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2016年浙江省高考数学试卷(文科)


【题目】1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 P={1,3,5},Q={1,2,4}, 则(?UP)∪Q=( ) A.{1} B.{3,5} C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5} 【题型】选择题 【知识点】交、并、补集的混合运算 【出处】2016?浙江 【答案】C 【解析】解:?UP={2,4,6}, (?UP)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={

1,2,4,6} 【题目】2.已知互相垂直的平面 α ,β 交于直线 l,若直线 m,n 满足 m∥α , n⊥β ,则( ) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 【题型】选择题 【知识点】直线与平面垂直的判定 【出处】2016?浙江 【答案】C 【解析】解:∵互相垂直的平面 α ,β 交于直线 l,直线 m,n 满足 m∥α , ∴m∥β 或 m?β 或 m⊥β ,l?β , ∵n⊥β , ∴n⊥l 【题目】3.函数 y=sinx2 的图象是( )

A.

B.

C.

D. 【题型】选择题 【知识点】函数的图象

【出处】2016?浙江 【答案】D 【解析】解:∵sin(﹣x)2=sinx2, ∴函数 y=sinx2 是偶函数,即函数的图象关于 y 轴对称,排除 A,C; 由 y=sinx2=0, 则 x2=kπ ,k≥0, 则 x=± ,k≥0, 故函数有无穷多个零点,排除 B

【题目】4.若平面区域

,夹在两条斜率为 1 的平行直线之间,则 )

这两条平行直线间的距离的最小值是( A. B. C. D.

【题型】选择题 【知识点】简单线性规划 【出处】2016?浙江 【答案】B 【解析】解:作出平面区域如图所示:

∴当直线 y=x+b 分别经过 A,B 时,平行线间的距离相等. 联立方程组 ,解得 A(2,1) ,

联立方程组

,解得 B(1,2) .

两条平行线分别为 y=x﹣1,y=x+1,即 x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0. ∴平行线间的距离为 d= =

【题目】5.已知 a,b>0 且 a≠1,b≠1,若 logab>1,则( ) A. (a﹣1) (b﹣1)<0 B. (a﹣1) (a﹣b)>0 C. (b﹣1) (b﹣a)<0 D. (b ﹣1) (b﹣a)>0 【题型】选择题 【知识点】不等关系与不等式 【出处】2016?浙江 【答案】D 【解析】解:若 a>1,则由 logab>1 得 logab>logaa,即 b>a>1,此时 b﹣a >0,b>1,即(b﹣1) (b﹣a)>0, 若 0<a<1,则由 logab>1 得 logab>logaa,即 b<a<1,此时 b﹣a<0,b<1, 即(b﹣1) (b﹣a)>0, 综上(b﹣1) (b﹣a)>0 【题目】6.已知函数 f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x) )的最小值与 f (x)的最小值相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【题型】选择题 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【出处】2016?浙江 【答案】A 【解析】解:f(x)的对称轴为 x=﹣ ,fmin(x)=﹣ (1)若 b<0,则﹣ >﹣ )=﹣ , .

,∴当 f(x)=﹣ 时,f(f(x) )取得最小值 f(﹣

即 f(f(x) )的最小值与 f(x)的最小值相等. ∴“b<0”是“f(f(x) )的最小值与 f(x)的最小值相等”的充分条件. (2)若 f(f(x) )的最小值与 f(x)的最小值相等, 则 fmin(x)≤﹣ ,即﹣ ≤﹣ ,解得 b≤0 或 b≥2.

∴“b<0”不是“f(f(x) )的最小值与 f(x)的最小值相等”的必要条件

【题目】7.已知函数 f(x)满足:f(x)≥|x|且 f(x)≥2x,x∈R. ( A.若 f(a)≤|b|,则 a≤b B.若 f(a)≤2b,则 a≤b C.若 f(a)≥|b|,则 a≥b D.若 f(a)≥2b,则 a≥b 【题型】选择题 【知识点】函数恒成立问题 【出处】2016?浙江 【答案】B



