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一元二次不等式及其解法教案


§3.2 一元二次不等式及其解法 第 1 课时 【教学目标】 1.知识与技能:理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握图象法解一 元二次不等式的方法;培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力 和逻辑思维能力; 【教学重点】 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;一元二次不等式的解法。 【教学难点】 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的

关系。 【教学过程】 1.课题导入 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型: 教材 P84 互联网的收费问题 教师引导学生分析问题、解决问题,最后得到一元二次不等式模型:

x2 ? 5x ? 0 …………………………(1)
2.讲授新课 1)一元二次不等式的定义 象 x ? 5x ? 0 这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元
2

二次不等式

2)探究一元二次不等式 x2 ? 5x ? 0 的解集
怎样求不等式(1)的解集呢? 探究: (1)二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道:二次方程的有两个实数根: x1 ? 0, x2 ? 5 二次函数有两个零点: x1 ? 0, x2 ? 5 于是,我们得到:二次方程的根就是二次函数的零点。 (2)观察图象,获得解集 画出二次函数 y ? x ? 5x 的图象,如图,观察函数图象,可知:
2

当 x<0 ,或 x>5 时,函数图象位于 x 轴上方,此时, y>0, 即

x 2 ? 5x ? 0 ;
当 0<x<5 时,函数图象位于 x 轴下方,此时,y<0,即 x ? 5x ? 0 ;
2

所以,不等式 x ? 5x ? 0 的解集是 ?x | 0 ? x ? 5? ,从而解决了本节开始时提出的问题。
2

3)探究一般的一元二次不等式的解法
任 意 的 一 元 二 次 不 等 式 , 总 可 以 化 为 以 下 两 种 形 式 :
1

ax2 ? bx ? c ? 0,(a ? 0)或ax2 ? bx ? c ? 0,(a ? 0)
一般地,怎样确定一元二次不等式 ax ? bx ? c >0 与 ax ? bx ? c <0 的解集呢?
2 2

组织讨论: 从上面的例子出发,综合学生的意见,可以归纳出确定一元二次不等式的解集,关键要考虑 以下两点:
2 2 (1)抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴的相关位置的情况, 也就是一元二次方程 ax ? bx ? c =0

的根的情况
2 (2)抛物线 y ? ax ? bx ? c 的开口方向,也就是 a 的符号

总结讨论结果:
2 (l)抛物线 y ? ax ? bx ? c (a> 0)与 x 轴的相关位置,分为三种情况,这可以由一

元二次方程 ax ? bx ? c =0 的判别式 ? ? b ? 4ac 三种取值情况(Δ> 0,Δ=0,Δ<0)来确
2 2

定.因此,要分二种情况讨论 (2)a<0 可以转化为 a>0 分 Δ>O,Δ=0,Δ<0 三种情况,得到一元二次不等式 ax ? bx ? c >0 与 ax ? bx ? c <0 的解
2 2

集 一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的解集:
2 设相应的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 ,? ? b ? 4ac ,
2

则不等式的解的各种情况如下表:(让学生独立完成课本第 86 页的表格)

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

二次函数
y ? ax2 ? bx ? c

(a ? 0) 的图象 一元二次方程 有两相异实根
x1 , x2 ( x1 ? x2 )

有两相等实根
x1 ? x2 ? ? b 2a

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0

无实根

2

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R
ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集
[范例讲解] 例2 (课本第 87 页)求不等式 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的解集.
2
2

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

?

解:因为 ? ? 0 , 方程 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的解是 x1 ? x2 ? 所以,原不等式的解集是 ? x x ?

1 . 2

? ?

1? ? 2?

例 3 (课本第 88 页)解不等式 ? x 2 ? 2x ? 3 ? 0 .
解:整理,得 x ? 2 x ? 3 ? 0 .
2

因为 ? ? 0 , 方程 x 2 ? 2x ? 3 ? 0 无实数解, 所以不等式 x
2

? 2x ? 3 ? 0 的解集是 ? .

从而,原不等式的解集是 ? .

