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2014年全国高中数学联赛试题及答案


2014 年全国高中数学联赛(B 卷) 一
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分, ) 1. 函数



f ( x) ? x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是

.

2.

已知函数 双曲线 x .

y ? (a cos2 x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是
2

.

3. 数是 4.

? y 2 ? 1 的右半支与直线 x ? 100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)的个

已知 {a n } 是公差不为 0 的等差数列, {bn } 是等比数列,其中 a1

? 3, b1 ? 1, a2 ? b2 ,3a5 ? b3 ,且存在常
.

数 ? , ? 使得对每一个正整数 n 都有 an

? log? bn ? ? ,则 ? ? ? ?

5. 是 6. 胜概率是 7. .

函数

f ( x) ? a 2 x ? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1)

在区间 x ? [?1,1] 上的最大值为 8, 则它在这个区间上的最小值

两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则轮由另一人投掷.先投掷人的获 . 正三棱柱 . 方程 x ?

ABC ? A1 B1C1 的

9 条棱长都相等,

P



CC1 的 中 点 , 二 面 角 B ? A1 P ? B1 ? ?

,则

sin ? ?
8.

y ? z ? 2010满足 x ? y ? z 的正整数解(x,y,z)的个数是

.

二、解答题(本题满分 56 分) 9. (16 分)已知函数

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 1,试求 a 的最大值.

10.(20 分)已知抛物线

y 2 ? 6 x 上的两个动点 A( x1, y1 )和B( x2 , y2 ) ,其中 x1 ? x 2 且 x1 ? x2 ? 4 .线段 AB

的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求 ?ABC 面积的最大值.

11. ( 20 分)证明:方程 2 x

3

? 5x ? 2 ? 0 恰有一个实数根 r ,且存在唯一的严格递增正整数数列 {an } ,使得

2 ? r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? . 5

解 答

1.

[?3, 3]

提示:易知

f ( x) 的定义域是 ?5,8? ,且 f ( x) 在 ?5,8? 上是增函数,从而可知 f ( x) 的值域为

[?3, 3] .
1

2.

?

3 ? a ? 12 2

提示:令 sin

x ? t ,则原函数化为 g (t ) ? (?at 2 ? a ? 3)t ,即

g (t ) ? ?at 3 ? (a ? 3)t .


? at 3 ? (a ? 3)t ? ?3 , ? at(t 2 ? 1) ? 3(t ? 1) ? 0 , (t ? 1)(?at(t ? 1) ? 3) ? 0


及t

?1 ? 0



? at(t ? 1) ? 3 ? 0

a(t 2 ? t ) ? ?3 .
当t

(1)

? 0,?1 时(1)总成立;

对0 ? t

? 1,0 ? t 2 ? t ? 2 ;对 ? 1 ? t ? 0,?
提示:由对称性知,只要先考虑

1 3 ? t 2 ? t ? 0 .从而可知 ? ? a ? 12 . 4 2

3. 9800

x 轴上方的情况,设 y ? k (k ? 1,2,?,99) 与双曲线右半支于 Ak ,交直线

x ? 100 于 Bk ,则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 ? k ,从而在 x 轴上方区域内部整点的个数为

? (99 ? k ) ? 99 ? 49 ? 4851 .
k ?1

99

又 4.

x 轴上有 98 个整点,所以所求整点的个数为 2 ? 4851 ? 98 ? 9800 .
3

3 ?3

提示 :设 {a n } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则

3 ? d ? q,

(1)

3(3 ? 4d ) ? q 2 ,
(1)代入(2)得 9 ? 12d 从而有 3 ? 6(n ? 1)

(2)

? d 2 ? 6d ? 9 ,求得 d ? 6, q ? 9 .
对一切正整数 n 都成立,即 6n ? 3 ?

? log? 9 n?1 ? ?

(n ? 1) log? 9 ? ?

对一切正整数

n 都成立.
从而

log? 9 ? 6,?3 ? ? log? 9 ? ? ,
求得

? ? 3 3, ? ? 3 , ? ? ? ? 3 3 ? 3 .
? 1 4
提示:令 a
x

5.

