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新余四中“元旦杯”数学竞赛高一试卷


2012 年新余四中“元旦杯”竞赛 高一数学试卷
命题人:黄良友 试卷满分:100 分 考试时间:120 分钟
8.若 427 ? 41000 ? 4n 为完全平方数,则正整数 n 满足 A. n ? 1972 B. n ? 1972 C. n ? 1973 ( ▲ ) D. n ? 1970

题号
一、选择题(本大题共 8 小

题,每小题 4 分,满分 32 分,每小题有且仅有一个正确的答案) x2 1.函数y= (x∈R, x≠1) 的递增区间是( ▲ ) x-1
A .[2,+∞) C.(-∞,0] B.(-∞,0] 或[2,+∞) D.(-∞,1- 2]或[ 2,+∞)

1

2

3

4

5

6

7

8

答案
二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,满分 30 分. 请将正确的答案填在横线上)
9.已知一个 4 元集合 S 的所有子集的元素和(空集的元素和认为是零)的总和等于 16040,则 S 的 元素之和等于 ▲ . 10. 3f(x-2005)+4f(2005―x)=5(x―2005), 若 对所有实数 x 成立, f(x)的解析式是 f(x) = 则 11.函数 f(x)= 2x2-3x+4+ x2-2x的最小值是 ▲ . ▲ .

2.方程 2002x+2003x+2004x=2005x x-2006的实根个数为( ▲ ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.至少 3 个 3.设集合 A ? {a ? 4 | a ? N }, B ? {b ? 29 | b ? N } ,若 A ? B ? P ,则 P 中元素个数为( ▲ )
2 2

A.0

B.1
x

C.2

D.至少 3 个

4 4. 已知函数 f ? x ? ? lg(5 ? x ? m) 的值域为 R ,则 m 的取值范围为 ( ▲ ) 5
A. ? 4, ?? ? B. ? 4, ?? ? C. ? ??, 4 ? D. ? ??, 4 ?

12.已知 y ? f ? x? 是定义在 R 上的函数,且对任意的 x ? R 都有 f ? x ? 1? ?

1? f ? x?

f ? x? ?1

成立,若

f ? 2 ? ? 1 ? 2 ,则 f ? 2008? 等于



.

? 2 ? x ? 1( x ? 0) 5.已知函数 f ( x ) ? ? 若方程 f ? x ? ? x ? a 有且只有两个不相等的实 ? f ( x ? 1)( x ? 0)
数根,则实数 a 的取值范围为 ( ▲ ) A. (??,1) B.

13.如图是一个长方体 ABCD-A1B1C1D1 截去几个角后的 多面体的三视图,在这个多面体中,AB=4,BC=6, CC1=3.则这个多面体的体积为 ▲ . 14. 已知二次函数 f ? x ? ? x 2 ? 2mx ? 1 , 若对于 ? 0,1? 上的任意三个实数 a, b, c , 函数值 f ? a ? , f ? b ? , f ? c ? 都能构成一个三角形的三边长,则满足条件的 m 的值可以是 9.________________________ ▲ 。 (写出一个即可)

? 0,1?

C.

? ??, ?1?

D.

? 0, ?? ?

6.设 S ? x2 ? 2 xy ? 2 y 2 ? 2 x ? 1,其中 x ? R, y ? R ,则 S 的最小值为( ▲ ) A. 1 B. ?1
3 C. ? 4

10._____________________________ 12._____________________________ 14._____________________________

D. 0

11._______________________ 13._______________________

? 1? ? 1? 3 2 ? 为实常数? 的 图 象 经 过 三 点 A ? 2, ? , B ? 3, ? , 7. 已 知 函 数 f ? x? ? x4 ? ax ? bx ? cx ?d , a, b, c d ? 3? ? 2?
? 1? C ? 4, ? ,则 f ?1? ? f ? 5? 的值等于 ? 4?

( ▲ ) C.
26 5

A.0

B.1

D.25

高一试卷

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1

17.已知函数 f ? x ? ?

三、 解答题(本大题共 3 小题,第 15、16 题各 12 分,第 17 题 14 分,满分 38 分.要求写出必要 的解答过程) 15.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点. 在棱 C1D1 上是否存在一点 F, 使 B1F//平面 A1BE?证明你的结论.

1 , 对于n ? N ? ,定义 1? x

f1 ? x ? ? f ? x ? , f n ?1 ? x ? ? f ? f n ? x ? ? ,偶函数 g ? x ? 的定义域为 ? x x ? 0? , ? ?

当 x ? 0 时, g ? x ? ? f 2009 ? x ? 。 (1)求 g ? x ? ; (2)若存在实数 a, b ? a ? b ? 使得该函数在 ? a, b ? 上的最大值为 ma ,最小值为 mb ,求非零实 数 m 的取值范围。

16.定义在正实数集上的函数 f ( x) 满足下列条件: ①存在常数 a 0 ? a ? 1 ,使得 f (a) ? 1;②对任意实数 m , 当 x ? R? 时,有 f ( xm ) ? mf ( x) . ( ) ⑴求证:对于任意正数 x, y , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ; ⑵证明: f ( x) 在正实数集上单调递减; ⑶若不等式 f ? log 2 ? 4 ? x ? ? 2 ? ? f ? log a (4 ? x)8 ? ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围. a

高一试卷

第 2 页 共 4 页

2

2012 年新余四中“元旦杯”竞赛 高一数学参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题有且仅有一个正确的答案)

? f ? t ? ? f ? a? ? ? ? f ? a ? ? ? ? 0 ,

即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? .? f ( x) 在正实数集上单调递减; ⑶解:令 loga (4 ? x) ? t ,原不等式化为 f ? t 2 ? 2 ? ? f ?8t ? ? 3 ,其中 t ? 0 .
? ? f ( x) ? f ( y) ? f ( x) ? f ( y ?1 ) ? f ? ? x? ? 且 f (a) ? 1(0 ? a ? 1) , y?

