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3.1.1 实数指数幂及其运算


第三章 基本初等函数(Ⅰ)
3.1 指数与指数函数

3.1.1 实数指数幂及其运算

问题1 :据国务院发展研究中心2000年发表的
《未来20年我国发展前景分析》判断,未来20年, 我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到 7.3%. 那么,在2001~2020年中,各年的GDP可望为2000 年的多少倍?

正整数指数幂1.073x的含义是什么? 它具有哪些运算性质?

问题2:当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按
确定的规律衰减,大约每经过5 730年衰减为原来的

一半. 根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量
P与死亡年数t之间的关系
1 5 730 P?( ) (*) 2
t

考古学家根据(*)式可以知道,生物死亡t年后, 体内的碳14含量P的值.
000 10 000 100 000 1 6 1 1 ( ) 5 730, ( ) 5 730 , ( ) 5 730 2 2 2

的意义是什么?

1.掌握n次方根、根式、分数指数幂的概念,理解 根式、分数指数幂的意义.(重点) 2.掌握根式、分数指数幂的运算,掌握幂的运算 性质,会进行有理数范围内的幂的运算.(难点)

3.了解无理指数幂的意义.

1.整数指数 在初中我们学习了正整数指数幂:一个数a的n次

幂等于n个a的连乘积,即:
指数 幂

a ? a ? a ?…? a
n

底数

n个

运算法则: () 1 a ?a ? a
m n
m n

m?n

;

()( 2 a )? a ; m m?n a (m ? n,a ? 0 ) ; () 3 n ? a a m m m ()( 4 ab ) ?a b .
如果将运算法则(3)中的“m>n”这一 条件去掉,则正整指数幂将推广到什么?

mn

例:

0 a 3? 3 ? a , ? a a3

3

a 3? 5 ?2 ? a ?a , 5 a

3

正整指数幂推广到整数指数幂

规定: a 0 ? 1(a ? 0), a
?n

1 ? n(a ? 0,n ? N?). a

整数指数幂的运算法则:
当m ,n ∈ Z ,a ≠ 0时,

() 1 a m a n ? a m ? n;
n (2)(a m) ? a mn;

am m?n (3) n ?a ; a m (4)(ab) ?a m b m .

2.分数指数
(1)方根 定义:如果存在实数x,使得xn=a(a∈R, n>1,n∈N+),则x叫做a的n次方根. 求a的n次方根, 叫做把a开n次方,称作开方运算. n为奇数, x ? a,
n

xn ? a
a>0, n为偶数. x ? ? a,
n

让我们认识一下这个式子: 根指数 根式
探究:
n的n次方根,等式 n n 表示 a a ? a 一定成立吗? a 如果不一定成立,那么 n a n 等于什么?
n n

n
a
被开方数

?a,n为奇数, ? ? n n a =? ? ?a,a ≥ 0, n为偶数. ?|a|= ? ? ? ?-a,a < 0. ?

(2)分数指数幂 求下列各式的值:(其中a>0) (1)
(2) (3)
4 5

a 10 ;
a8 ; a 12 .

(1)5 a10 = 5 (a2 )5 = a2 = a .

10 5

(2) a = (a ) = a = a .

8

4 2

4

8 2

(3) a = (a ) = a = a .

4

12

4

3 4

3

12 4

观察以上式子,并总结出规律: 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式 可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式). 根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也 可以写成分数指数幂的形式?
即:a = a (a > 0,n ∈N+ ,n >1)
n m m n

性质:正分数指数幂可定义为:
m a = a (a > 0,m,n ∈ N +,且 为既约分数) n
n m m n

负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同,
即:a
m n

=

1 a

m (a > 0,n,m ∈ N ,且 为既约分数) + m n n

规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂
无意义.

提醒:规定好分数指数幂后,根式与分数指数幂
是可以互换的,分数指数幂只是根式的一种新的
m n

写法, 即:a

=

1

由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有 理指数幂是有意义的,整数指数幂的运算性质,可 以推广到有理指数幂,即:
aα aβ = aα +β(a > 0, α, β ∈ Q)
β (aα ) = aα β(a > 0, α, β ∈ Q) α (ab) = aα bα(a > 0,b > 0, α ∈ Q)

a

m (a > 0,n,m ∈ N + ,且 为既约分数) m n n

(3)无理指数幂

探究:
在前面的学习中,我们已经把指数由正整数推广到 了有理数,那么,能不能继续推广到实数范围呢? 当a>0,p是一个无理数时,ap的值就可以用两个 指数为p的不足近似值和过剩近似值构成的有理数 列无限逼近而得到(这个近似结果的极限值就等于

ap),故ap是一个确定的实数,而且有理指数幂的运
算性质对于无理指数幂也适用,这样指数的概念就

扩充到了整个实数范围.

例1 求值: (1)8 ;(2)25 ;(3)( 1 ) ?5 ;(4)(16 ) 2 81
?

2 3

1 2

?

3 4

思路分析:根据分数指数幂的运算性质进行化简,

对于指数是负的一般化为正的处理,同时注意结果
必须是最简形式.