3 ? y, 则原函数化为 g ( y) ? y 2 ? 3 y ? 2 , g ( y ) 在 (? ,+?) 上是递增的. 2

当0

? a ? 1 时, y ? [a, a ?1 ] ,

g ( y ) max ? a ?2 ? 3a ?1 ? 2 ? 8 ? a ?1 ? 2 ? a ?

1 , 2
2

所以

1 1 1 g ( y ) min ? ( ) 2 ? 3 ? ? 2 ? ? ; 2 2 4


a ? 1 时, y ? [a ?1 , a] ,

g ( y) max ? a 2 ? 3a ? 2 ? 8 ? a ? 2 ,
所以

g ( y ) min ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ?1 ? 2 ? ?
综上

1 . 4

f ( x) 在 x ? [?1,1] 上的最小值为 ?

1 . 4

6.

12 17

提示:同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为

21 7 ? ,从而先投掷人的获胜概率为 36 12 7 5 7 5 7 7 1 12 ? ( )2 ? ? ( )4 ? ? ? ? ? . ? 25 17 12 12 12 12 12 12 1? 144
AB
所在直线为 x 轴,线段

7.

10 4

提示:解法一:如图,以

AB

中点 O 为原点, OC 所在直线为

y 轴,建立空间

直角坐标系.设正三棱柱的棱长为 2,则 B(1 ,0,0), B1 (1,0,2), A1 (?1,0,2), P(0,

3,1) ,从而,

BA , 3,1), B1 A1 ? (?2,0,0), B1 P ? (?1, 3,?1) . 1 ? (?2,0,2), BP ? (?1
设分别与平面

BA1 P

、平面

B1 A1 P

垂直的向量是

m ? ( x1 , y1 , z1 ) 、 n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则
? ?m ? BA1 ? ?2 x1 ? 2 z1 ? 0, ? ? ?m ? BP ? ? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0, ? ?n ? B1 A1 ? ?2 x2 ? 0, ? ? ?n ? B1 P ? ? x2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 0,
B1

z

A1 C1

P A O C
, 所 以

y

m ? (1,0,1), n ? (0,1, 3) ?? ? ?? ? m ? n ? m ? cno? s ,即
由 此 可 设

B x

A1

3 ? 2 ? 2 cos ? ? cos ? ? 10 . 4

6 . 4
B1 O A

C1 E P

所以

sin ? ?

3

C B

解法二:如图, PC

? PC1 , PA1 ? PB

.



A1 B 与 AB1

交于点 O, 则 OA 1

? OB, OA ? OB1 , A1B ? AB1
.

.

因为 PA ? PB1 , 所以 PO ? AB1 , 从而 AB1 ? 平面 PA1 B
过 O 在平面 PA 1 B 上作 OE 连 结

? A1 P ,垂足为 E .
为 二 面 角

B1 E

, 则

?B1 EO

B ? A1 P ? B1

的 平 面 角 . 设

AA1 ? 2

, 则 易 求 得

PB ? PA 2, PO ? 3 . 1 ? 5, A 1O ? B1O ?
在直角 ?PA 1O 中,

A1O ? PO ? A1 P ? OE ,即

2 ? 3 ? 5 ? OE,? OE ?
6 4 5 . ? 5 5
B1O 2 10 . ? ? B1 E 4 5 4 5

6 5

.



B1O ? 2 ,? B1 E ? B1O 2 ? OE 2 ? 2 ?

sin ? ? sin ?B1 EO ?

8. 336675 把x?

提示:首先易知 x ?

2 y ? z ? 2010的正整数解的个数为 C2009 ? 2009?1004.

y ? z ? 2010满足 x ? y ? z 的正整数解分为三类:

(1) x,

y, z 均相等的正整数解的个数显然为 1; (2) x, y , z 中有且仅有 2 个相等的正整数解的个数,易知为 1003;
(3)设 x, 易知

y, z 两两均不相等的正整数解为 k .

