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一个优美的不等式变式


一个优美不等式的变式
刘传鹏 (浙江省宁波光华学校 (2005 年塞尔维亚奥林匹克试题)已知 315311)

x、y、z 是正数。求证:
3 ( x ? y ? z) 2

x y?z

+

y x?z

+

z x? y





文 ?1? 两次应用柯西不等式证明了不等式①. 文 ?2? 又对不等式①进行了推广给出 了一个更一般性的结论.然笔者通过研究发现不等式①在 x≥y≥z 且 x、y、x 是 正数的条件下存在一个优美的变式 定理:已知 x≥y≥z 且 x、y、x 是正数。则:
3 2 2 x ? ( x ? y ? z) ≥ + 4 4 x?z
y y?x z y?z

+



下面本文给出不等式②的证明。 证明:令: x ? y =a , x=
x ? z =b,
z ? y =c 则有:

a2 ? b2 ? c2 c2 ? b2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 ,y= ,z= 不等式②可转化为: 2 2 2

a2 ? b2 ? c2 a2 ? c2 ? b2 c2 ? b2 ? a2 3 2 2 2 ? (a ? b 2 ? c 2 ) ≥ + + 4 8 2b 2a 2c

6 2 abc+ 2 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) abc+4 a 3 b+4 b 3 c+4 c 3 a≥ 4 a 3 c ? 4ab3 ? 4bc3 ? 4a 2 bc ? 4b 2 ac ? 4c 2 ab ③ 由均值不等式得 2 2 abc+ 2 a 3 bc ≥4 a 2 bc ④ , 2 2 abc+ 2 ab3 c ≥4 a b 2 c ⑤ 2 2 abc+ 2 abc3 ≥4 abc2 ⑥.

故要证③式成立只要证 4 a 3 b+4 b 3 c+4 c 3 a≥4 a 3 c ? 4ab3 ? 4bc3 ⑦

即: a 3 b+ b 3 c+ c 3 a≥ a 3 c ? ab3 ? bc3 ⑧

ab(a 2 ? b 2 ) ? bc(b 2 ? c 2 ) ? ac(c 2 ? a 2 ) ≥0

→ ab(a ? b)(a ? b) ? bc(b ? c)(b ? c) ? ac(c ? a)(c ? a) ≥0 → a(a 2 b ? b 3 ? c 3 ? a 2 c) ? bc(b ? c)(b ? c) ≥0
2 3 3 → a a (b ? c) ? (b ? c ) ? bc(b ? c)(b ? c) ≥0

?

?

→ a a 2 ? (b 2 ? bc ? c 2 ) (b ? c) ? bc(b ? c)(b ? c) ≥0 → (b ? c) a 3 ? ab2 ? abc ? ac 2 ? b 2 c ? bc 2 ≥0 → (b ? c) a (a 2 ? b 2 ) ? c 2 (a ? b) ? bc(a ? b) ≥0 → (b ? c) a(a ? b)( a ? b) ? c 2 (a ? b) ? bc(a ? b) ≥0 → (a ? b)(b ? c) a(a ? b) ? c 2 ? bc ≥0 → (a ? b)(b ? c) (a 2 ? c 2 ) ? b(a ? c) ≥0 → (a ? b)(b ? c)(a ? c)(a ? b ? c) ≥0⑨ 由 x≥y≥z 知 a≥b≥c ⑨明显成立,不等式②获证.

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文 文

?1? 蔡玉书,应用柯西不等式证明竞赛题中的不等式.数学通讯.2010.(4 下半月)
?2?王亚辉.一道塞尔维亚奥数试题的推广. 数学通讯.2010.(9 下半月)


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