【解析】解:A.若 f(a)≤|b|,则由条件 f(x)≥|x|得 f(a)≥|a|, 即|a|≤|b|,则 a≤b 不一定成立,故 A 错误, b B.若 f(a)≤2 , 则由条件知 f(x)≥2x, 即 f(a)≥2a,则 2a≤f(a)≤2b, 则 a≤b,故 B 正确, C.若 f(a)≥|b|,则由条件 f(x)≥|x|得 f(a)≥|a|,则|a|≥|b|不一定 成立,故 C 错误, D.若 f(a)≥2b,则由条件 f(x)≥2x,得 f(a)≥2a,则 2a≥2b,不一定成 立,即 a≥b 不一定成立,故 D 错误 【题目】8.如图,点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|, An≠An+1,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+1,n∈N*, (P≠Q 表示点 P 与 Q 不重合) 若 dn=|AnBn|,Sn 为△AnBnBn+1 的面积,则( )

A.{Sn}是等差数列 B.{Sn2}是等差数列 C.{dn}是等差数列 D.{dn2}是等差数列 【题型】选择题 【知识点】数列与函数的综合 【出处】2016?浙江 【答案】A 【解析】解:设锐角的顶点为 O,|OA1|=a,|OB1|=b, |AnAn+1|=|An+1An+2|=b,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d, 由于 a,b 不确定,则{dn}不一定是等差数列, {dn2}不一定是等差数列, 设△AnBnBn+1 的底边 BnBn+1 上的高为 hn,

由三角形的相似可得

=

=



=

=



两式相加可得, 即有 hn+hn+2=2hn+1,

=

=2,

由 Sn= d?hn,可得 Sn+Sn+2=2Sn+1, 即为 Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn, 则数列{Sn}为等差数列.

【题目】9.某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的表面积是 2 3 cm ,体积是 cm .

【题型】填空题 【知识点】由三视图求面积、体积 【出处】2016?浙江 【答案】80;40 【解析】解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是下部为长方体,其长和宽都为 4,高为 2, 表面积为 2?4?4+2?42=64cm2,体积为 2?42=32cm3;

上部为正方体,其棱长为 2, 表面积是 6?22=24 cm2,体积为 23=8cm3; 所以几何体的表面积为 64+24﹣2?22=80cm2, 体积为 32+8=40cm3 【题目】10.已知 a∈R,方程 a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0 表示圆,则圆心坐标 是 ,半径是 . 【题型】填空题 【知识点】圆的一般方程 【出处】2016?浙江 【答案】 (﹣2,﹣4) ,5 【解析】解:∵方程 a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0 表示圆, ∴a2=a+2≠0,解得 a=﹣1 或 a=2. 当 a=﹣1 时,方程化为 x2+y2+4x+8y﹣5=0, 配方得(x+2)2+(y+4)2=25,所得圆的圆心坐标为(﹣2,﹣4) ,半径为 5; 当 a=2 时,方程化为 此时 , ,方程不表示圆 ,

【题目】11.已知 2cos2x+sin2x=Asin(ω x+φ )+b(A>0) ,则 A= b= . 【题型】填空题 【知识点】两角和与差的正弦函数 【出处】2016?浙江 【答案】 ;1

【解析】解:∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x =1+ = ( cos2x+ sin2x)+1

sin(2x+ ,b=1

)+1,

∴A=

【题目】12.设函数 f(x)=x3+3x2+1,已知 a≠0,且 f(x)﹣f(a)=(x﹣b) (x﹣a)2,x∈R,则实数 a= ,b= .

【题型】填空题

【知识点】函数与方程的综合运用 【出处】2016?浙江 【答案】﹣2;1 【解析】解:∵f(x)=x3+3x2+1, ∴f(x)﹣f(a)=x3+3x2+1﹣(a3+3a2+1) =x3+3x2﹣(a3+3a2) ∵(x﹣b) (x﹣a)2=(x﹣b) (x2﹣2ax+a2)=x3﹣(2a+b)x2+(a2+2ab)x﹣a2b, 且 f(x)﹣f(a)=(x﹣b) (x﹣a)2, ∴ ,解得 或 (舍去)

【题目】13.设双曲线 x2﹣

=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,若点 P 在双曲线 .

上,且△F1PF2 为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是 【题型】填空题 【知识点】双曲线的简单性质 【出处】2016?浙江 【答案】 ( )

【解析】解:如图, 由双曲线 x2﹣ ∴ =1,得 a2=1,b2=3, .

不妨以 P 在双曲线右支为例,当 PF2⊥x 轴时, 把 x=2 代入 x2﹣ =1,得 y=±3,即|PF2|=3,

此时|PF1|=|PF2|+2=5,则|PF1|+|PF2|=8; 由 PF1⊥PF2,得 又|PF1|﹣|PF2|=2,① 两边平方得: ∴|PF1||PF2|=6,② 联立①②解得: 此时|PF1|+|PF2|= . , , ,

∴使△F1PF2 为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是(

) .

