当前位置:首页 >> 数学 >>

圆与方程教案


【知识点梳理】
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的 半径。

2、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a ? ? ? y ? b? ? r 2 ,圆心
2 2

?a, b ? ,半径为 r;

点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的位置关系: 当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在圆外
2

当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r ,点在圆上
2

当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在圆内
2

(2)一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
D E ? ,半径为 r ? 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? ? ,? ?
2 2

?

2

2?

2

当 D ? E ? 4 F ? 0 时,表示一个点;
2 2

当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程不表示任何图形。
2 2

(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法: 先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件, 若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过圆心,以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系:

直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: (1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离

d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交 为 d ? Aa ? Bb ? C , 则有 d ? r ? l与C相离 ;
A2 ? B 2

(2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立 ②k 存在,设点斜式方程,用圆心到 该直线距离=半径,求解 k,得到方程【一定两解】

(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a) +(y-b) =r ,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方 程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r
2

2

2

2

4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 设圆 C1 : ?x ? a1 ?2 ? ? y ? b1 ?2 ? r 2 , C2 : ?x ? a2 ?2 ? ? y ? b2 ?2 ? R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当d

? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条;

当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当d

? 0 时,为同心圆。

注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

【典型例题】
题型一:圆的方程 例 1、求过两点 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线 y ? 0 上的圆的标准方程并判断点 P(2 , 4) 与圆的关系.

例 2、求半径为 4,与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 相切,且和直线 y ? 0 相切的圆的方程.

例 3、求经过点 A(0 , 5) ,且与直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 都相切的圆的方程.

例 4、 设圆满足:(1)截 y 轴所得弦长为 2;(2)被 x 轴分成两段弧,其弧长的比为 3 : 1 ,在 满足条件(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线 l:x ? 2 y ? 0 的距离最小的圆的方程.

题型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程

4? 与圆 O 相切的切线. 例 5、已知圆 O:x ? y ? 4 ,求过点 P?2,
2 2

例 6 、两圆 C1:x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与 C2:x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 相交于

A 、 B 两点,求它们的公共弦 AB 所在直线的方程.

例 7、过圆 x ? y ? 1 外一点 M ( 2,3) ,作这个圆的两条切线 MA 、 MB ,切点分别是 A 、 B ,求直线 AB 的方程。
2 2

题型三:弦长、弧问题
2 2 例 8、求直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 被圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦 AB 的长.

例 9、直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x ? y ? 4 得的劣弧所对的圆心角为
2 2

题型四:直线与圆的位置关系: 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置 关系有三种: (1)若 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

, d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ;

(2) d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; (3) d ? r ? 相交 ? ? ? 0 。 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 ? 的个数来判断: (1)当方程组有 2 个公共解时(直线与圆有 2 个交点) ,直线与圆相交; (2)当方程组有且只有 1 个公共解时(直线与圆只有 1 个交点) ,直线与圆相切; (3)当方程组没有公共解时(直线与圆没有交点) ,直线与圆相离; 即:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为Δ ,圆心 C 到直线 l 的距离为 d,则直线与圆的位置关系满足以下关系: 相切 ? d=r ? Δ =0(2)相交 ? d<r ? Δ >0; (3)相离 ? d>r ? Δ <0。

? Ax ? By ? C ? 0
2 2 ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

求解,通过解

例 10、已知直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 和圆 x ? y ? 4 ,判断此直线与已知圆的位置关系.
2 2

例 11、若直线 y ? x ? m 与曲线 y ?

4 ? x 2 有且只有一个公共点,求实数 m 的取值范围.

例 12、 圆 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 9 上到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 1 的点有几个?
2 2

例 13、已知圆 C: ?x ?1?2 ? ? y ? 2?2 ? 25 及直线 l : ?2m ? 1?x ? ?m ? 1?y ? 7m ? 4 . ?m ? R? (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交; (2)求直线 l 与圆 C 所截得的弦长的最短长度及此时直线 l 的方程.

题型五:圆与圆的位置关系
2 2 例 14、求与圆 x ? y ? 5 外切于点 P (?1,2) ,且半径为 2 5 的圆的方程.

