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3.3 三角函数的积化和差与和差化积1


3. 4

三角函数的积化和差与和差化积

一、素质教育目标 (一)知识教学点 1.三角函数的积化和差.

2.三角函数的和差化积.

(二)能力训练点 1.三角函数的积化和差与和差化积,这两种互化, 对于求三角函数的值、化商三角函数式及三角函数式 的恒等变形,都有重要的作用,它们的作用和地位在 三

角函数值的变形中是十分重要的. 2.积化和差与和差化积公式的推导过程本身也运用 了许多重要的教学思想和方法,在课堂教学中应作为 重要一环给予足够的重视. (三)德育渗透点 数学学习中,处处充满辩证法,和差化积与积化和差 看似是一对矛盾,但它们又处在对立统一体中,这些 公式中,从左到右为积化和差,而从右到左则成为和 差化积.在实际应用,他们又是相辅相成的,通过这 一内容的教学,使学生受到一次辩证法实例的教育, 不失为一个好时机.

二、教学重点、难点 1.教学重点:理顺三角公式变换的相互关系,掌握积化 和差与和差化积公式的推导过程, 并能用它们解决一些 实际问题, 以及用好用活

2.教学难点: (1)公式的推导. (2)公式的应用. (3)三角式的恒等变换的一般规律. 三、课时安排 4课时. 四、教与学过程的设计

第一课时

三角函数的积化和差

(一)复习和、差角的正弦与余弦公式 师:前阶段我们已学习了和差、倍、半角的三角函数的 公式,请问学生回忆一下这些三角公式的推导,变换过 程. 生:所有这些三角公式都是从一个公式演化而来的,主 要是证明了两角和的余弦函数公式.之后,利用换元法 以及诱导公式,同角三角函数之间的关系等而导出一系 列公式来,他们相互之间是有紧密关系的. 师:和、差、倍、半角的三角函数是一组十分重要的公 式,它们在解决三角恒等变换等方面有许多重要应 用.但是,光是这些关系还不足以解决问题,今天我们 还要进一步把握它们的内在联系,寻求新的关系式. (二)引入新课 请学生说出正、余弦的和差角公式(板书)

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(1) sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsingβ(2) cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(3) cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(4) 师:请同学们注意观察这四个公式,考虑一下能否利用 这些公式得出一些新关系来. 生1:把(1)式与(2)式相加可得 sin(α+β)+sin(α-β)=αsinαcosβ. 生2:把(1)式与(2)式相减可得 sin(α+β)-sin(α-β)=αcosαsinβ. 师:(3)、(4)两式作类似的加、减还可以得到: cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ, cos(α+β)- cos( α-β)=-2sinαsinβ. 师:若把这四个关系式整理一下,即可得到

以上这四个公式的特征是把三角函数的积的形式转化 为三角函数的和、差的形式,我们把上述公式称为三 角函数的积化和差公式. 积化和差公式的功能可以把三角函数的一种形式(积的 形式)转化为另一种形式(和差的形式),这种转化可以 使得一些我们无法解决的问题变成可能解决的问题, 它们在三角式的变换中有很重要的作用.现在请同学 们先翻开课本P.227,先看看这段课文,特别是注意 公式的函数,函数名、角的形式等特征,记好这四个 公式(五分钟阅读,让学生记忆).

师:现在暂停读书,这几个公式形式比我们过去 学过的其他三角公式要复杂一些,记好用好这些 公式得有一段过程,当然,千万不要死记硬背, 适当做一些练习,掌握这些公式的实际应用,是 可以逐步掌握它们的.让我们看看以下的例题. 例题 求sin75°· cos15°的值. 请同学们想想有什么办法可以解决这个问题? 生1:考虑到75°±15°都是特殊角,所以想到使 用积化和差公式解决之.

师:很好,用我们刚刚学过的积化和差公式可以 很方便地解决这个问题,请大家想想是否还有其 他解法? 生2:由于75°与15°互为余角,所以可以采用以 下的解法.