【题目】 14. 如图, 已知平面四边形 ABCD, AB=BC=3,CD=1,AD= , ∠ADC=90°, 沿直线 AC 将△ACD 翻折成△ACD′,直线 AC 与 BD′所成角的余弦的最大值 是 .

【题型】填空题 【知识点】异面直线及其所成的角 【出处】2016?浙江 【答案】 【解析】解:如图所示,取 AC 的中点 O,∵AB=BC=3,∴BO⊥AC, 在 Rt△ACD′中, 作 D′E⊥AC,垂足为 E,D′E= CO= ,CE= = . = , = = . .

∴EO=CO﹣CE=

过点 B 作 BF∥BO,作 FE∥BO 交 BF 于点 F,则 EF⊥AC.连接 D′F.∠FBD′为直 线 AC 与 BD′所成的角. 则四边形 BOEF 为矩形,∴BF=EO= .

EF=BO=

=



则∠FED′为二面角 D′﹣CA﹣B 的平面角,设为 θ . 则 D′F2= + ﹣2? cosθ = ﹣5cosθ ≥ ,

cosθ =1 时取等号. ∴D′B 的最小值= =2.

∴直线 AC 与 BD′所成角的余弦的最大值=

=

=



【题目】15.已知平面向量 , ,| |=1,| |=2, 则| |+| |的最大值是 .

=1,若 为平面单位向量,

【题型】填空题 【知识点】平面向量数量积的运算 【出处】2016?浙江 【答案】 【解析】解:| |+| |= ,

其几何意义为 在 上的投影的绝对值与 在 上投影的绝对值的和, 当 与 ∴ 共线时,取得最大值. =

【题目】 16. 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 b+c=2acosB. (1)证明:A=2B;

(2)若 cosB= ,求 cosC 的值. 【题型】解答题 【知识点】正弦定理 【出处】2016?浙江 【答案】 (1)证明:∵b+c=2acosB, ∴sinB+sinC=2sinAcosB, ∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, ∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B) ,由 A,B∈(0,π ) , ∴0<A﹣B<π ,∴B=A﹣B,或 B=π ﹣(A﹣B) ,化为 A=2B,或 A=π (舍去) . ∴A=2B. (II)解:cosB= ,∴sinB= cosA=cos2B=2cos2B﹣1= ,sinA= = . = . + ? =

∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=

【解析】 (1)由 b+c=2acosB,利用正弦定理可得:sinB+sinC=2sinAcosB,而 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,代入化简可得:sinB=sin(A﹣B) ,由 A, B∈(0,π ) ,可得 0<A﹣B<π ,即可证明. (II)cosB= ,可得 sinB= sinA= .cosA=cos2B=2cos2B﹣1,

.利用 cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB 即可得出
*

【题目】17.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N . (Ⅰ)求通项公式 an; (Ⅱ)求数列{|an﹣n﹣2|}的前 n 项和. 【题型】解答题 【知识点】数列递推式 【出处】2016?浙江 【答案】解: (Ⅰ)∵S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*. ∴a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1, 解得 a1=1,a2=3, 当 n≥2 时,an+1=2Sn+1,an=2Sn﹣1+1, 两式相减得 an+1﹣an=2(Sn﹣Sn﹣1)=2an, 即 an+1=3an,当 n=1 时,a1=1,a2=3, 满足 an+1=3an,



=3,则数列{an}是公比 q=3 的等比数列,

则通项公式 an=3n﹣1. (Ⅱ)an﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2, 设 bn=|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|, 则 b1=|30﹣1﹣2|=2,b2=|3﹣2﹣2|=1, 当 n≥3 时,3n﹣1﹣n﹣2>0, 则 bn=|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2, 此时数列{|an﹣n﹣2|}的前 n 项和 Tn=3+ ﹣

=



则 Tn=

=



【解析】 (Ⅰ)根据条件建立方程组关系,求出首项,利用数列的递推关系证明 数列{an}是公比 q=3 的等比数列,即可求通项公式 an; (Ⅱ) 讨论 n 的取值,利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列 {|an﹣n﹣2|}的前 n 项和 【题目】18.如图,在三棱台 ABC﹣DEF 中,平面 BCFE⊥平面 ABC,∠ACB=90°, BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (Ⅰ)求证:BF⊥平面 ACFD; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值.