例 15、若圆 x ? y ? 2mx ? m ? 4 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 4my ? 4m ? 8 ? 0 相切,求
2 2 2 2 2 2

实数 m 的取值集合。

题型六:圆中的对称问题 例 16、求圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 5 ? 0 对称的圆的方程。

例 17 、自点 A?? 3, 3? 发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,反射光线所在的直线与圆

C:x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 相切
(1)求光线 l 和反射光线所在的直线方程. (2)光线自 A 到切点所经过的路程.

题型七:圆中的最值问题 例 18、已知点 P ( x, y ) 在圆 x ? ( y ? 1) ? 1 上运动.
2 2

(1)求

y ?1 的最大值与最小值; x?2

(2)求 2 x ? y 的最大值与最小值.

题型八:轨迹问题 例 19 、已知点 M 与两个定点 O(0,0) , 的比为

A(3,0) 的距离

1 ,求点 M 的轨迹方程. 2

例 20、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆 ( x ? 1) ? y ? 4 上运动,求
2 2

线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.

2 2 例 21、如图所示,已知圆 O:x ? y ? 4 与 y 轴的正方向交于 A 点,点 B 在直线 y ? 2 上

运动,过 B 做圆 O 的切线,切点为 C ,求 ?ABC 垂心 H 的轨迹.

例 22、已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? r 2 ,圆内有定点 P(a , b) ,圆周上有两个动点 A 、 B , 使 PA ? PB ,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.

题型九:圆的综合应用 例 23、 已知圆 x 2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于 P 、 Q 两点, O 为原 点,且 OP ? OQ ,求实数 m 的值.

2 2 例 24、已知对于圆 x ? ( y ?1) ? 1 上任一点 P( x , y) ,不等式 x ? y ? m ? 0 恒成立,求实

数 m 的取值范围.


相关文章:
圆的标准方程教学设计
圆的标准方程教学设计 王会群 一、 教材分析 1. 教学内容 普通高中课程标准实验教科书《数学》必修 2 第二章平面解析 几何初步中 2﹒2 节圆与方程。本节主要...
圆的方程教案
掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与圆的一般方程. 2. 会根据条件求圆的标准方程和一般方程. 教学重点 圆的标准方程与圆的一般方程的理解;根据条件求圆的...
数学必修2 第四章 圆与方程教案
数学必修2 第四章 圆与方程教案_数学_高中教育_教育专区。第 1 页共 13 页 第四章 圆与方程错误!未找到引用源。4.1.1 圆的标准方程 三维目标:知识与技能:...
圆与方程教案
圆与方程教案_数学_高中教育_教育专区。圆与方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的 半径。 2、圆的方程 (1...
必修2 圆与圆的方程教案
必修2 圆与圆的方程教案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。富县高级中学集体备课教案年级: 课题 高一级 科目: 数学 授课人: 第 1 课时 平面直角坐标系中的...
圆与方程复习教案
圆与方程复习教案_高考_高中教育_教育专区。课题:圆与方程复习教材分析: 本章在第三章“直线与方程”的基础上,在直角坐标系中建立圆的方程,并通过圆的方 程研究...
第四章圆与方程复习教案(教师)
第四章圆与方程复习教案(教师)_数学_高中教育_教育专区。圆与方程复习【学习目标】 1、通过复习帮助同学们系统掌握本章知识。 2、通过习题帮助同学们熟悉相关知识...
圆与方程教案
圆与方程教案_数学_高中教育_教育专区。圆与方程优秀教案,题型归纳详细全面,适合一对一授课【知识点梳理】 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合...
圆与方程教案
圆与方程教案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。必修2圆与方程 必修1 1.下列表示同一个函数的是 A. f ( x) ? x2 ?1 , g ( x) ? x ? 1 x ?1...
第四章 圆与方程教案
第四章 圆与方程教案_数学_高中教育_教育专区。9课时全章教案第四章 4.1 4.2 4.3 4.4 圆与方程 圆的方程(2 课时) 直线、圆的位置关系(4 课时) 空间直角坐...
更多相关标签: