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高二数学正弦定理、余弦定理的应用


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1.1.3 正弦定理、余弦定理的应用 教学目的:1 2 3 4 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式 教学重点:利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向 教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系
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1 启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时,要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与 所证结论的联系,并注意特殊正、余弦关系的应用,比如互补角的正弦值相等,互补角的余
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2 引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断,重在发挥正、余弦定理的边角互 换作用 教学过程:一、复习引入:
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a b c ? ? ? 2R 正弦定理: sin A sin B sin C
余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A, ?
2 2 2

cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B, ?

cos B ?

c2 ? a2 ? b2 2ca cosC ? a2 ? b2 ? c2 2ab

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC , ?

二、讲解范例:例 1 在任一△ABC 中求证:

a(sin B ? sin C ) ? b(sin C ? sin A) ? c(sin A ? sin B) ? 0
证:左边= 2R sin A(sin B ? sin C ) ? 2R sin B(sin C ? sin A) ? 2R sin C (sin A ? sin B) = 2R[sin A sin B ? sin A sin C ? sin B sin C ? sin B sin A ? sin C sin A ? sin C sin B] =0=右边 例 2 在△ABC 中,已知 a ?

3 , b ? 2 ,B=45? 求 A、C 及 c

a sin B 3 sin 45? 3 sin A ? ? ? b 2 2 解一:由正弦定理得:
∵B=45?<90? 即 b<a ∴A=60?或 120?

当 A=60?时 C=75?

c?

b sin C 2 sin 75? 6? 2 ? ? ? sin B 2 sin 45 b sin C 2 sin 15? 6? 2 ? ? ? sin B 2 sin 45
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当 A=120?时 C=15?

c?

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解二:设 c=x 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

将已知条件代入,整理: x ? 6 x ? 1 ? 0
2

x?
解之:

6? 2 2
2?(

c?


6? 2 2 时

b2 ? c2 ? a2 cos A ? ? 2bc

6? 2 2 ) ?3 1? 3 ? 2 ? ? 6? 2 2( 3 ? 1) 2 2? 2 ? 2

从而 A=60? ,C=75?

c?


6? 2 2 时同理可求得:A=120? ,C=15?
2

例 3 在△ABC 中,BC=a, AC=b, a, b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根,且 2cos(A+B)=1 求(1)角 C 的度数 (2)AB 的长度 (3)△ABC 的面积

1 解: (1)cosC=cos[??(A+B)]=?cos(A+B)=? 2

∴C=120?

?a ? b ? 2 3 ? a?b ? 2 (2)由题设: ?
∴AB2=AC2+BC2?2AC?BC?osC ? a ? b ? 2ab cos120
2 2 ?

2 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ? (a ? b) ? ab ? (2 3) ? 2 ? 10 即 AB= 10

1 1 1 3 3 absin C ? absin 120? ? ? 2 ? ? 2 2 2 2 (3)S△ABC= 2
例 4 如图, 在四边形 ABCD 中, 已知 AD?CD, AD=10, AB=14, ?BDA=60?, ?BCD=135? 求 BC 的长 解:在△ABD 中,设 BD=x 则 BA ? BD ? AD ? 2BD ? AD ? cos?BDA
2 2 2

即 14 ? x ? 10 ? 2 ? 10x ? cos60
2 2 2

?

整 理 得 : x ? 10x ? 96 ? 0
2

解 之 : x1 ? 16

x2 ? ?6 (舍去)
BC BD ? 由余弦定理: sin ?CDB sin ?BCD
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BC ?


16 ? sin 30 ? ? 8 2 ? sin 135

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例 5 △ABC 中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角,1?求最大角 ; 2?求以此最大角为内角,夹此角两边之和为 4 的平行四边形的最大面积
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解:1?设三边 a ? k ? 1, b ? k , c ? k ? 1

k ? N ?且k ? 1

cosC ?
∵C 为钝角 ∴ ∵k ? N
?

a2 ? b2 ? c2 k ?4 ? ?0 2ac 2(k ? 1) 解得 1 ? k ? 4
但 k ? 2 时不能构成三角形应舍去

∴k ? 2或 3

1 a ? 2, b ? 3, c ? 4, cos C ? ? , C ? 109 ? 4 当 k ? 3时
2?设夹 C 角的两边为

x, y

x? y ?4

? xy sin C ? x(4 ? x) ?
S

15 15 ? ? ( ? x 2 ? 4 x) 4 4



x ? 2 时 S 最大= 15
例 6 在△ABC 中,AB=5,AC=3,D 为 BC 中点,且 AD=4,求 BC 边长 分析:此题所给题设条件只有边长,应考虑在假设 BC 为x后,建立关于x的方程 而正弦定 理涉及到两个角,故不可用 此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用 因为 D 为 BC
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x 中点,所以 BD、DC 可表示为 2 ,然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程 x 解:设 BC 边为x,则由 D 为 BC 中点,可得 BD=DC= 2 ,

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x 4 2 ? ( ) 2 ? 52 AD ? BD ? AB 2 ? , x 2 ? AD ? BD 2? 4? 2 在△ADB 中,cosADB=
2 2 2