【题型】解答题 【知识点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定 【出处】2016?浙江 【答案】解: (Ⅰ)证明:延长 AD,BE,CF 相交于一点 K,如图所示: ∵平面 BCFE⊥平面 ABC,且 AC⊥BC;

∴AC⊥平面 BCK,BF?平面 BCK; ∴BF⊥AC; 又 EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2; ∴△BCK 为等边三角形,且 F 为 CK 的中点; ∴BF⊥CK,且 AC∩CK=C; ∴BF⊥平面 ACFD; (Ⅱ)∵BF⊥平面 ACFD; ∴∠BDF 是直线 BD 和平面 ACFD 所成的角; ∵F 为 CK 中点,且 DF∥AC; ∴DF 为△ACK 的中位线,且 AC=3; ∴ 又 ; ; ,cos ;

∴在 Rt△BFD 中,

即直线 BD 和平面 ACFD 所成角的余弦值为



【解析】 (Ⅰ)根据三棱台的定义,可知分别延长 AD,BE,CF,会交于一点,并 设该点为 K,并且可以由平面 BCFE⊥平面 ABC 及∠ACB=90°可以得出 AC⊥平面 BCK,进而得出 BF⊥AC.而根据条件可以判断出点 E,F 分别为边 BK,CK 的中点, 从而得出△BCK 为等边三角形, 进而得出 BF⊥CK,从而根据线面垂直的判定定理 即可得出 BF⊥平面 ACFD; (Ⅱ)由 BF⊥平面 ACFD 便可得出∠BDF 为直线 BD 和平面 ACFD 所成的角,根据 条件可以求出 BF= ,DF= ,从而在 Rt△BDF 中可以求出 BD 的值,从而得出

cos∠BDF 的值,即得出直线 BD 和平面 ACFD 所成角的余弦值 【题目】19.如图,设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|﹣1, (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)若直线 AF 交抛物线于另一点 B,过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直 的直线交于点 N,AN 与 x 轴交于点 M,求 M 的横坐标的取值范围.

【题型】解答题 【知识点】直线与椭圆的位置关系;抛物线的简单性质 【出处】2016?浙江 【答案】解: (Ⅰ)由题意可得,抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于 A 到直线 x= ﹣1 的距离, 由抛物线定义得, ,即 p=2;

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得, 抛物线方程为 y2=4x, F (1, 0) , 可设 (t2, 2t) , t≠0, t≠±1, ∵AF 不垂直 y 轴, ∴设直线 AF:x=sy+1(s≠0) , 联立 y1y2=﹣4, ∴B( ) , ,故直线 FN 的斜率为 , ,得 y2﹣4sy﹣4=0.

又直线 AB 的斜率为

从而得 FN:

,直线 BN:y=﹣ ,

则 N(

) ,

设 M(m,0) ,由 A、M、N 三点共线,得



于是 m=

=

,得 m<0 或 m>2.

经检验,m<0 或 m>2 满足题意.

∴点 M 的横坐标的取值范围为(﹣∞,0)∪(2,+∞) 【解析】 (Ⅰ)利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程,进一步求得 p 值; (Ⅱ)设出直线 AF 的方程,与抛物线联立,求出 B 的坐标,求出直线 AB,FN 的斜率,从而求出直线 BN 的方程,根据 A、M、N 三点共线,可求出 M 的横坐标 的表达式,从而求出 m 的取值范围 【题目】20.设函数 f(x)=x3+ (Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2 (Ⅱ) <f(x)≤ . 【题型】解答题 【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用 【出处】2016?浙江 【答案】解: (Ⅰ)证明:因为 f(x)=x3+ 且 1﹣x+x2﹣x3= = , ,x∈[0,1], ,x∈[0,1],证明:

所以



, ,

所以 1﹣x+x2﹣x3≤

即 f(x)≥1﹣x+x2; (Ⅱ)证明:因为 0≤x≤1,所以 x3≤x, 所以 f(x)=x3+ ≤x+ =x+ ﹣ + = + ≥ , + ≤ ;

由(Ⅰ)得,f(x)≥1﹣x+x2= 且 f( )= + = > ,

所以 f(x)> ; 综上, <f(x)≤

【解析】 (Ⅰ) 根据题意, 1﹣x+x2﹣x3= 即可证明结论成立;

, 利用放缩法得





(Ⅱ)利用 0≤x≤1 时 x ≤x,证明 f(x)≤ ,再利用配方法证明 f(x)≥ , 结合函数的最小值得出 f(x)> ,即证结论成立

3


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