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2014《高考调研》新课标总复习 数学(理科版) 衡水中学2-4


高考调研

新课标版 · 数学(理)

第 4 课时 函 的 偶 和 期 数奇性周性

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2013?考纲下载

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1.了解奇函数、偶函数的定义,并能运用奇偶性的定义判 断一些简单函数的奇偶性. 2.掌握奇函数与偶函数的图像对称关系, 并熟练地利用对称 性解决函数的综合问题.

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请注意!
函数的奇偶性在新高考中占有重要的地位, 在命题时主要是 与 数 概 、像性 综 在 起 查 而 几 的 考 函 的 念图 、质 合 一 考 . 近 年 高 中 加大了对非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性, 周期性的考 查力度.

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1.奇函数、偶函数、奇偶性 对于函数 f(x),其定义域关于原点对称: 1 如果对于函数定义域内任意一个 x,有 f(-x)=-f(x), ( ) 都 那么函数 f(x)就是奇函数; 2 如果对于函数定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x) , ( ) 那么函数 f(x)就是偶函数; 3 如一函是函 ( 果个数奇数 ) 其定义域内具有奇偶性.
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(或 函 偶数

), 么 这 函 在 那称个数

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2.证明函数奇偶性的方法步骤 1 确定函数定义域关于 原点 对称; ( ) 2 判定 f(-x)=-f(x)(或 f(-x)=f(x)), 而 得 数 奇 ( ) 从证函是 (偶)函数.

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3.奇偶函数的性质 1 奇函数图像关于 原点 对 , 数 像 于 ( ) 称 函图关 偶
y轴 对称;

2 若奇函数 f(x)在 x=0 处有意义,则 f( = 0 ; ( ) 0 ) 3 若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调,则其 ( ) 单调性 一致 ; 若函在于点称两区上别调则单 偶数关原对的个间分单,其 调性 相反 . 4 若函数 f(x)为偶函数,则 f(x)=f(|x|), 之 成 . ( ) 反也立

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4.一些重要类型的奇偶函数 1 函数 f(x)=ax+a-x 为 偶 函 , ( ) 数数 函 数; ax-a x a2x-1 2 函数 f(x)= x -x= 2x (a>0 且 a≠1)为 奇 函数; ( ) a +a a +1 1-x 3 函数 f(x)=l a ( ) o g 为 奇 函数; 1+x 4 函数 f(x)=l ( ) o g (x+ x2+1)为 奇 函数. a


f(x)=ax-a-x 为 奇 函

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5.周 函 期数 若 f(x)对 定 域 任 于义中意 的 数 ), f(x)为 期 数 常 则 周函. 6.函 的 称 数对性 若 f(x)对 定 域 任 于义中意 =f(a-x), 函 则数 f(x)关 于 x, 有 均 f(x)=f(2a-x),或 f(a+x) x 均 f(x+T)=f(x) (T 为 等 有 不于 0

x=a 对 . 称

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1. (课本改编题)下 函 中 有 函 的 号 列数, 奇数序是 所 ①f(x)=2x4+3x2; ②f(x)=x3-2x;

_______.

x2+1 ③f(x)= ; ④f(x)=x3+1. x

答案 ②③

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2.(1 22 0· 广东)下列函数为偶函数的是 B.y=x3

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(

)

A.y=sinx C.y=ex
答案 D

D.y=ln x2+1

解析 选项中的四个函数的定义域都是 R.选项 A,y=s x n i 为 函 .项 奇 数选 B, 函 幂数 y=x3 也 奇 数 选 为 函 .项 C, 数 指函

数 y=ex 为非奇非偶函数.选项 D,据 数 偶 的 义 以 根函奇性定可 判为函. 断 偶 数令 f(x)=ln x2+1,到 得 f(-x)=ln ?-x?2+1=

ln x2+1=f(x),所以选 D.
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3.(1 22 0· ________.
答案 4

重庆)若 f(x)=(x+a)(x-4)为 函 , 实 偶数则数

a=

解析 f(x)=x2+(a-4)x-4a.因为 f(x)为偶函数,所以 f(- x)=x2+(4-a)x-4a=x2+(a-4)x-4a,a-4=4-a,a=4.

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4. 函 若数

y=f(x)(x∈R)是 函 , 下 坐 表 的 一 奇 数则 列 标 示 点 ( B.(-a,-f(a)) D.(a,f(-a)) )

定在函数 y=f(x)图像上的是 A.(a,-f(a)) C.(-a,-f(-a))
答案 B

解析 ∵函数 y=f(x)为奇函数, ∴f(-a)=-f(a). 即点(-a,-f(a))一定在函数 y=f(x)的图像上.

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5.(1 23 0·

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衡水调研卷)设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)· f(x =________.

+2)=13,若 f( =2,则 f( 1 ) 9 9 )

13 答案 2
13 解析 由已知 f(x+2)= , f?x? 13 ∴f(x+4)= =f(x). f?x+2? ∴f(x)周期为 4. ∴f() 9 9 13 13 =f(4×25-1)=f(-1)= = . f?1? 2
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例 1 判断下列函数的奇偶性,并说明理由. 1 f(x)=x2-|x|+1 ( ) 2 f(x)=(x-1) ( ) x∈[-1 4 ] , ; ;

1+x x∈(-1 1 ) , 1-x

1 1 3 f(x)= x +2 (a>0,a≠1). ( ) a -1

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【思路】 判 函 的 偶 , 断数奇性首 关原对,关原对,严按奇性定进 于点称若于点称再格照偶的义 行推理判断.

先检其义是 要验定域否

【解析】 1 由于 f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1 ( ) 4 ] ,

的义不 定域

是关于原点对称的区间,因此,f(x)是非奇非偶函数.

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2 ∵f(x)=(x-1 ( ) ) 1+x , 1-x

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已知 f(x)的定义域为(-1,1), 其定义域关于原点对称. 又 f(-x)=(-x-1) =-(x+1) 1-x 1+x 1-x 1+x

=- ?1+x??1-x? =-(1-x) 1+x =(x-1) 1-x 1+x =f(x), 1-x

即 f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.
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3 ∵f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠0}, ( ) 其定义域关于原点对称,并且有 1 1 1 1 f(-x)= -x +2= 1 +2 a -1 -1 ax ax 1 = x+ 1-a 2 ?1-ax?-1 1 =- +2 x 1-a 1 1 =-1+ x+ 1-a 2 1 1 =-( x +2)=-f(x). a -1
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即 f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. 【答案】 1 非奇非偶 2 偶 3 奇 ( ) ( ) ( )

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探 1 究

判函的偶,般以几方: 断数奇性一有下种法

1 定法若数定域是于点称区, ( 义:函的义不关原对的间则 ) 立可断函既是函也是函;函的义 即判该数不奇数不偶数若数定 域关原对的间再断 是于点称区,判 2 图法奇 ( 像: ) y 轴)对 . 称 f(-x)是 等 否于 ± f(x). (或

(偶)函 的 充 条 是 的 像 于 点 数 要件它图关原

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3 性法偶数和差积商 ( 质:函的、、、 ) 函 ;函 的 、仍 奇 数奇 数奇 数 和差 为 函 ;

(分 不 零 母为

)仍为偶

(偶)数个奇函数的积、商

(分母不为零)为奇(偶)函 ; 个 函 与 个 函 的 为 数一 奇 数 一 偶 数 积 奇 函数.(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域)

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思考题 1 判断下列函数的奇偶性. 2-x 1 f(x)=ln ( ) ; 2+x 2 g(x)=x2+|x-a|; ( ) 3 ( )
?x2-2x ? f(x)=? 2 ?x +2x ?

?x≥0?, ?x<0?.

【解析】 1 f(x)的定义域为(-2 ( ) 2 ) , 2+x 2-x f(-x)=ln =-ln =-f(x), 2-x 2+x ∴函数 f(x)为奇函数.
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2 g(x)的定义域为 R, ( ) 当 a=0 时,g(x)=x2+|x|. g(-x)=(-x)2+|-x|=x2+|x|=g(x), 此时 g(x)为偶函数. 当 a≠0 时,g(a)=a2, g(-a)=a2+2|a|, 显然 g(a)≠g(-a), g(a)≠-g(-a), ∴此时 g(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

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3 方法一 f(x)的定义域为 R, ( ) 当 x>0 时,-x<0, f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x=f(x). 当 x=0 时,f( =0=f(-0). 0 ) 当 x<0 时,-x>0, f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x=f(x). ∴对于 x∈R 总有 f(-x)=f(x). ∴f(x)为偶函数.