生3:由于75°与15°可以由45°与30°组合而成, 所以只要用到和差角的三角函数公式就可以解决 了.

师:从这个例题的几种解法,我们可以看出,三角 函数求值或恒等变换,往往可以从不同角度考虑, 进而使用不同的三角公式,获得问题的解决,可谓 殊途同归,但是我们考虑问题时,一定要根据条件 及结论、选择适当的方法,以求问题的解决.现在, 请同学们取出课堂练习本,完成以下的几个练习. (三)课堂练习 1.求sin20°· cos70°+sin10°· sin50°的值, 2.求cos37.5°· cos22.5°的值,

学生练习、教师巡视、答疑,对一些有困难的学 生作些提示,适当时候,安排几个学生作板演. 练习题解法: 1.sin20· cos70°+sin10°· sin50°

2. cos37.5°· cos22.5°

而sin20°· sin40°· sin80°

(四)课堂小结 本节课,我们学习了三角函数的积化和差公式,虽 然这些公式是新出现的,但它和过去学习的一些三 角公式有密切的关系,所以首先应理清他们的内在 联系,这组公式的功能可以把三角函数的积的形式 转化为和差的形式,通过例解及课堂练习,同学们 也开始发现这组公式的作用,希望同学们在今后的 学习中记好、用好这一组公式 五、作业 P.231中3;P.236中1、2. 六、板书设计

第二课时

三角函数的和差化积

一、教与学过程设计 (一)复习积化和差公式 1.请学生复述积化和差公式,教师板书

2.部分作业选讲 ① 证明 cos2αcosα—sin5αsin2α=cos4α·cos3α. 利用积化和差公式,可得

② 求cos20°、cos40°、cos80°的值. 解法一

师:我们知道,每个数学公式都有两方面的应用,即正 用与逆用.积化和差公式也不例外,那么,积化和差公 式的逆用应怎么称呼呢? 生:应称为三角函数的和差化积公式. 师:确实如此,这节课,我们就来学习三角函数的和差 化积公式. (二)引入新课 由三角函数的积化和差公式的逆用,我们可得以下几个 公式: sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ; sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ; cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ; cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ. 为了突出这组公式是三角函数的和差化积公式并能方便 地记忆,可作如下的换元:

这样我们就得到如下的三角函数的积化和差公式

和差化积公式与积化和差公式相反,它可以把三角函数 的和差的形式转化为积的形式,从而获得问题的解决. 如前面评讲的作业,也可以一直由等式的左边一直推到 等式的右边.

例1 求sin42°-cos12°+sin54°的值. 分析:这是三角中常遇到的问题,由于原题是三个三 角函数的和差形式,自然想到要使用和差化积公式, 由于上述问题中现成的同名角函数为sin42°、sin54°, 因而一般做法是将这二个函数做和差化积(稍停 顿).但本题若采用此法则无后续手段,问题的解决将 十分困难.应该说这种思考的方向是正确的,但我们 不是为和差化积而和差化积,而是为问题的解决而和 差化积的,一般地说出现多个三角函数的和差时,应 选择能出现特殊角的一组进行.鉴于此,本题应采取 下面的解法. 解:原式=sin42°-sin78°+sin54° =-2cos60°sin18°+sin54° =cos54°-sin18° =2sin36°sin18°.

师:进行到此,本题的化简能进行下去吗? 生:可试着使用正弦函数的倍角公式化简. 2cos36°sin18°

师:本题与前面的例题形式上是差不多的,请大家想 一想该怎么解? 生:(议论)用和差化积公式化简应是可行的,由于本 题三个函数都是余弦,而任两角的和、差都不为特殊 角,所以可任选其中的两个先作和差化积.