3.随堂练习
课本第 89 的练习 1(1) 、 (3) 、 (5) 、 (7)

4.课时小结
解一元二次不等式的步骤: ① 将二次项系数化为“+”:A= ax ? bx ? c >0(或<0)(a>0)
2

② 计算判别式 ? ,分析不等式的解的情况: ⅰ. ? >0 时,求根 x1 < x2 , ?

?若A ? 0,则 x ? x1或 ? x 2; ?若A ? 0,则 x1 ? x ? x 2 .

?若A ? 0,则x ? x0的一切实数; ? ⅱ. ? =0 时,求根 x1 = x2 = x0 , ?若A ? 0,则x ? ?; ?若A ? 0,则x ? x . 0 ?
ⅲ. ? <0 时,方程无解, ?

?若A ? 0,则 x ? R; ?若A ? 0,则 x ? ? .
3

③ 写出解集.

5.评价设计
课本第 89 页习题 3.2[A]组第 1 题 §3.2 一元二次不等式及其解法 第 2 课时 【教学目标】 知识与技能:巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系;进一步熟练解一元二 次不等式的解法; 【教学重点】 熟练掌握一元二次不等式的解法 【教学难点】 理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系 【教学过程】

1.课题导入
1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 2.一元二次不等式的解法步骤——课本第 86 页的表格

2.讲授新课
[范例讲解] 例 1 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系:

s?

1 1 2 x? x 20 180

在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于 39.5m,那么这辆汽车刹车前的速度是多 少?(精确到 0.01km/h) 解:设这辆汽车刹车前的速度至少为 x km/h,根据题意,我们得到 移项整理得: x ? 9 x ? 7110 ? 0
2

1 1 2 x? x ? 39.5 20 180

显然

? 0 ,方程 x2 ? 9 x ? 7110 ? 0 有两个实数根,即

x1 ? ?88.94, x2 ? 79.94 。所以不等式的解集为 ?x | x ? ?88.94, 或x ? 79.94?
在这个实际问题中,x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94km/h. 例 4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量 x (辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的关系:

y ? ?2x2 ? 220x
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6000 元以上,那么它在一个星期内大约 应该生产多少辆摩托车? 解:设在一个星期内大约应该生产 x 辆摩托车,根据题意,我们得到

?2 x2 ? 220 x ? 6000
移项整理,得

x2 ? 110 x ? 3000 ? 0
4

2 因为 ? 100 ? 0 ,所以方程 x ? 110 x ? 3000 ? 0 有两个实数根

x1 ? 50, x2 ? 60
由二次函数的图象,得不等式的解为:50<x<60 因为 x 只能取正整数,所以,当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在 51—59 辆之间时,这家工厂能够获得 6000 元以上的收益。

3.随堂练习 1
课本第 89 页练习 2 [补充例题] ▲ 应用一(一元二次不等式与一元二次方程的关系)
2 例:设不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? 1 ,求 a b ? 3}

▲ 应用二(一元二次不等式与二次函数的关系) 例:设 A ? {x | x2 ? 4 x ? 3 ? 0}, B ? {x | x2 ? 2 x ? a ? 8 ? 0} ,且 A ? B ,求 a 的取值 范围. 改:设 x ? 2 x ? a ? 8 ? 0 对于一切 x ? (1,3) 都成立,求 a 的范围.
2

改:若方程 x ? 2 x ? a ? 8 ? 0 有两个实根 x1 , x2 ,且 x1 ? 3 , x2 ? 1 ,求 a 的范围.
2

随堂练习 2
1 1 、 已 知 二 次 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0 的 解 集 为 {x | x ? 1 ,求关于 x 的不等式 3 或x ? 2}
2

cx2 ? bx? a ?0 的解集.
2、若关于 m 的不等式 mx ? (2m ? 1) x ? m ?1 ? 0 的解集为空集,求 m 的取值范围.
2

改 1:解集非空 改 2:解集为一切实数

4.课时小结
进一步熟练掌握一元二次不等式的解法 一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系

5.评价设计
课本第 89 页的习题 3.2[A]组第 3、5 题

5


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