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两条直线的交点坐标教案


两条直线的交点坐标(教案)
贵州省三都民族中学、高一数学备课组(潘洪存)
【教学目标】 1、通过研究两条直线的相交、平行和重合三种位置关系,知道对应于相应的二元一次方程 组有唯一解、无解和无穷多组解,会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系,以 及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件. 本节是从交点个数为特征对 两直线位置关系的进一步讨论

. 2、通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解,培养学生的数形结合能力;通过对 方程组解的讨论培养学生的分类思想 【教学重点】两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系 【教学难点】对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论. 【教学过程】 复习回顾:1、直线方程的五种形式: ① 方程为 ② 方程为 ③ 方程为 ④ 方程为 ⑤ 方程为

2、两条直线的位置关系有 种,分别是 :①两条直线平行应满足的条件是: ②两条直线垂直应满足的条件是: ③两条直线重合应满足的条件是: 探究 1 点和直线的关系

思考 1:方程组有唯一解,那么两直线是否交于一点呢? 思考 2:可不可以用方程组的解来判定直线之间的关系? 直线的位置关系与方程的解关系
(1)求两直线的交点坐标只需将这两条直线的方程联立成方程组, 方程组的解 即 为交点坐标. (2)在解由两直线的方程组成的方程组的时候可能出现的三种结果是: ①方程组有一组解,该解为 交点坐标 ; ②方程组有无数组解,此时两直线的位置关系为 重合 ,交点个数为 无数个 ; ③方程组无解,此时两直线的位置关系是 平行 ,交点个数为 0 个

例 1: 求下列两条直线的交点坐标: 3x+4y-2=0 l1 :

2x+y+2=0 l2 :

例 2:

求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程
l1 :x-2y+2=0, l2 :2x-y-2=0
1

练习 1:下列各对直线是否相交,如果相交,求出交点的坐标,否则试着说明两 直线的位置关系:

: x-y=0 l :x+3y-10=0(2) l : 3x-y+4=0 l :6x-2y-1=0 (3) l :3x+4y-5=0 l :6x+8y-10=0 例 3: 过交点的直线系方程: 经过直线 l :3x+4y-2=0 与
(1) l1
2 1 2 1 2 1

直线 l2 :2x+y+2=0 的交点可作无数条直线,你能将这些直线的方程
统一表示吗?3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0 当 λ 变化时,方程 3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0 表示什么图形?图形有何 特点? 练习:求满足下列条件的直线的方程
(1) 经过两条直线 2x-3y+10=0 和 3x+4y-2=0 的交点,且垂直于直线

3x-2y+4=0
(2) 经过两条直线 2x+y-8=0 和

x-2y+1=0 的交点,且平行于直线

4x-3y-7=0
习题演练
1 .直线 y ? ax ? 1 与直线 2 x ? y ? b ? 0 相交与点( 1,2)则 a ? 3

b?

0 -1

2 . 若 三 条 直 线 y ? x, y ? ? x ? 2, kx ? y ? 2 ? 0 相 交 于 一 点 , 则 k 的 值 是 3.直线 x ? 2 y ? 1 ? 0和直线2 x ? 4 y ? 2 的位置关系是 重合

的交点在 y轴上,则 k 的值为 4 .两直线 2 x ? 3 y ? k ? 0和 x ? ky ?12 ? 0
5.方程 x2 ? y 2 ? 0 表示的图形是 定点的讨论问题。 两条相交且垂直的直线

6 或者 -6

例 4、直线 l : kx ? y ? 1 ? 3k ? 0,当k 取任意实数时,直线 l 总经过一个定点,则该点 是( 例 5、 ) 恒过一点( )

思考题:3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0 当 λ 取任意值时表示什么图形?图形有什么特点? 回答:当 λ 取任意值时候,该直线方程表示过一定点的直线簇,该点是(2,-2)
2

例 6、求过直线 3x+4y-2=0,2x+y+2=0 交点的且与直线 y=x 平行的直线方程。 练习: 1 求证:不论 m 为何实数,直线 l : (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 恒过一定点,并 求出此定点的坐标. 分析:证明直线过定点即证定点坐标始终满足直线方程. 【解】 (法一)将直线 l 方程 (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 整理为 该方程表示过直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 和 ? x ? y ? 5 ? 0 交 ( x ? 2 y ? 1)m ? x ? y ? 5 ? 0 , 点的直线,

? x ? 2 y ?1 ? 0 得交点 (9, ?4) ,∴直线 l 过定点 (9, ?4) . ?? x ? y ? 5 ? 0 1 m? 得x ?9, (法二) 令 m ? 1 得 y ? ?4 , 两直线 y ? ?4 和 x ? 9 交点为 (9, ?4) , 2 将 (9, ?4) 代入直线方程得 9m ? 9 ? 8m ? 4 ? m ? 5 恒成立,所以,直线 l 过定点 (9, ?4) .
由? 2、三直线交于一点。 1】若三条直线 y ? x, y ? ? x ? 2, kx ? y ? 2 ? 0 相交于一点,则 k 的值是 -1

2】 三条直线 2 x ? y ? 4 ? 0, x ? y ? 1 ? 0, ax ? y ? 2 ? 0 共有两个交点, 则 a 的值是 3、利用交点求三角形面积。 已知直线 l1 : 3x ? y ? 12 ? 0和l2 : 3x ? 2 y ? 6 ? 0 ,由 l1和l2 及 y 轴围成的三角形 的面积是 9 五、布置作业。 1、课后习题,2、数学周报

六、课堂小结。 1. 两直线交点的求法---联立方程组。 2. 两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的个数。 3. 共点直线系方程及其应用

七、教学反思: 本课的学习难度不大,知识要做到熟练运用交点的知识取解决实际碰到的习题还需要 多做练习。本教案从基本入手,注重在前面的基础以提高为目标追求,在直线的综合运用 方面做了适当的探讨,由于课时的限制,许多问题还得不到加深的进一步讲解,因此教案 中还存在比较匆忙的因素,总体来说是一份中等难度教案。

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