提问一个学生,可得如下变形

师:到此,下一步比较关键(指导学生讨论),逐步统 一到如下解法:

师:本题对初学和积互化的关系式中是比较困难的,采 用同样的方法也可以对1、3两项或2、3两项先使用和差 化积公式,再利用余弦的倍角进一步完成本题. 本题还可以采用积化和差的办法解决之.

(三)小结 和差化积公式的左边全是同名函数的和或差,只有负 数绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用公式 化成积的形式,如果是一个正弦与一余弦的和或差必 须先用诱导公式化成同名函数后,再运用积化和差公 式化成积的形式. 无论是和差化积还是积化和差中的“和差”与“积”, 都是指得三角函数间的关系,并不是角的关系,这是 必须十分清楚的. 三角函数的和差化积所要求的最后结果,只要是三角 函数的积的形式就可以了,不求形式上的一致.

遇到三个或三个以上的三角函数的和差化积或积化和 差,可以先在其中的二个函数中进行(遇到这种情况多 半会组合出特殊角),然后再与其他的三角函数继续进 行下去.今天课上例2的第二种解法主要适用于三角函 数式中的角是等差的,通常分子分母上同乘以公差一 半的正弦. 二、板书设计

第三课时

习题课

三角函数是中学数学的一个很重要的学习内容, 这二章(第三章与第四章)从介绍三角函数的定义、 性质、图象开始逐步深入,学习的进程高潮迭起, 特别是从和、差、倍、半角的三角函数直到三角 函数的和差化积与积化和差,既充分揭示了三角 函数的内在关系,且每组公式又都有它自身的使 用范围,另外三角函数这块内容又是学习其他数 学分支的重要工具,在函数研究、立体几何、代 数及解析几何中都有广泛的应用,学好三角函数 是学好其他数学分支的重要基础.由于三角公式 相当多,所以记忆和应用就显得十分重要,安排 两节习题课的目的,就是希望通过练习及比较, 使学生能熟练掌握进行三角恒等变换的一般方 法. (一)复习和差化积与积化和差公式 (二)作业评讲 1.求cos20°+cos100°+cos140°.

=cos40°+cos140° =0. 2.△ABC中,求证cos2A+cos2B+cos2C=-14cosAcosBcosC. 证明:∵A、B、C为△ABC的三内角. ∴A+B+C=π,即C=π-(A+B). ∴原式左边=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1 =2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1 =2cos(A+B)[cos(A+B)+cos(A-B)]-1 =4cos(A+B)cosAcosC-1 =-1-4cosAcosBcosC. (三)范例选解 例1 求sin220°+cos250°+sin20°· cos50°的值. 分析:本题有两个平方式,遇到三角函数的平方式(包含 三次,四次式等),常利用余弦的倍角公式作降次处理.

(当然也可以把它们视为二个三角函数的积做积化和差.) 作了如下处理后,即成为三角函数一次式的和差了,自然 做和差化积.

若又注意到本题的结构,以下解法也是可以考虑的. 原式=(sin20°+sin40°)2-sin20°· cos50° =[2sin30°cos10°]2-sin20°· cos50°

当然,也可以这样配方 原式= (sin20°-sin40°)2+3sin20°cos50°

例题2 求ctg70°+4cos70°的值. 分析:由于本题余切函数与余弦函数共存,∴首 先应化切为弦,接着自然是要做通分,最后再考 虑分子的化简,由于分子的三角函数的系数不同, 一拆为二就是必然的了.

习题课上,教师主要讲以上二例,虽为例解,但应 注意调动学生积极思考,注意学生提出的问题以及 学生提出的处理方法,若方向对头应予以肯定,若 方法不当也应帮助分析原因. 以下几个练习主要由学生完成,练习题预先写在幻 灯片上,适时安排学生板演,习题课的形式是讲讲、 议议、练练. (四)练习题

3.tg10°+sec50° 课堂练习题分析及解法:

2.类似本题的条件,有两条路可供选择,其一是将 两式两边分别平方后再相加,但这样处理所能得到 的是cos(α-β)的值,但采用这样的办法于事无补.另 一条路是把两个某式左边的三角函数分别作和差化 积可得到如下关系:

3.本题若只是简单处理,可能会做不下去.

