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对数与对数函数复习教案


对数函数 ① 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常 用对数;了解对数在简化运算中的作用. ② 理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性,掌握函数图像通过的特殊点. ③ 知道对数函数是一类重要的函数模型; ④ 了解指数函数 与对数函数 互为反函数( ) 一 对数 1 定义:若 ab=N ( ) ,则 b 叫做以 a 为底 N 的对数。 记做 b=

logaN y= logax(x>0 且 x 不等于 1) 2 性质:几个恒等式(M,N,a,b 都是正数,且 a,b 不等于 1) 1 a logaN =N 2 logaaN=N logaa=N 3 logaN= logbN/ logba(换底公式) 4 logab=1/ logba 5 logambn= (n/m)logab 3 运算法则: ( ,M>0,N>0) ; 1 loga(mn)= logaM +logaN; 2 logaM/N= logaM -logaN 3 logaMN=n logaM 4 log()=(n/m)logab 4 常用对数,自然对数:将以 10 为底的对数叫常用对数,记作 lgN 以 e=2.71828……为底的对数叫自然对数,记作 ln N 5 零和负数没有对数,且 loga1=0,logaa=1 6 图像(略) 7 过定点(1,0) 。 a>1 时 单调递增 0<a<1 时 单调递减

二 反函数 1 概念:函数 y=f(x)的定义域为 A,值域为 c,由 y=f(x)得 x=φ (y) 函数 y=φ (x) 是 y=f(x)的反函数。记作 y=f-1(x) 2 求反函数的步骤:1 由 y=f(x)解出 x=f-1(y) 2 将 x=f-1(y)中的 x 与 y 互换位置,得 y=f-1(x) 3 由 y=f(x)得值域,确定 y=f-1(x)的定义域 4 互为反函数的图像关于直线 y=x 对称 5 同底的指数函数与对数函数互为反函数 三 对数函数的性质在比较对数值大小中的应用 1 比较同底数的两个对数值的大小。 例如:比较 logaf(x)与 logag(x)的大小 其中 1 若 a>1,f(x)>0,g(x)>0, 则 logaf(x)> logag(x)等价于 f(x)> g(x)>0 2 若 0<a<1,f(x)>0,g(x)>0, 则 logaf(x)> logag(x)等价于 0 <f(x)<g(x) 2 比较两个同真数的对数值的大小 例如:比较 logaf(x)与 logbf(x)的大小。 其中 a> b>0 且 a,b 均不等于 1 1 若 a>b>1, 当 f(x)>1 时,logbf(x)>logaf(x) 当 f(x)属于(0,1)时,logaf(x)>logbf(x) 2 若 1>a>b>0;当 f(x)>1 时 logbf(x)>logaf(x)

当 0 <f(x)<1 时 logaf(x)>logbf(x) 3 若 a>1>b>0,当 f(x)>1 时 logaf(x)>0>logbf(x) 当 0 <f(x)<1 时,则 logaf(x)<0<logbf(x) 图像 ( ) ( )

四 求与对数函数相关的复合函数的单调区间 求复合函数 y=f[g(x)] 的单调区间的步骤 1 确定定义域 2 将复合函数分解成基本初等函数:y=f(u) ,u=g(x) 3 分别确定这两个函数的单调区间 4 若这两个函数同增或同减,则 y=f[g(x)]为增函数 若一增一减,则 y=f[g(x)]为减函数。 即同增异减 五 对数方程的类型及解法 1 对数方程:在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程 2 解对数方程的基本思路是化为代数方程,常见的可解类型有 1 形如 logaf(x)=logaf(x) ( )的方程,化成 f(x)=g(x)求解 2 形如 F(logax)=0 的方程,用换元法 3 形如 logf(x)g(x)=c 的方程 化成指数式[f(x)]c= g(x)求解 3 在将对数方程化成代数方程的过程中,未知数范围扩大或缩小就容易产生增,减根,因 此,要注意验根 4 含参数的指数,对数方程在求解时要注意将原方程等价转化为某个混合组,并在等价转 化的原则下简化求解,对参数进行分类讨论


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