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方法二 当 x≥0 时,f(x)=x2-2x=x2-2|x|. 当 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2-2|x|. ∴f(x)=x2-2|x|. ∴f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|=f(x). ∴f(x)为偶函数.
【答案】 1 奇 2 a=0 时偶 ( ) ( ) ,; a≠0 时非 非 ,奇 偶 偶 3 ( )

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例 2 1 已知函数 f(x)为奇函数且定义域为 R, ( ) x>0 时, f(x) =x+1,f(x)的解析式为_________________________________. 2 f(x)是定义在(-1 ( ) 1 ) , 上的奇函数,且 x∈[ 1 0 ] , 时 f(x)为增

1 函数,则不等式 f(x)+f(x-2)<0 的解集为__________. 3 函数 f(x+1)为偶函数,则函数 f(x)的 像 对 轴 程 ( ) 图的称方 为__________.

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【解析】 1 ∵f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x). ( ) 当 x=0 时,有 f(-0)=-f( 0 ,) 当 x<0 时,-x>0. f(x)=-f(-x)=-(-x+1)=x-1. ?x+1, ? ∴f(x)=?0, ?x-1, ? x>0, x=0, x<0. ∴f( =0. 0 )

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高考调研 2 ∵f(x)为 函 , 在 ( ) 奇数且
∴f(x)在(-1,1)上 增 数 为函. 1 f(x)+f(x-2)<0?

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1 0 ] [ ,

上增数 为函,

∴f(x)在[-1,0]上 是 函 . 也增数

1 1 f(x)< f(x-2)=f(2-x)? - ?-1<x<1, ? ?-1<1-x<1, ? 2 ? 1 ?x< -x ? 2 ∴不 式 等

1 1 ?- <x< . 2 4

1 f(x)+f(x- )<0 的 集 解为 2
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1 1 {x|- <x< }. 2 4
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3 ∵f(x+1)为偶函数, ( )

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∴函数 g(x)=f(x+1)的图像关于直线 x=0 对称. 又函数 f(x)的图像是由函数 g(x)=f(x+1)的 像 右 移 图向平一 个单位而得, ∴函数 f(x)的图像关于直线 x=1 对称.

?x+1, ? 【答案】 1 f(x)=?0, ( ) ?x-1, ? 2 { ( ) 1 1 x|-2<x<4} 3 x=1 ( )
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x>0, x=0, x<0

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探究 2

奇偶函数的性质主要体现在:

1 若 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x); ( ) 若 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x). 2 奇偶函数的对称性. ( ) 3 奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性. ( )

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思考题 2 1 若函数 f(x)是 R 上 偶 数且 ( ) 的 函 ,在 上是减函数,满足 f( π < ) f(a)的实数 a 的 值 围 取范是

[0, +∞) ________.

【解析】 若 a≥0,f(x)在[0,+∞)上 减 数 是函, 且 f( π < ) f(a),得 a<π,∴0≤a≤π. 则由 f(x)在[0,+∞)上 减 数 是函,

若 a<0,∵f( =f(-π π ) ,)

得知 f(x)在(-∞,0]上是增函数. 由于 f(-π f(a),得到 a>-π. < ) 即-π<a< 0 . 由上述两种情况知 a∈(-π,π).
【答案】 (-π,π)
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2 函数 y=f(x-2)为奇函数,则函数 y=f(x)的图像的对称 ( ) 中心为__________.

【解析】 ∵f(x-2)为奇函数, ∴f(x-2)的图像的对称中心为( 0 ) , 又∵f(x)的 像 由 数 图可函 而得, ∴f(x)的图像的对称中心为(-2 0 ) ,
【答案】 (-2 0 ) ,
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f(x-2)的 像 左 移 个 位 图向平两单



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例 3 设函数 f(x)在(-∞,+∞)上满足 f(2-x)=f(2+x), f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[ 7 0 ] , 上,只有 f( =f( =0. 1 ) 3 )

1 证明:函数 f(x)为周期函数; ( ) 2 试求方程 f(x)=0 在 区 ( ) 闭间 数,并证明你的结论.
【分析】 用周期函数的定义证明.

[-200 0,0] 25 5

上根个 的的

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【析 解】

1 ( )

?f?2-x?=f?2+x?, ? 由? ?f?7-x?=f?7+x? ?

?

?f?x?=f?4-x?, ? ? ?f?x?=f?14-x? ?

?f(4-x)=f( -x)? 1 4

f(x)=f(x+10). ∴f(x)为 期 数 周函, T=10.

