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15.2乘法公式 平方差公式


15.2.1

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教学目标 知识与能力: 知识与能力:
熟记平方差公式,能说出平方差公式的结构特征, 熟记平方差公式,能说出平方差公式的结构特征,会 用平方差公式进行运算. 用平方差公式进行运算.?

过程与方法: 过程与方法:
通过创设问题情境,让学生在数学活动中建立平方差 通过创设问题情境, 公式模型,感受数学公式的意义和作用. 公式模型,感受数学公式的意义和作用. 培养学生的数学 建模能力,抽象思维能力; 建模能力,抽象思维能力;在运用公式解决实际问题的过 程中培养学生的化归思想,逆向思维, 程中培养学生的化归思想,逆向思维,从而提高学生灵活 运用公式的能力.? 运用公式的能力. ? 情感与态度: 情感与态度:

情感与态度:

让学生感受到数学既来源于生活实际, 让学生感受到数学既来源于生活实际,又是解决生活 中许多问题的工具. 从而促使学生热爱数学. 中许多问题的工具. 从而促使学生热爱数学. ?
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活动& 活动& 探索

填空: x + 2)( x + 3) = x 2 + __ x + __ 5 6 (

( x ? 2)( x + 3) = x 2 + __ x + (-6) __ 1 2 ( x + 2)( x ? 3) = x +(-1) x + (-6) __ __ 2 6 ( x ? 2)( x ? 3) = x + (-5) x + __ __
观察上面四个等式,你能发现什么规律? 观察上面四个等式,你能发现什么规律?

(a+b) ab (x + a)(x + b) = x + _____x + _____
2

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探索引入
1. 如图,边长为 厘米的大正方形中有一个边长为 厘米的小正 如图,边长为20厘米的大正方形中有一个边长为 厘米的大正方形中有一个边长为8厘米的小正
方形,请表示出图中阴影部分面积: 方形,请表示出图中阴影部分面积: 20 12 12
图(1) ) 图(1)的面积为: )的面积为:

20

12 8
图(2) )

20 × 20 ? 8 × 8 = 20 2 ? 82 = 336 图(2)的面积为: ( 20 + 8)(20 ? 8) = 336 )的面积为: 2 2 即: ( 20 + 8)(20 ? 8) = 20 ? 8 从上式中你能发现一些有趣的现象吗?再举几个数 从上式中你能发现一些有趣的现象吗? 试试.如果是一个数和一个字母 或两个都是字母呢? 如果是一个数和一个字母, 试试 如果是一个数和一个字母,或两个都是字母呢?它 www.zzstep.com 们的情况又如何? 们的情况又如何?

8

2. 计算下列各题: 计算下列各题:

(1) (x+2)(x-2)
解:原式

= 1 ? 9a (x + 2)(x – 2) = x? - 4 (1 + 3a)(1 – 3a) = 1 – 9a? (3) (x+5y)(x-5y) (4) (y+3z)(y-3z) 2 2 解:原式 = x ? 5 xy + 5 xy ? (5 y ) 解:原式 = y2 ?3yz+3yz?(3z)2 2 2 2 2 = x ? 25y = y ? 9z (x + 5y)(x – 5y) = x? - 25y? (y + 3z)(y – 3z) = y? - 9z?

= x ? 2x + 2x ? 2
2

2

解:原式 =1?3a + 3a ? (3a)2
2

(2) (1+3a)(1-3a)

= x ?4
2

3、观察以上等式的左边与右边,你发现了什么规 、观察以上等式的左边与右边, 能不能大胆猜测得出一个一般性的结论? 律?能不能大胆猜测得出一个一般性的结论? 规律: )左边是两个数的和乘以这两个数的差; 规律:1)左边是两个数的和乘以这两个数的差; www.zzstep.com 2)右边是这两个数的平方的差. )右边是这两个数的平方的差.

平方差公式
对于大家提出的猜想,我们一起来进行证明. 对于大家提出的猜想,我们一起来进行证明.
证明: 证明:(a+b)(a-b) 多项式乘法法则) = a ? ab+ ab? b (多项式乘法法则) 2 2 = a ? b (合并同类项) 合并同类项)
2 2

我们经历了由发现——猜测 猜测——证明的过程,最后得出 证明的过程, 我们经历了由发现 猜测 证明的过程 一个公式性的结论,我们将这个公式叫做平方差公式. 一个公式性的结论,我们将这个公式叫做平方差公式

即: (a+b)(a-b) = a ? b
2

2

两数和与这两数差的积,等于它们的平方差 两数和与这两数差的积,等于它们的平方差. 注:这里的两数可以是两个单项式也可以是两 等等. 个多项式等等.
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你能否从图形的角度对 它验证?

如图,边长为a的正方形。 在下边切去一个宽为b,长为(ab)的长方形,再在右边加去一 个宽为b,长为(a-b)的长方形 这时,红色和黄色区域的面 (a+b)(a-b) 积和是_____________. 蓝色区域和黄色区域面积相等吗? 相等 _______ 这时红色和蓝色区域面 2 2 积和是__________________. a ?b
b

a
b

a

b

因为黄色区域和蓝色区域面积 _____,所以_________________. 相等 红+黄=红+蓝 红 (a+b)(a-b)= a 2 ? b 2 即____________________
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初识平方差公式 ? (a+b)(a?b)=a2?b2
(1) 公式左边两个二项式必须是 相同两数的和与差相乘; 相同两数的和与差相乘; 左边两括号内有一项相同、 且左边两括号内有一项相同、 另一项符号相反[互为相反数( )]; 另一项符号相反[互为相反数(式)];

特征 结构

(2) 公式右边是这两个数的平方差; 公式右边是这两个数的平方差; 即右边是左边括号内的相同项的平方 右边是左边括号内的 括号内的相同项的平方 减去互为相反数项的平方. 减去互为相反数项的平方. (3) 公式中的 a和b 可以代表数、 可以代表数、 字母、单项式以及多项式. 字母、单项式以及多项式.

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下列各式是否具有(a+b)(a-b)的结构特征? 如果具备请指出公式中a,b所表示的代数式, 并写成(a+b)(a-b)的形式. (1)(5m+1)(5m+1) (2)(2-3x)(3x+2) (3)(-5x?+3)(-5x?-3) (4)(-3-5b)(-3-5b) 注意:公式中的a表示符号相同的代数式,b和 -b表示符号相反的代数式. www.zzstep.com

公式的应用
例1、用平方差公式计算下列各题 、 (1)

(5 + 6x)(5 ? 6x)

解:原式

= 5 ? (6 x ) 2 = 25 ? 36 x
2

2

分析:要利用平方差公式解题, 分析:要利用平方差公式解题, 必须找到是哪两个数的和与这两 必须找到是哪两个数的和与这两 个数的差的积结果为 结果为这两个数的 个数的差的积结果为这两个数的 b 平方差. 平方差

(1) (5+6x)(5-6x)

(2)

(x ? 2y)(x + 2y)
x ? (2 y ) 2 2 = x ? 4y
2 2
2

a ? b = 52 ? (6x)2 = 25 ? 36x2 b
2 2

a

解:原式 =

(2) (x-2y)(x+2y)

a ? b = x 2 ? (2 y ) 2 2 2 =www.zzstep.com x ? 4y
2

a

例2、用平方差公式计算下列各题 b 、 (1) (-m+n)(-m-n) (-m+n)(-m-n) 解:原式 = ( ? m ) 2 ? n 2

= m

2

? n2

a
2

(2) (-2x-5y)(5y-2x) 解:原式= (?2 x ? 5 y)(?2 x + 5 y)

= (?2 x) ? (5 y )
2

= 4 x 2 ? 25 y 2
前面两个例题可以直接套用平方差公式, 前面两个例题可以直接套用平方差公式 , 可是不 要“得意忘形”,现在让我们来看看下面一个例题. 得意忘形” 现在让我们来看看下面一个例题
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例3、下列计算对不对?如果不对,怎样改正? 、下列计算对不对?如果不对,怎样改正? 2 1) ( x + 6 )( x ? 6 ) = x ? 6 错
分析: 分析:最后结果应是两项的平方差

= x ? 6 = x 2 ? 36 ( x + 6)( x ? 6) 2) (2a2 +b2 )(2a2 ?b2 ) = 2a4 ?b4 错
2 2

分析: 当作一个整体, 分析:应将 2a 当作一个整体,用括号括起来再平方

2

(2a +b )(2a ?b ) = ( 2a ) ? (b ) = 4a ? b 3) (?5a ? 2b)(5a ? 2b) = (5a)2 ? (2b)2 = 25a 2 ? 4b2 错
2 2 2 2

2 2

2 2

4

4

分析: 分析:应先观察是哪两个数的和与这两个数的差

(?5a ? 2b)(5a ? 2b) = (?2b) 2 ? (5a ) 2 = 4b 2 ? 25a 2

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现在我们来看看平方差公式在混合运算中的运用:

例4、计算 、

? (m + n)(m ? n) + 3n

2

分析:在混合运算中, 分析 : 在混合运算中 , 观察是否有可以运用平方 差公式的项先进行计算, 将计算结果用括号括起来, 差公式的项先进行计算 , 将计算结果用括号括起来 , 避免符号出错. 避免符号出错 解:原式

= ?(m ? n ) + 3n (平方差公式) 平方差公式) 2 2 2 = ?m + n + 3n 去括号) (去括号) 2 2 = ? m + 4n (合并同类项) 合并同类项)
2 2 2
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练 习
1.(1)(3m+2n)(3m-2n) ( ) ) (2) (b+2a)(2a-b) ) (3)(-4a-1)(4a-1) ) (4) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(2x-3)

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(1)102×98 (2) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

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随堂练习 随堂练习 p30

1、计算: 计算:
(1)(a+2)(a?2); )(a (3)(?x+1)(?x?1) ; (3)( )(? (2)(3a +2b)(3a?2b) ; )(3 (4)(?4k+3)(?4k?3) . (4)( 3)(?