解:(1)8 = (2 ) = 2 (2)25
1 2

2 3

2 3 3

2 3 × 3 1 ) 2

= 22 = 4. 1 =5 = . 5
-1

= (5 ) = 5

2

-

1 2

2 × (-

1 -5 -5 (3)( ) = (2-1) = 25 = 32. 2 3 3 4 × () 16 4 2 2 -3 27 4 (4)( ) = () = () = . 81 3 3 8

【方法点拨】在进行指数的有关运算时,一般思
路是化负指数为正指数,化根式为分数指数幂, 并且灵活运用指数幂的运算性质进行化简. 【变式训练1】求下列各式的值

(1)3 (-8)3
答案:(1)-8 (2)10

(2) (-10)2

例2

计算下列各式的值(式子中字母都是正数)
(1)(2a b )(-6a b )?(-3a b ) (2)(m n
1 4 3 8 2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6

)8

思路分析:本题考查运用分数指数幂的定义和运算 性质进行计算,第(1)小题是仿照单项式乘除法 进行的,首先将系数相乘除,然后将同底数的幂相 乘除;第(2)小题是先按积的乘方计算,再按幂的 乘方计算,在计算过程中要特别注意符号.

解:(1)原式 = ?2× (- 6) ÷ (-3) ?a
1 4 8 3 8 8

2 1 1 + 3 2 6

gb

1 1 5 + 2 3 6

= 4a b0 = 4a.

2 m (2)原式 = (m )(n ) = m 2n -3 = 3 . n

方法点拨:这类题目在运算上除了要注意运算顺
序以外,还应注意将系数和字母分开计算,以免

出错.

【变式训练2】求下列式子的值.(式中字母为正数)
3

a
9 2 3 2

9 2

a?3 ?

3

a ?7 3 a13

解: =
3 9 2

3

a

a-3 ÷
7 3

3

a-7 3 a13
13 3

a ga
3 3

-

÷ a ga

= a ÷ a2 = a÷ a = 1

例3 利用科学计算器计算(精确到0.001):
0.21.52; 3.14?2; 3.1 ; 5 2.
2 3

思路分析:本题考查了无理指数幂及科学计算器的

使用.
解:
按键 0.2 ? 1.52 ? 3.14 ? (? ) 2 ? 3.1 ? ( 2 ab / c )3 ? 5? 2? 显示 0.086609512 0.101423993 2.12605484 9.738517742

【方法点拨】对于复杂的无理指数幂的运算,可通 过计算器来处理,培养学生的动手能力,让学生体 会信息技术在数学中的应用。

例4

利用科学计算器计算函数值.已知f(x)=2.72x,

求f(-3),f(-2), f(-1), f(1), f(2), f(3) (精确到0.001) 解:
按键 2.72 显示 0.049692779

? (? )3 ?

所以f(3)≈0.050. 在输入行保持2.72 ? 不变,把x的值-3依次换为 -2(按等号键 ? ),-1( ? ), 1( ? ), 2( ? ), 3( ? ),就可以分别得到:0.135164359, 0.367647059,2.72,7.3984,20.123648. 所以f(-2)≈0.135, f(-1)≈0.368, f(1)≈2.72, f(2)≈7.398, f(3)≈20.124.

例5

化简下列各式:
5x y () 1 ; 1 1 1 1 ?1 2 5 3 ?6 ( ? x y )(? x y ) 4 6 m ? m ?1 ? 2 (2) . 1 1 ? m 2 ? m2
? 2 3 1 2

思路分析:本题考查了分数指数幂的运算性质.
2 1 1 1 1 1 1 - +1- + 24 解:(1)原式 = ×5×x 3 3×y 2 2 6 = 24x0 y 6 = 24y 6 ; 5

(2)原式 =

(m ) + 2m gm
1 2

1 2 2

1 2

-

1 2

+(m )

-

1 2 2

m +m

1 2

=

(m + m
1 2

1 2

-

1 2 2

)

m +m

1 2

= m +m

1 2

-

1 2

1.计算下列各式:
1 7 0.5 10 (1)(2 ) ? 0.1?2 ? (2 ) 3 ? 3? 0 9 27 ? 1 4 1 ? ? 3 ? 7 0? ?0.25 ? ?3 ? ( ) ? ? ?81 ? (3 ) ? ? 10 ? 0.027 3. 8 ? ? 8 ? ? ?1 1 ? 1 2 ? 3

(2)(0.008 1)

答案:(1) 100

(2) 0

2.化简:

1 2 n ?1 (2 ) ? ( ) 2 n ?2 4 ?8
n ?1 2

1 答案: ( ) 2 n ? 7 2

3 4.已知 a>0,

1 a2

?a
?1

?

1 2

=3,求下列各式的值: ;

5

(1) a

?a
1 2

(2)a ? a
( 3 )
3 a2 1 a2

?

1 2

?a ?

?

3 2

1 ? a 2



正整指 数幂

运 算 法 则

整数指数幂

零指数幂 负整指 数幂

实 数 指 数

有理指数幂

正分数 指数幂
分数指数幂 负分数 指数幂


质 及 应 用



无理指数幂

如果你不知道你要到哪儿去,那通常你哪儿 也去不了。


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