1 ? 3 ? 1003 ? 6k ? 2009 ? 1004 ,
所以

6k ? 2009 ? 1004 ? 3 ? 1003 ? 1 ? 2006 ? 1005 ? 2009 ? 3 ? 2 ? 1 ? 2006 ? 1005 ? 2004 ,
即 从而满足 x

k ? 1003 ? 335 ? 334 ? 335671 . ? y ? z 的正整数解的个数为 1 ? 1003 ? 335671 ? 336675 .

4

9. 解法一:

f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c, 由

? f ?(0) ? c, ? 1 3 ? ? f ?( ) ? a ? b ? c, 4 ? 2 ? ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? c



1 3a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) . 2
所以

1 3 a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) 2 1 ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) ? 8 , 2
所以 a

?

8 . 3

又易知当

f ( x) ?

8 3 8 x ? 4 x 2 ? x ? m ( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值为 . 3 3
设 g ( x)

解法二:

f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c .

? f ?( x) ? 1 ,则当 0 ? x ? 1 时, 0 ? g ( x) ? 2 .



z ? 2 x ? 1 ,则 x ?

z ?1 , ?1 ? z ? 1 . 2 z ? 1 3a 2 3a ? 2b 3a h( z ) ? g ( )? z ? z? ? b ? c ? 1. 2 4 2 4
时 ,

容 易 知 道 当

?1 ? z ? 1
, 即

0 ? h( z ) ? 2,0 ? h(? z ) ? 2

.

从 而 当

?1 ? z ? 1

时 ,

0?

h( z ) ? h( ? z ) ?2 2

0?
从而

3a 3a ? b ? c ? 1 ? 0 , z 2 ? 2 ,由 4 4 8 3 8 x ? 4 x 2 ? x ? m ( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值为 . 又易知当 f ( x ) ? 3 3
10. 解法一:设线段

3a 2 3a z ? ? b ? c ?1 ? 2 , 4 4 8 0 ? z 2 ? 1知 a ? . 3

AB

的中点为 M ( x0 ,

y0 ) ,则 x0 ?

x1 ? x 2 y ? y2 ? 2, y 0 ? 1 2 2
.



k AB ?

y 2 ? y1 y ? y1 6 3 ? 22 ? ? 2 x 2 ? x1 y 2 ? y1 y 0 y 2 y1 ? 6 6

线段

AB

的垂直平分线的方程是

y ? y0 ? ?
易知 x

y0 ( x ? 2) . 3

(1)

? 5, y ? 0 是(1)的一个解,所以线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点,且点 C 坐标为 (5,0) .
5

由(1)知直线

AB

的方程为

y ? y0 ?

3 ( x ? 2) ,即 y0
y0 ( y ? y0 ) ? 2 . 3
(2)

x?
(2)代入

y 2 ? 6 x 得 y 2 ? 2 y0 ( y ? y0 ) ? 12 ,即
2 y 2 ? 2 y0 y ? 2 y 0 ? 12 ? 0 .

(3)

依题意, y1 , y 2 是方程(3)的两个实根,且 y1

? y2 ,所以

2 2 2 ? ? 4 y0 ? 4(2 y0 ?12) ? ?4 y0 ? 48 ? 0 ,

? 2 3 ? y0 ? 2 3 .
y

AB ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )
2

2

A

? (1 ? (

y0 2 ) )( y1 ? y 2 ) 2 3
O

B

2 y0 ? (1 ? )[(y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] 9 2 y0 2 2 )(4 y0 ? 4(2 y0 ? 12)) 9

C(5,0)

x

? (1 ?
?

2 2 2 (9 ? y 0 )(12 ? y 0 ) 3
AB
的距离

.

定点 C (5,0) 到线段

2 h ? CM ? (5 ? 2) 2 ? (0 ? y 0 ) 2 ? 9 ? y 0

.

S ?ABC ?

1 1 2 2 2 AB ? h ? (9 ? y 0 )(12 ? y 0 ) ? 9 ? y0 2 3

?

1 1 2 2 2 (9 ? y0 )(24 ? 2 y0 )(9 ? y0 ) 3 2
2 2 2 ? 24 ? 2 y0 ? 9 ? y0 1 1 9 ? y0 ( )3 3 2 3

?
?

14 7 3

.