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接纠错练习

2 a

-

2 b

=(a+b)(a-b)
) ) )

逆向思维训练: 逆向思维训练: 11、 25-a? = (5+a)( 、 ) 2-m2 = ( 12、n 、 )( 2-9y2 =( 13、 4x ) ( 、

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纠 错 练 习
本题对公式的直接运用,以加深对公式本质特征的理解. 本题对公式的直接运用,以加深对公式本质特征的理解. 指出下列计算中的错误: 指出下列计算中的错误: (1) (1+2x)(1?2x)=1?2x2 (1+2x)(1?2x)=1? 2x 2x 2x (2) (2a22+b2)(2a2?b2)=2a4?b4 2a 2a2 2a (3) (3m+2n)(3m?2n)=3m2?2n2 (3m+2n)(3m? 2n 3m 2n 3m 2n 3m

第二数被平方时,未添括号。 第二数被平方时,未添括号。 第一 数被平方时,未添括号。 数被平方时,未添括号。 第一数与第二数被平方时, 第一数与第二数被平方时, 都未添括号。 都未添括号。

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运用平方差公式计算: 运用平方差公式计算: (?4a?1)(4a?1). (用两种方法) 1)(4a 1). 用两种方法)

拓 展 练 习

(?4a?1)(4a?1) 1)(4a 利用加法交换律, 利用加法交换律, = ( ?14a?1 ) ( 4a1 ?1a ) ? ?4a 4a +4 ? 变成公式标准形式。 法一 变成公式标准形式。 =(?1)2 ?(4a)2 = 1?16a2。 (4a 16a 提取两“ 号中的“ 提取两“?”号中的“?” 号 法二 , 变成公式标准形式。 变成公式标准形式。 注意 计算时千万别忘了 (?4a?1)(4a?1) 1)(4a (4a (4a = ?(4a+1) (4a?1) (4a = ?[ (4a)2 ?1] 16a = 1?16a2。

你提出的“?”号、添括号; 你提出的“ 添括号; 运用平方差公式时,要紧扣公式的特征, 运用平方差公式时,要紧扣公式的特征, www.zzstep.com 找出相等的“ 和符号相反的“ 找出相等的“项”和符号相反的“项”,然后应用公

拓 展 练 习
本题是公式的变式训练,以加深对公式本质特征的理解. 本题是公式的变式训练,以加深对公式本质特征的理解. 下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够, 下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够, 怎样计算? 怎样计算? (1) (a+b)(?a?b) ; (a+b)(? 不能) (不能)(第一个数不完全一样 )

(2) (a?b)(b?a) ; (3) (a+2b)(2b+a); (4) ?(a?b)(a+b) ; (5) (?2x+y)(y?2x).

(不能) 不能) (不能) 不能) (能) ?(a2 ?b2)= ?a2 + b2 ; (不能) 不能)
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跳一跳:

( x ? y )( x + y )( x + y ) (x4+y4)
2 2

解原式 = x ? y )( x + y ) (x4+y4) (
2 2 2 2

= x ? y ) (x4+y4) ( 8 8 =x ?y
4 4
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跳一跳: (2+1)(22+1)(24+1) 能否用平方差公式进行计算?如 能,还需创造什么条件?

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2-b2 (a+b)(a-b)=a

练习: 1、 (60-0.2)(60+0.2) 、 2、502*498 、
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2-b2 (a+b)(a-b)=a

3、(b+2a )(2a-b) 、 4、(-4a-1)(4a-1) 、 5、(3+2a)(-3+2a) 、 6、(-0.3x-1)(-0.3x+1) 、
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!!

2-(b)2 (a+b)(a-b)=(a)

7、[x+(y+1)] [x-(y+1)] 、 8、(a+b+c) (a+b-c) 、 9、(a+b+c) (a-b+c) ! 、
10、(x+3) (x-3) 、
2+9) (x 4+81) (x
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今天我们学习了什么? 今天我们学习了什么?
1、 平方差公式是特殊的多项式乘法 , 要 、 平方差公式是特殊的多项式乘法, 理解并掌握公式的结构特征. 理解并掌握公式的结构特征
1) 左边是两个数的和与这两个数的差的积 左边是两个数的和与这两个数的差的积. 2) 右边是这两个数的平方差 右边是这两个数的平方差. 用式子表示为: (a + b)(a – b) = a? - b? 用式子表示为: 注:这里的两数可以是两个单项式也可以是两 等等. 个多项式等等.

应用平方差公式 时要注意一些什么? 时要注意一些什么?
运用平方差公式时,要紧扣公式的特征, 运用平方差公式时,要紧扣公式的特征, 找出相等的“ 和符号相反的“ www.zzstep.com 找出相等的“项”和符号相反的“项”,然后应用 公式; 公式;

对于不符合平方差公式标准形式者, 对于不符合平方差公式标准形式者, 号中的“ 要利用加法交换律,或提取两“?”号中的“?”号, 要利用加法交换律,或提取两“ 变成公式标准形式后,再用公式。 变成公式标准形式后,再用公式。

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布置作业: 布置作业:
1.必做:课本P184第一题 2、4、6. 2.选做:①20082-2009×2007 ②(a+b+c)(a+b-c)

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