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老师 第一节 曲线与方程


第一节曲线与方程

求轨迹方程的常用方法
1.直接法:根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利用解析几何有关 公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简,即把这 种关系“翻译”成含 x,y 的等式就得到曲线的轨迹方程. 2.定义法:若动点轨迹满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基 本量,求出动点的轨迹方程. 3.相关点法:有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着 另一动点(称之为相关点)而运动的,如果相关点所满足的条件是明显的,或是可 分析的, 这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即 可求得动点的轨迹方程. 4.参数法:动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式,也没有明显的相关 点, 但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与某一个量或某两个变量 (角、斜率、比值、截距等)有关,可用参数法求出轨迹方程.

注意: 1.求轨迹方程时,要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系.检验可从以 下两个方面进行: 一是方程的化简是否是同解变形;二是是否符合题目的实际意 义. 2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求,求轨迹时,应先求轨迹方程,然后根 据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.

典例剖析:

变 式:

总结:
(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程,然后进行化简. (2)运用直接法应注意的问题 ①在用直接法求轨迹方程时,在化简的过程中,有时破坏了方程的同解性,此时 就要补上遗漏的点或删除多余的点,这是不能忽视的. ②若方程的化简过程是恒等变形,则最后的验证可以省略.

变 式:

总结:(1)求轨迹方程时,若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双 曲线、抛物线的定义,则可直接根据定义先确定轨迹类型,再写出其方程. (2)关键:理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键. (3)利用定义法求轨迹方程时,还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、 抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量 x 或 y 进行限制.

沙场练兵:
1.设λ>0,点 A 的坐标为(1,1),点 B 在抛物线 y=x2 上运动,点 Q 满足→ BQ=

λ→ QA,经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M,点 P 满足→ QM=λ→ MP,求点 P
的轨迹方程. 2.已知三点 0,0 ( ??? ? ???? O( ???? ? ), ??? ? A??? ?-2,1),B(2,1),曲线 C 上任意一点 M(x,y)满 足 MA ? MB ? OM ? (OA ? OB) ? 2 . (1) 求曲线 C 的方程; (2)动点 Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l 向:是否存在定点 P(0,t)(t<0),使得 l 与 PA,PB 都不相交,交点分别 为 D,E,且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数?若存在,求 t 的值。若不存在, 说明理由。


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