6

当且仅当

2 2 9 ? y0 ? 24 ? 2 y0

,即

y0 ? ? 5

,

A(

6 ? 35 6 ? 35 , 5 ? 7), B( , 5 ? 7) 3 3



A(

6 ? 35 6 ? 35 , ?( 5 ? 7)), B( , ? 5 ? 7) 时等号成立. 3 3
所以, ?ABC 面积的最大值为

14 7. 3
, 则

11. 令

f ( x) ? 2x 3 ? 5x ? 2

f ?( x) ? 6 x 2 ? 5 ? 0

, 所 以

f ( x)

是 严 格 递 增 的 . 又

1 3 1 f (0) ? ?2 ? 0, f ( ) ? ? 0 ,故 f ( x) 有唯一实数根 r ? (0, ) . 2 4 2
所以

2r 3 ? 5r ? 2 ? 0 ,
2 r ? ? r ? r 4 ? r 7 ? r10 ? ? . 5 1? r3

故数列 an

? 3n ? 2(n ? 1,2,?) 是满足题设要求的数列. ? a2 ? ? ? an ? ?和 b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?满足
2 , 5

若存在两个不同的正整数数列 a1

r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? ? r b1 ? r b2 ? r b3 ? ? ?
去掉上面等式两边相同的项,有

r s1 ? r s2 ? r s3 ? ? ? r t1 ? r t2 ? r t3 ? ? ,
这里 s1

?s 2 ?s 3 ? ?, t1 ? t 2 ? t3 ? ? ,所有的 s i 与 t j 都是不同的.
? t1 ,则

不妨设 s1

1 ? r t1 ?s1
矛盾.故满足题设的数列是唯一的.

r s1 ? r s1 ? r s2 ? ? ? r t1 ? r t2 ? ? , 1 1 ? r t2 ? s1 ? ? ? r ? r 2 ? ? ? ?1 ? ?1 ? 1, 1 1? r 1? 2




A

1. (40 分)如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O,K 是边 BC 上一点(不 是边 BC 的中点) ,D 是线段 AK 延长线上一点,直线 BD 与 AC 交于点 N,直 线 CD 与 AB 交于点 M.求证:若 OK⊥MN,则 A,B,D,C 四点共圆.
O

B

EK D

C

P

Q

7
N

M

2. (40 分) 设 k 是给定的正整数,r

?k?

1 (l ) (l ?1) ( 1 ) . 记 f ( r ) ? f (r ) ? r r? ? ? ? , f (r ) ? f ( f (r )), l ? 2 .证 2

明:存在正整数 m,使得

?1? f ( m) (r ) 为一个整数.这里, ? ?1? ? ? 1. ? x? ? 表示不小于实数 x 的最小整数,例如: ? ? ? 1 , ? ?2?
? 2 ,设正实数 a1 , a2 , ?, an 满足 ak ? 1, k ? 1, 2, ?, n ,记

3. (50 分)给定整数 n

Ak ?
求证:

a1 ? a2 ? ? ? ak , k ? 1, 2, ? , n . k

? ak ? ? Ak ?
k ?1 k ?1

n

n

n ?1 . 2

4. (50 分)一种密码锁的密码设置是在正 n 边形

A1 A2 ? An 的每个顶点处赋值 0 和 1 两个数中的一个,同时在每个顶点处

涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问:该种密码锁共有多少种不同的密码设 置?


1.


A

用反证法.若 A,B,D,C 不四点共圆,设三角形 ABC 的外接圆

与 AD 交于点 E,连接 BE 并延长交直线 AN 于点 Q,连接 CE 并延长交直 线 AM 于点 P,连接 PQ. 因为 PK
2

? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O)
? ? PO 2 ? r 2 ? ? ? KO 2 ? r 2 ? ,
B

O

EK D

C

同理

QK ? ? QO ? r
2 2

2

? ? ? KO ? r
2

2

?



P

Q

所以 故 OK ⊥ PQ .