题号 答案

1 B

2 B

3 C

4 D

5 A

6 B

7 D

8 B

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,满分 30 分. 请将正确的答案填在横线上)
9.__ 2005____ 11.______2_ ___ 13._______ 48____ ___ 10._________f(x)=-5x_______ 12.__________ 14.________ ? 0,

? t2 ? 2 ? 3 不等式可进一步化为 f ? ? ? f ?a ? , 8t ? ?

2 ? 1 ________
2? ? 内的任一实数_______ 2 ? ?

又由于单调递减,?

? ? ?

t2 ? 2 ? a3 对于 t ? 0 恒成立. 8t

2 ? ? t2 ? 2 1 ?? ?? t ? 2 ? ? 2 2 ? ? 1 , 而 ? ? ? 2 2 8t 8 ?? t? ? ? ?

三、解答题(本大题共 4 小题,第 15、16 题各 12 分,第 17 题 14 分,满分 44 分.要求写出必要 的解答过程) 15.在棱 C1D 上存在点 F,使 B1F//平面 A1BE. 事实上,如图所示,分别取 C1D1 和 CD 的中点为 F,G,连结 EG,BG,CD1,FG.因 A1D1//B1C1//BC,且 A1D1=BC,所以四 边形 A1BCD1 是平行四边形,因此,D1C//A1B.又 E,G 分别为 D1D,CD 的中点,所以 EG//D1C,从而 EG//A1B,这说明 A1, B,G,E,共面,所以 BG ? 平面 A1BE. 因四边形 C1CDD1 与 B1BCC1 皆为正方形,F,G 分别为 C1D1 和 CD 的中点,所以 FG//C1C//B1B,且 FG=C1C=B1B,因此四 边形 B1BGF 是平行四边形, 所以 B1F//BG, B1F ? 平面 A1BE, 而 BG ? 平面 A1BE,故 B1F//平面 A1BE.
16.⑴证明: x, y 均为正数, 0 ? a ? 1 , 且 根据指数函数性质可知, 总有实数 m, n 使得 x ? a , y ? a , ?
m n

? t2 ? 2 ? 1 且当 t ? 2 时 ? . ? ? ? 8t ?min 2 2

2 2 17.解: (1)因为 1 1 x ?1 1 f1 ? x ? ? f ? x ? ? , f 2 ? x ? ? f ? f1 ? x ? ? ? ? , f3 ? x ? ? f ? f 2 ? x ?? ? ?x ? ? 1 x ?1 1? x x 1? 1? 1? x x

? a3 ?

1

,又 0 ? a ? 1 ,终得 0 ? a ?

2 . 2

f 4 ?x ? ? f ? f 3 ?x ?? ?

1 , 所以迭代函数以3为周期,f 1? x
?x ? 1 1 ? 1? , ?x x

2009

?x ? ? f 2 ?x ? ? x ? 1
x

设 x ? 0, 则 ? x ? 0, g ? x ? ? g ? ? x ? ?
? 1 ?1? x , x ? 0 ? 所以 g ? x ? ? ? ?1? 1 , x ? 0 ? x ? 图象如右:

于是 f ?xy? ? f a a
m

?

n

? ? f ?a ? ? ?m ? n? f ?a? ? m ? n ,
m? n ?

又 f ? x ? ? f ? y ? ? f (a m ) ? f (a n ) ? mf (a) ? nf (a) ? m ? n , ? f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ⑵证明:任设 x1 , x2 ? R , x1 ? x2 ,可令 x1 ? x 2 t ?t ? 1? , t ? a? (? ? 0) . 则由⑴知 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x2 t ? ? f ?x2 ? ? f ?x2 ? ? f ?t ? ? f ?x2 ?

高一试卷

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3

(2)因为 a ? b, ma ? mb ? 0 ? m ? 0, a ? b ? 0 ; 又因为 mb ? 0 ,所以 ? 1 ? [a, b] (否则 m ? 0, mb ? ma ? 0 ,矛盾)
? 1 ?1 ? a ? ma 1 ? 当 a ? b ? ?1, 则f ? x ? ? 1 ? 在(??, ?1]上是减函数? 由题意 ? x ?1 ? 1 ? mb ? b ? 1 1 1 所以 a, b是方程1 ? ? mx的两不同实根, ? x2 ? x ? ? 0在? ??, ?1? 有两个不同实根, x m m 1 4 ? ?? ? m2 ? m ? 0 ? 1 1 1 ? ? g ? ?1? ? 1 ? ? ? 0 ? ? ? m ? 0 m m 4 ? ? 1 ? 2m ? ?1 ?
1 ? ??1 ? a ? mb 1 ? 当 ? 1 ? a ? b ? 0时, 则f ? x ? ? ?1 ? 在(?1, 0)上是增函数,由题意 ? x ??1 ? 1 ? ma ? b ? ? a ? b不合.

1 综上所述 ? ? m ? 0 。 4

高一试卷

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