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2 ∵f( =f( =0 f( ( ) 3 ) 1 ) , 1 ) 故 f(x)在[ 1 0 ,] 和[-1 0 ] ,

=f() 1 3

=f(-7)=f(-9)=0,

上均有两个解. 上有 402 个解,

从而可知函数 y=f(x)在[] 0 2 0 , 5 在[-2 0, 0 5 ] 上有 400 个解,

所以函数 y=f(x)在[-2] 0, 0 2 5 0 5

上有 802 个 . 解

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探究 3 1 证明函数是周期函数应紧扣周期函数的定义. ( ) 2 若函数 f(x)对任意 x 满足 f(x+a)=f(x+b), f(x)为周期 ( ) 则 函 ,函 数若 数 轴对称图形. f(x)对任意 x 满足 f(x+a)=f(b-x),函 图 为 则数像

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思考题 3 1 f(x)的定义域为 R 的 函 , 图 关 直 ( ) 奇 数且 像 于 线 x=1 对称,试判断 f(x)的周期性.
【解析】 ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x). ∵f(x)图像关于直线 x=1 对称,∴f(x)=f(2-x). ∴f(x+4)=f[2-(x+4 =f[-(x+2 =-f(x+2) ] ) ] ) =-f[2-(2+x)]=-f(-x)=-[-f(x)]=f(x). ∴T=4.

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2 f(x)是 义 ( ) 定在

R 上的函数,对任意 x∈R 均 足 满

f(x)=-

1 ,试判断函数 f(x)的周期性. f?x+1? 1 1 【解析】 ∵f(x)=- ,∴f(x+1)=- . f?x? f?x+1?
1 1 ∴f(x+2)=- =- 1 =f(x). f?x+1? - f?x? ∴T=2.
【答案】 T=2

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例4

已知 f(x)为 函 , 偶数 且

f(-1-x)=f(1-x), x∈[ 当 1 0 ] , 时,f(x)的解析式.

时,f(x)=-x+1,求 x∈[ 7 5 ] ,

【析 解】

方一 法

∵f(-1-x)=f(1-x), T=2.

∴f(x)=f(2+x),∴f(x)为 期 数 周函, ∵f(x)为 函 , 偶数 ∴x∈[-1,0]时 - x∈[ , 1 0 ] , f(x)=f(-x)=x+1. ∴x∈[ 6 5 ] , 时 x-6∈[-1,0]. ,
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f(x)=f(x-6)=(x-6)+1=x-5. x∈[ 7 6 ] , 时,x-6∈[ 1 0 ] , .

f(x)=f(x-6)=-(x-6)+1=-x+7. ∴x∈[ 7 5 ,
?x-5 ? ]时,f(x)=? ?-x+7 ?

x∈[5,6], x∈?6,7 .]

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方法二 ∵f(1-x)=f(-1-x), ∴T=2.又∵f(x)是偶函数, ∴f(x)在 R 上的图像如图:

?x-5 x∈[5,6], ? ∴f(x)=? ?-x+7 y∈?6,7 .] ?

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思考题 4 设 f(x)是定义在 R 上 奇 数 且 任 实 的 函 ,对 意 数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[ 2 0 ] , 1 求证:f(x)是周期函数; ( ) 2 当 x∈[ ( ) 4 2 ] , 时,求 f(x)的解析式; . 时,f(x)=2x-x2.

3 计算 f( +f( +f( +?+f() ( ) 0 ) 1 ) 2 ) 0 2 1

【解析】 1 ∵f(x+2)=-f(x), ( ) ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数.

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2 当 x∈[-2,0]时 - x∈[ ( ) , 2 0 ] ,

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,已 知 由 得

f(-x)=2(-x)-(-x)2= 2x-x2. - 又 f(x)是 函 , 奇数 ∴f(x)=x2+2x. 又 x∈[ 当 4 2 ] , 时 x-4∈[-2,0], , ∴f(-x)= f(x)= 2x-x2. - -

∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又 f(x)是 期 周为 4的期数 周函,

∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从求 而得 x∈[ 4 2 ] , 时 f(x)=x2-6x+8. ,
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3 f( =0,f( =0,f( =1,f( =-1. ( 0 ) ) 2 ) 1 ) 3 ) 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f( +f( +f( +f( =f( +f( +f( +f( =?=f( 0 ) 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) 2 008)+f() 0 2 0 9 +f() 0 2 1 0 +f() 0 2 1 =0. =0.

