) ? ? ( xC ? x D ) ? 2k ( x A ? x B ) ? 2 x B y D ? 4m ? 2 xC (kx A ? m) ? 2 x D (kxB ? m) ? ( x A ? x B ) ? 2k ( xC ? x D ) ? 4n ? 2n( x A ? x B ) ? ?( xC ? x D ) ? 2k ( x A ? x B ) ? 4m ? 2m( xC ? x D )
利用 n( x A ? x B ) ? m( xC ? x D ) 得 (2k ? 1)(xC ? x D ) ? x A ? x B ) ? 4(n ? m) ? 0
4k (2k ? 1)(m ? n) ? 4(n ? m) ? 0 ,由 n ? m ? 0 得 k ? 1 ,…………..8 分 2k 2 ? 1

由 ?1 及直线不过点 P ( ?1, ) 得 ? 6 ? m ? 6 且 m ? 又 点

1 2

3 2
的 距 离 是

1 P ( ?1, ) 2





线

x? y?m?0

d?

2m ? 3 2 2





f (m) ? S ?PAB ?

1 48 ? 8m 2 2m ? 3 12 ? 2m 2 3 ? 2? ? ? 2m ? 3 ( ? 6 ? m ? 6 且 m ? ) 2 2 3 6 2 2

……………………..13 分

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- 16 -


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