AD 2 ? DC 2 ? AC 2 ? 2 ? AD ? DC
在△ADC 中,cosADC= 又∠ADB+∠ADC=180° ∴cosADB=cos(180°-∠ADC)=-cosADC

x 4 2 ? ( ) 2 ? 32 2 . x 2? 4? 2

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x x 4 2 ? ( ) 2 ? 52 4 2 ? ( ) 2 ? 32 2 2 ?? x x 2? 4? 2? 4? 2 2 ∴
解得,x=2 , 所以,BC 边长为 2 评述: 此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能, 体会互补角的余弦值互为相反数这一 性质的应用,并注意总结这一性质的适用题型 另外,对于本节的例 2,也可考虑上述性质的应用来求解 sinA,思路如下:
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AB BD 5 ? ? DC 3 , 由三角形内角平分线性质可得 AC 设 BD=5k, DC=3k, 则由互补角∠ADC、
∠ADB 的余弦值互为相反数建立方程,求出 BC 后,再结合余弦定理求出 cosA,再由同角 平方关系求出 sinA 三、课堂练习: 1 半径为 1 的圆内接三角形的面积为 0.25,求此三角形三边长的乘积
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1 ac sin B 解:设△ABC 三边为 a,b,c 则S△ABC= 2
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S ?ABC ac sin B sin B ? ? 2abc 2b ∴ abc b ? 2R 又 sin B ,其中 R 为三角形外接圆半径 S ?ABC 1 ? 4 R , ∴abc=4RS△ABC=4×1×0.25=1 ∴ abc
所以三角形三边长的乘积为 1 评述:由于题设条件有三角形外接圆半径,故联想正弦定理:
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a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C ,其中 R 为三角形外接圆半径,与含有正弦的三角形面积公式 1 ac sin B 2 S△ABC= 发生联系,对 abc 进行整体求解
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2 在△ABC 中,已知角 B=45°,D 是 BC 边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,求 AB 解:在△ADC 中,
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AC 2 ? DC 2 ? AD2 7 2 ? 32 ? 5 2 11 ? ? , 2 ? AC ? DC 2?7?3 14 cosC=

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5 3 又 0<C<180°,∴sinC= 14
AC AB ? 在△ABC 中, sin B sin C

sin C 5 3 5 6 AC ? ? 2 ?7 ? . 14 2 ∴AB= sin B

评述:此题在求解过程中,先用余弦定理求角,再用正弦定理求边,要求学生注意正、余弦 定理的综合运用
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3 5 3 在△ABC 中,已知 cosA= 5 ,sinB= 13 ,求 cosC 的值
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3 2 解:∵cosA= 5 < 2 =cos45°,0<A<π
5 1 ∵sinB= 13 < 2 =sin30°,0<B<π

4 ∴45°<A<90°, ∴sinA= 5

∴0°<B<30°或 150°<B<180°

若 B>150°,则 B+A>180°与题意不符

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12 ∴0°<B<30° cosB= 13

3 12 4 5 16 ? ? ? ? ∴cos(A+B)=cosA·cosB-sinA·sinB= 5 13 5 13 65
又 C=180°-(A+B)
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16 ∴cosC=cos[180°-(A+B) ]=-cos(A+B)=- 65

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评述:此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时,应根据已知的三角函数值具体确定 角的范围,以便对正负进行取舍,在确定角的范围时,通常是与已知角接近的特殊角的三角 函数值进行比较 四、小结 通过本节学习,我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质,综合运用 了正、余弦定理求解三角形的有关问题,要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结,不 断提高三角形问题的求解能力 五、课后作业: 课后记: 1 正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理,若将正弦 定理代入得:sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA 这是只含有三角形三个角的一种关系式,利用这一定理解题,简捷明快,举例:
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[例 1]在△ABC 中,已知 sin2B-sin2C-sin2A= 3 sinAsinC,求 B 的度数 解:由定理得 sin2B=sin2A+sin2C-2sinAsinCcosB ∴-2sinAsinCcosB= 3 sinAsinC

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∵sinAsinC≠0

3 cosΒ =- 2

∴B=150°

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[例 2]求 sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值 解:原式=sin210°+sin250°+sin10°sin50° 在 sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA,令 B=10°,C=50°,则 A=120° sin2120°=sin210°+sin250°-2sin10°sin50°cos120°
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3 3 =sin210°+sin250°+sin10°sin50°=( 2 )2= 4

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[例 3]在△ABC 中,已知 2cosBsinC=sinA,试判定△ABC 的形状 解:在原等式两边同乘以 sinA 得:2cosBsinAsinC=sin2A,由定理得 sin2A+sin2C-sin2Β =sin2A, ∴sin2C=sin2B B=C 故△ABC 是等腰三角形 2 一题多证:[例 4]在△ABC 中已知 a=2bcosC,求证:△ABC 为等腰三角形 证法一: 欲证△ABC 为等腰三角形 可证明其中有两角相等, 因而在已知条件中化去边元素,
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b sin A 使只剩含角的三角函数 由正弦定理得 a= sin B
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b sin A ∴2bcosC= sin B ,即 2cosC·sinB=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
∴sinBcosC-cosBsinC=0 即 sin(B-C)=0 B-C=nπ (n∈Z) ∵B、C B=C,即三角形为等腰三角形 证法二:根据射影定理,有 a=bcosC+ccosB,
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又∵a=2bcosC

2bcosC=bcosC+ccosB

b cos B ? . bcosC=ccosB,即 c cos C

b sin B sin B cos B ? . ? , 又∵ c sin C ∴ sin C cos C 即 tanB=tanC
∵B、C 在△ABC B=C ABC 为等腰三角形
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a2 ? b2 ? c2 a a2 ? b2 ? c2 a 及 cosC ? , ? , 2ba 2b ∴ 2ab 2b 证法三:∵cosC=
化简后得 b2=c2
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b=c ∴△ABC 是等腰三角形

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