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2013届高三理科数学二轮复习专题能力提升训练2 函数与方程及函数的实际应用


训练 2

函数与方程及函数的实际应用

(时间:45 分钟

满分:75 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

[来源:Zxxk.Com]

1 1. (2012· 山东实验中学一诊)函数 f(x)=-x +log2x 的一个 零点落在下列哪个区间 ( A .(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,4) ).

2.(2012· 湖南浏阳)在用 二分法求方程 x3-2x-1=0 的一个近似解时,现在已经 将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为 ( A.(1.4,2) 3? ? C.?1,2? ? ? B.(1.1,4) ?3 ? D.?2,2? ? ? ).

1 3.(2012· 临沂一模)设函数 f(x)=3x-ln x,则函数 f(x) ( ?1 ? A.在区间? e,1?,(1,e)内均有零点 ? ? ?1 ? B.在区间?e,1?,(1,e)内均无零点 ? ? ?1 ? C.在区间?e,1?内有零点,在(1,e)内无零点 ? ? ).

?1 ? D.在区间? e,1?内无零点,在(1,e)内有零点 ? ? ?x+3,x≤1, 4.(2012· 厦门质检)已知 f(x)=? 2 则函数 g(x)=f(x)-ex 的零 ?-x +2x+3,x>1, 点个数为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 ).

5.某 车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件, x 则平均仓储时间为 天, 且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件 8 产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品
[来源:学科网 ZXXK]

( A.60 件 C.100 件 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) B.80 件 D.120 件

).

[来源:学科网]

6.(2012· 宝鸡二模)已知 0<a<1,函数 f(x)=ax-|logax|的零点个数为________. ?1? 7.(2012· 郑州二模)已知函数 f(x)=?5?x-log3x,若 x0 是函数 y=f(x)的零点,且 0 ? ? <x1<x0,则 f(x1)________0(填“>”、“<”、“≥”、“≤”). ?1? 8.设函数 y=x3 与 y=?2?x-2 的图象的交点为(x0,y0),若 x0 所在的区间是(n,n ? ? +1)(n∈Z),则 n=________. 三、解答题(本题共 3 小题,共 35 分) 9.(11 分)经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与 价格(元)均为时间 t(天)的函数,且销售量近似满足 g(t)=80-2t(件),价格近 1 似满足 f(t )=20-2|t-10|(元). (1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值. 10.(12 分)(2012· 广州模拟)已知二次函数 f(x)=x2-16x+q+3. (1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数 q 的取值范围; (2)问是否存在常数 t(t≥0),当 x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间 D,且区间 D

的长度为 12-t. 9 11.(12 分)设函数 f(x)=x3-2x2+6x-a. (1)对于任意实数 x,f′(x)≥m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f(x)=0 有且仅有 一个实根,求 a 的取值范围.

参考答案 训练 2 函数与方程及函数的实际应用

1.B [根据函数的零点存在定理,要验证函数的 零点的位置,只要求出函数在 区间的两个端点上的函数值, 得到结果, 根据函数的零点存在定理得到 f(1)· f(2) <0.故选 B.] 2.D [令 f(x)=x3-2x-1, 5 ?3? 则 f(1)=-2<0,f(2)=3>0,f?2?=-8<0. ? ? ?3 ? 故下一步可断定该根所在区间为?2,2?.] ? ? 1 1 x-3 ?1 ? 3.D [∵f′(x)=3-x = 3x ,当 x∈? e,e?时,f′(x)<0, ? ? ?1 ? ∴f(x)在?e,e?上单调. ? ? 1 1 1 1 ?1? 1 f?e?=3e-lne =1+3e>0,f(1)=3-ln 1=3>0, ? ? e f(e)=3-ln e<0,所以 f(x)在(1,e)内有零点.]
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4.B [在同一平面直角坐标系中画出函数 y=f(x)与 y=ex 的图象,结合图形可 知,它们有两个公共点,因此函数 g(x)=f(x)-ex 的零点个数是 2,选 B.] 5.B [若每批生产 x 件产品,则每件产品的生产准备费用是 800 x 总的费用是 x +8≥2 6.解析 800 x ,存储费用是 , x 8

800 x 800 x ·=20,当且仅当 x =8时取等号,即 x=80.] x 8

分别画出函数 y=ax(0<a<1)与 y=|logax|(0<a<1)的图象,如图所示.

答案 7.解析

2 当 x=x0 时,

?1? f(x0)=?5?x0-log3x0=0, ? ? 当 0<x1<x0 时, ?1? f(x1)=?5?x1-log3x1>0, ? ? 如图所示.

答案 8.解析

> 由函数图象知,1<x0<2.

答案 9.解

1 1 ? ? ? (1)y=g(t)· f(t)=(80-2t)·20-2|t-10|? ? ?

=(40-t)(40-|t-10|) ??30+t??40-t?,0≤t<10, =? ??40-t??50-t?,10≤t≤20. (2)当 0≤t<10 时,y 的取值范围是[1 200,1 225], 在 t=5 时,y 取得最大值为 1 225;

当 10≤t≤20 时,y 的取值范围是[600,1 200], 在 t=20 时,y 取得最小值为 600. 总之,第 5 天日销售额 y 取得最大值为 1 225 元;第 20 天日销售额 y 取得最 小值为 600 元. 10.解 (1)∵函数 f(x)=x2-16x+q+3 的对称轴是 x=8,

∴f(x)在区间[-1,1]上是减函数. ?f?1?≤0, ∵ 函 数 在 区 间 [ - 1,1] 上 存 在 零 点 , 则 必 有 ? ?f?-1?≥0, ?1-16+q+3≤0, ? ∴-20≤q≤12. ?1+16+q+3≥0, (2)∵0≤t<10,f(x)在区间[0,8]上是减函数,在区间[8,10]上是增函数,且对 称轴是 x=8. ①当 0≤t≤6 时,在区间[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小, ∴f(t)-f(8)=12-t,即 t2-15t+52=0, 解得 t= 15- 17 15± 17 ,∴t= ; 2 2 即

②当 6<t≤8 时,在区间[t,10]上 f(10)最大,f(8)最小, ∴f(10)-f(8)=12-t,解得 t=8; ③当 8<t<10 时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(t)最小, ∴f(10)-f(t)=12-t,即 t2-17t+72=0, 解得 t=8 或 t=9 ,∴t=9. 综上可知,存在常数 t= 11.解 15- 17 , 8,9 满足条件. 2

(1)f′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2),

因为 x∈(-∞,+∞),f′(x)≥m, 即 3x2-9x+(6-m)≥0 恒成立, 3 所以 Δ=81-12(6-m)≤0,得 m≤-4, 3 即 m 的最大值为-4. (2)因为当 x<1 时,f′(x)>0;

当 1<x<2 时,f′(x)<0;当 x>2 时,f′(x)>0; 5 所以当 x=1 时,f(x)取极大值 f(1)=2-a; 当 x=2 时,f(x)取极小值 f(2)=2-a; 故当 f(2)>0 或 f(1)<0 时, 方程 f(x)=0 仅有一个实根. 5 解得 a<2 或 a>2.

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