∴f( +f( +f( +?+f() 0 ) 1 ) 2 ) 0 2 1

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常用结论记心中,快速解题特轻松. 1.( 若 f(x)定义域不对称,则 f(x)不 有 偶 . 1 ) 具奇性 2 若 f(x)为奇函数,且在 x=0 处有定义,则 f( =0. ( ) 0 ) 3 若 f(x)为偶函数,则 f(|x|)=f(x). ( )

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2.( 任 一 定 域 于 点 称 函 1 意个义关零对的数 ) 个函 奇数 g(x)与 个 函 一偶数 h(x)和 形 , 的式 则

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f(x)均 写 一 可成 f?x?-f?-x? g(x)= , 2

f?x?+f?-x? h(x)= . 2 2 若数 ( 函 ) 偶数 函, y=f(x)的 义 关 原 对 , 定 域 于 点 称则 f(x)· f(-x)为 函 . 偶数 f(x)+f(-x)为

f(x)-f(-x)为 函 , 奇数

3. 数 函

f(x)关 x=a 对 ?f(a+x)=f(a-x)?f(2a+x)= 于 称

f(-x)?f(2a-x)=f(x).

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4.( 若 f(x)关于 x=a,x=b 都对称,且 a<b,则 f(x)是周 1 ) 期函数且 T=2(b-a). 2 若 f(x)关于(a,0),(b,0)都对称,且 a<b,则 f(x)是周期函 ( ) 数,且 T=2(b-a). 3 若 f(x)关于(a,0)及 x=b 都 称且 ( ) 对, 数,且 T=4(b-a). 5.( 若函数 f(x)满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x)周期 T=2a. 1 ) 1 2 若函数 f(x)满足 f(x+a)= ,则 f(x)周期 T=2a. ( ) f?x?
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a<b, f(x)是周期函 则

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1.对于定义在 R 上的任何奇函数 f(x),均有 A.f(x)-f(-x) > 0 C.f(x)· > f(-x) 0
答案 D

(

)

B.f(x)-f(-x)≤0 D.f(x)· f(-x)≤0

解析 ∵f(-x)=-f(x),∴f(-x)f(x)=-f2(x)≤0.

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2.(1 22 0·

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陕西)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 ( )

A.y=x+1 1 C.y= x
答案 D

B.y=-x3 D.y=x|x|

解析 由函数的奇偶性排除 A, 数 单 性 除 由 的调排 函

B、 C,

由 y=x|x|的图像可知当 x>0 时此函数为增函数,又该函数为奇 函数,故选 D.

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3.若 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则 g(x)=ax3+bx2 +cx 是 A.奇函数 C.非奇非偶函数
答案 A 解析 由 f(x)是偶函数知 b=0, ∴g(x)=ax3+cx 是奇函数.

( B.偶函数 D.既奇又偶函数

)

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4.(1 2· 0

广 理 )设 数 东 函

f(x)和 g(x)分 是 别

R 上偶数 的函和 ( )

奇数则列论成的 函,下结恒立是 A.|f(x)|-g(x)是 函 奇数 B.|f(x)|+g(x)是 函 偶数 C.f(x)-|g(x)|是 函 奇数 D.f(x)+|g(x)|是 函 偶数

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答案 D

解析 设 F(x)=f(x)+|g(x)|,由 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶 函数和奇函数,得 F(-x)=f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|g(x)|=F(x), ∴f(x)+|g(x)|是偶函数,又可判断其他选项不恒成立.

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5.(1 2· 0

安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时, ( B.-1 D.3 )

f(x)=2x2-x,则 f( = 1 ) A.-3 C.1
答案 A

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解 析 方一 法 ∵f(x)是 义 定在

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R上奇数 的函,

且 x≤0 时 f(x)=2x2-x, , ∴f( = f(-1)= 2×(-1)2+(-1)= 3, 选 1 - ) - - 故 方二 法 设 x>0, - x< 则 0 . R上奇数 的函, A.

∵f(x)是 义 定在

且 x≤0 时 f(x)=2x2-x, , ∴f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x. 又 f(-x)= f(x),∴f(x)= 2x2-x. - - ∴f( = 2×12-1= 3, 选 1 - ) - 故
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A.
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6.3 2· (1 0 满 条 :任 足 件对 意 则 f(x)是

杭州)函数 f(x)在定义域 R 上 是 数 数且 不常函, x∈R,有 都

f(x)

f(2+x)=f(2-x), f(1+x)=-f(x), ( )

A.奇函数但非偶函数 B.偶函数但非奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数

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答案 B

解析 依题意,得 f(x+2)=-f(x+1)=f(x), 函 即数

f(x)是

以 2 为周期的函数,所以 f(-x+2)=f(-x).又 f(2+x)=f(2- x),因此有 f(-x)=f(x),即 f(x)是偶函数;若 f(x)是奇函数,则 有 f(-x)=-f(x)=f(x),得 f(x)=0,这与“f(x)不 常 函 是数数 相矛盾,因此 f(x)是偶函数但不是奇函数,选 B. ”

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