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空间向量及其坐标运算教案


数学是一种理性的精神,使人类的思维得以运用到最完善的程度----克莱因(美国数学家)

3.1.5
【学习目标】

空间向量运算的坐标表示
乔书沛

龙泉一中高 2011 级数学组

1、 掌握空间向量加、减法和数乘的坐标表示; 2、 掌握数量积的坐标表示; 3、 能够应用空间向量

的坐标表示求向量的模及夹角。

【学习重点】
空间向量加减法和数乘的坐标表示。

【学习难点】
应用向量的坐标表示求向量长度及夹角。

【学习过程】 一、学习准备
1:复习填空:平面向量的直角坐标运算 已知 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x 2 , y 2 )
? ? a ? b =___________________ (1)
? ?

则有:
? ? a ? b =___________________ (2)
?? ? ? a ?b =______________或___________ (4)

(3) ? a = ___________________

?

二:学习探究
1:类比填空,空间向量的坐标运算 已知
? a ? ( x1 , y 1 , z 1 ) ? b ? ( x2 , y2 , z2 )



则有:
? ? a ? b =___________________ (2)
?? ? ? a ?b =______________ (4)

? ? a ? b =___________________ (1)

(3) ? a = ___________________ 试一试:

?

或_ __

已知 a =(-3,2,5) b =(1,5,-1) , ,求(1) 3a ? b ; (2) a ? b

?

?

?? ?

?

?

?

2:距离公式的探究: 在空间直角坐标系中,已知
A ? ( x1 , y 1 , z 1 )



B ? ( x2 , y2 , z2 )

则 A B ? ___________________

??? ?

即:向量的坐标等于向量终点坐标减去起点坐标。

数学是一种理性的精神,使人类的思维得以运用到最完善的程度----克莱因(美国数学家)

??? ? AB

=_____________________________= d
??? ? OA ?

AB

,这就是空间两点间的距离公式。

特别地,

___________________

归纳总结:用向量的思想和方法推出两点间的距离公式。 试一试: 求以下两点的距离: (1) A(1,1,0) B(1,1,1) ,

(2) C(-3,1,5) ,D(0,-2,3)

3:两空间向量夹角公式的探究: 则有:
? ? co s a , b ? ___________________

已知

? a ? ( x1 , y 1 , z 1 )



? b ? ( x2 , y2 , z2 )

思考:当 0< co s a , b <1 时,夹角 a , b 的范围____________ 当-1< co s a , b <0 时,夹角 a , b 的范围____________ 当 co s a , b =0 时,夹角 a , b 等于____________ 归纳总结:通过与平面向量类比,仔细体会公式推导过程,近而和余弦函数的值域建立联系,得到空 间两向量的夹角范围。 试一试:求下面一组向量的夹角的余弦:
, , ,) ) ( ? ,1 (1) a ? 2 3 3 0( 、 ? ? b?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

4:向量平行(共线)与垂直条件的探究 已知
? a ? ( x1 , y 1 , z 1 )



? b ? ( x2 , y2 , z2 )

则有:

? ? ? ? b ? 0 则 a / / b ? ____________ ? ___________________ (1)若

(2) a ⊥ b ? ______________________ ? ___________________ 归纳总结:根据平行与垂直的性质,通过计算得到具体的数量之间的关系。

?

?

数学是一种理性的精神,使人类的思维得以运用到最完善的程度----克莱因(美国数学家)

三、典例解析:
例 1、如图,在正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中,点 E 1 , F1 分别是 A1 B1 , C 1 D1 的一个四等分点, 求 B E 1 与 F1 D 所成角的余弦值;
D1 F1 C1

思路启迪:根据图形特点建立空间直角坐标系,再利用空间向量
A1 E1 B1

所成角的余弦公式。 解:
D C

A

B

解题反思:利用空间向量解题一般可以分为哪些步骤?对于任意向量 a 与向量 b 它们所成的夹角与它 们所在直线的夹角有什么关系?

?

?

变式练习: 在正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中 E,F 分别是 B B1 , D 1 B1 的中点,求证:EF⊥ D A1 。 证明:

【学习反思】
本节课你都学了哪些知识点?你学到了哪些思想和方法?

数学是一种理性的精神,使人类的思维得以运用到最完善的程度----克莱因(美国数学家)

【学习评价】
自我测评 1、向量 a =( ? 1, 2, 3 ) ,则向量 a 的模是( A 14
? ?

?

?

) D
11

B

14
2

C 11
?? ? ?

2、已知 a ? ( x , 2, 2 ), b ? (2, ? x , 5), f ( x ) ? a ?b . 则 f ( x ) 的表达式为( A、 f ( x ) ? 2 x ? 2 x ? 1 0
2 2



B、 f ( x ) ? 2 x ? 2 x ? 1 0
2 2

C、 f ( x ) ? ? 2 x ? 2 x ? 1 0 D、 f ( x ) ? ? 2 x ? 2 x ? 1 0 3、若 a ? ( 2 x ,1, 3), b ? (1, ? 2 y , 9 ) ,如果 a , b 为共线向量,则( A、 x=1, y=1 B、 x ?
1 2 ,y ? ? 1 2
? ? ?? ?


3 2

C、 x ?

1 6

,y ? ?

D、 x ? ? )

1 6

,y ?

3 2

4、已知 A (3, 0, ? 1), B (0, ? 2, 0), C (2, 4, ? 2) ,则三角形 A B C 是( A、等边三角形 B、 等腰三角形 C、 直角三角形

D、以上都不对 )

5、在长方体 A B C D ? A ? B ?C ?D ? 中, A B ? 2, B C ? 1, D D ? ? 3 ,则 A C 与 B D ? 所成角的余弦值(
3 70 70
3 70 70

A、 0

B、

C、 ?

D、

70 70

数学是一种理性的精神,使人类的思维得以运用到最完善的程度----克莱因(美国数学家)

1.基本知识: (3)空间向量的模的公式与两点间的距离公式; (2)两个向量的夹角公式; (1)空间向量加法、减法、数乘及数量积的坐标表示。 2.思想方法: 用向量计算或证明几何问题时,可以先建立直角坐标系,然后把向量、点用坐标表示,借助向量的直角 坐标运算法则进行计算或证明。


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