PO2 ? PK 2 ? QO2 ? QK 2 ,
由题设,OK⊥MN,所以 PQ∥MN,于是

N M

AQ AP ? QN PM
由梅内劳斯(Menelaus)定理,得





NB DE AQ ? ? ? 1, BD EA QN
MC DE AP ? ? ? 1. CD EA PM





8

由①, ②, ③可得

NB MC ? BD CD

, 所以

ND MD ? , 故△DMN ∽ △DCB, 于是 ?DMN ? ?DCB , 所以 BC∥MN, BD DC

故 OK⊥BC,即 K 为 BC 的中点,矛盾!从而 注 1:“ PK
2

A, B, D, C 四点共圆.

? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O)”的证明:延长 PK 至点 F,使得 PK ? KF ? AK ? KE , ④
?PFE ? ?PAE ? ?BCE ,

则 P,E,F,A 四点共圆,故

从而 E,C,F,K 四点共圆,于是

PK ? PF ? PE ? PC ,
⑤-④,得



PK 2 ? PE ? PC ? AK ? KE ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O) .
注 2:若点 E 在线段 AD 的延长线上,完全类似.

A

O F B EK D P C

Q

N M

2.

记 v2 ( n) 表示正整数 n 所含的 2 的幂次.则当 m ? v2 (k ) ? 1 时,

f ( m) (r ) 为整数.

下面我们对 v2 ( k ) 当v

? v 用数学归纳法.

? 0 时,k 为奇数, k ? 1 为偶数,此时

1 ?? 1? ? 1? ? f (r ) ? ? k ? ? ?k ? ? ? ? k ? ? ? k ? 1? 2?? 2? ? 2? ?
为整数. 假设命题对 v ? 1(v 对于 v

? 1) 成立.

? 1 ,设 k 的二进制表示具有形式

k ? 2v ? ?v?1 ? 2v?1 ? ?v?2 ? 2v?2 ? ?,
这里, ?i 于是

? 0 或者 1, i ? v ? 1, v ? 2, ? .

9

1?? 1 ? ? 1 ? ? f ( r ) ? ? k ? ?? k ? ? ?? k ? ? 1 ? ? k? 2?? 2? ? 2? ?
1 k ? ? k2 ? k 2 2 1 ? ? 2v ?1 ? (? v ?1 ? 1) ? 2v ? (? v ?1 ? ? v ? 2 ) ? 2v ?1 ? ? ? 22 v ? ? 2 1 ? k? ? , ① 2 ?
这里

k ? ? 2v?1 ? (?v?1 ?1) ? 2v ? (?v?1 ? ?v?2 ) ? 2v?1 ? ?? 22v ? ? .
显然 k ? 中所含的 2 的幂次为 v ? 1 .故由归纳假设知, r ? 一个整数,这就完成了归纳证明. 由 0 ? ak

? k? ?

1 ( v ?1) 经过 f 的 v 次迭代得到整数,由①知, f (r ) 是 2

3.

? 1 知,对 1 ? k ? n ? 1 ,有 0 ? ? ai ? k ,
i ?1

k

0?

i ? k ?1

?a

n

i

? n?k .

注意到当 x,

y ? 0 时,有 x ? y ? max ?x, y? ,于是对 1 ? k ? n ? 1 ,有

1 n ?1 1? k An ? Ak ? ? ? ? ? ai ? ? ai n i ?k ?1 ? n k ? i ?1 ? 1 n ?1 1? k a ? ? ? ? ai ? i ? n i ?k ?1 ? k n ? i ?1

?1 n ?1 1? k ? ? max ? ? ai , ? ? ? ? ai ? ? n i ?k ?1 ? k n ? i ?1 ? ?1 ? max ? (n ? k ), ?n
? 1?
n

?1 1? ? ? ? ?k? ?k n? ?

k , n
n k



?a ? ? A
k ?1 k k ?1

? nAn ? ? Ak
k ?1

n

?

? ? An ? Ak ? ? ? An ? Ak
k ?1 k ?1

n ?1

n ?1

n ?1 ? k ? n ?1 . ? ? ?1 ? ? ? 2 n? k ?1 ?

4.

对于该种密码锁的一种密码设置,如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同,在它们所在的边上标上 a,如果颜色不同,则标

10

上 b ,如果数字和颜色都相同,则标上 c .于是对于给定的点

A1 上的设置(共有

4 种) ,按照边上的字母可以依次确定点

A2 , A3 , ?, An 上的设置.为了使得最终回到 A1 时的设置与初始时相同,标有 a 和 b 的边都是偶数条.所以这种密码锁的所有
不同的密码设置方法数等于在边上标记 a,b,c,使得标有 a 和 b 的边都是偶数条的方法数的 4 倍. 设标有 a 的边有 2 i 条, 0 ? i

?n? ? n ? 2i ? 2i .选取 2 i 条边标记 a 的有 Cn 种方 ? ? ? ,标有 b 的边有 2 j 条, 0 ? j ? ? ? ?2? ? 2 ?

法,在余下的边中取出 2

2j 2i 2j j 条边标记 b 的有 Cn ? 2i 种方法,其余的边标记 c.由乘法原理,此时共有 Cn Cn ? 2i 种标记方法.对

i,j 求和,密码锁的所有不同的密码设置方法数为
?n? ?2? ? ? i ?0 ? n ? 2i ? ? ? ? ? ? 2i ? 2 ? 2 j ? ? Cn ? Cn ? 2 i ? . j ?0 ? ? ? ?

4?
0



这里我们约定 C0

? 1.
? 0 ,此时
? n ? 2i ? ? 2 ? ? ? j ?0

当 n 为奇数时, n ? 2 i

?C

2j n ? 2i

? 2n?2i ?1 .



代入①式中,得
?n? ?2? ? ? i ?0 ? n ? 2i ? ?n? ?n? ? ? ? 2 ? ?2? ?2? ? ? ? ? ? ? ? 2i 2j ? 2 i n ? 2 i ?1 C C ? 4 C 2 ? 2 ? ? ? Cn2i 2n?2i ? ? ? ? n n ? 2 i n ? ? j ?0 i ?0 i ?0 ? ? ? ?

4?

k n?k k n ?k ? ? Cn 2 ? ? Cn 2 (?1)k ? (2 ? 1)n ? (2 ? 1)n k ?0 k ?0

n

n

? 3n ? 1 .
当 n 为偶数时,若 i

?

n n ,则②式仍然成立;若 i ? ,则正 n 边形的所有边都标记 a,此时只有一种标记方法.于是, 2 2

当 n 为偶数时,所有不同的密码设置的方法数为
?n? ?2? ? ? i ?0 n? ? n ? 2i ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? 2i 2 i n ? 2 i ?1 ? 2j ? ?? ? Cn ? Cn ? 2 i ? ? 4 ? ? 1 ? ? ? Cn 2 i ?0 j ?0 ? ? ? ? ? ? ? ?

4?

2i n ? 2i ?1 ? 2 ? 4? ? Cn 2 ? ? 3n ? 3 . i ?0
n

?n? ?2? ? ?

综上所述,这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是:当 n 为奇数时有 3

? 1 种;当 n 为偶数时有 3n ? 3 种.

11


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2014年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
2014 年全国高中数学联赛江西省预赛题 参考答案及评分标准一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1 、如果 2014 是一个正整数等差数列的第八项,那么该数列首项...
2014年全国高中数学联赛湖南省预赛试题及答案
2014年全国高中数学联赛湖南省预赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2014年全国高中数学联赛湖南省预赛试题及答案_学科...
2014年全国高中数学联赛福建省预赛试题及详解
014 1 。 2014 2 2014 年福建省高中数学竞赛 暨 2014 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考答案(考试时间:2014 年 5 月 17 日上午 9:00-11:30,...
2014全国高中数学联赛二试参考答案及评分标准_图文
2014全国高中数学联赛二试参考答案及评分标准_学科竞赛_高中教育_教育专区。 文档贡献者 政瀚登场 贡献于2014-09-14 专题推荐 高中各年级课件教案...专题 2014...
2014年全国高中数学联赛广东预赛试题
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2014年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)试题及详细解析(W...
2014 年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷) 参考答案及评分标准一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分。 1. 若正数 a , b 满足 2 ? log...
2014年全国高中数学联赛(四川初赛)试题、解答
2014年全国高中数学联赛(四川初赛)试题、解答_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2014年全国高中数学联赛(四川初赛)试题、解答_学科...
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