到此或许许多人就束手无策了,当然,这样做如果 处理得法,还是会最后得到正确结果的,但是计算 太大了. 若注意到10°、50°分别与80°、40°互为余角, 利用诱导公式可得如下解法.

(四)小结 三角函数的恒等变换,由于三角公式较多、用起 来也较活,所以应当掌握变形的一般规律,而一 般规律的获得主要靠自己的实践以及理性上的升 华。通过一个阶段的学习与练习,应是有一定体 会的.一般说三角变换问题,首先要关注问题中 的角,特别是角的和、差、倍、半关系,当然这 些关系也不是一成不变的,如适当时候,我们也 可以把α看作是

说三角函数的恒等变换常用的规则是:化繁为简、 化高为低(降次),化复合角为单角(和差角公式),化 切割为弦,化大角为小角,和差化积,积化和差。 所有这些希望同学们通过自己的实践慢慢揣摸.

,它的功能可以把任意函数而同角的正、余弦函数 转化为只含有一个函数的形状,这个变换对于函数 三角函数的性质,诸如确定三角函数的周期、最值、 划分单调区间等都是十分有用的,掌握好这个公式 在一些看似困难的问题都能巧妙地解决,所以课本 P.234中例12的内容单独安排一节课. 思考:把下列各式化为只含有一个三角函数的形 式.

(ii)-sinx+cosx, (iii)asinx+bcosx.

∴原式=cos60°sinx-sin60°cosx =sin(x-60°). 师:很好,象这样的问题只要运用三角函数的和差 角公式即可了,

和正弦,那么函数能分别看作正弦、余弦的应具备 什么条件? 生:函数的平方和必须为1. 师:那么,函数的平方和不是1的情况应怎样操作? 后面的练习将

这样这道题也可以这样处理: 原式=sin30°sinx-cos30°cosx =-(cos30°cosx-sin30°sinx) =-cos(x+30°). 虽然这两种做法的最后结果形式也有差异,但它们实 质也是相等的,这两种解法的结论都符合题意.

弦.由于余弦值为正号、正弦值为负号,这样的角终 边位置在第四象限.∴

∴原式=sinxcos300°-cosxsin300° =sin(x+300°). 最后提及的处理方法是解决此类问题的通法,请同学 们观察这种解法的几何特征,希望大家在处理同类问 题时统一地用这种解法. 现在再请一位同学提出第二题的处理办法. 生2:由于本题函数的平方和不为1,为了能将它们转 化为正、余弦值,应考虑到(-1)2+12=2 ∴可以这样解决之

师:很好,应该说你们已揣摸出解这类题的真谛了, 现在看看更一般的形式,即练习3(继续请学生回答问 题). 生3:模仿练习二的作法.

本,做以下几个练习,巩固公式的变形,体会这个公 式的应用. 练习题:

学生做练习,教师巡视、答疑、提示,用时约15分钟, 并请一些学生板演. 练习题解答

特殊角的一次换式,很快可获得原题的解答.

2.求y=(1+sinx)(1+cosx)的值域. 分析:首先去括号是必然的,注意到 (sinx+cosx)2=1+2sinxcosx.∴原式可作如下转化, y=1+(sinx+cosx)+sinxcosx. 令sinx+cosx=t

t2(1+3y)+2t+1-y=0. ∵t∈R,∴△=4-4(1-y)(1+3y)≥0. 可得3y2-2y≥0

另一种解法则是利用一次换式,简捷地解决问题 解:由已知得 2ycosx-y=sinx+1, ∴sinx-2ycosx=-y-1.
∴y2+2y+1≤1+4y2. 得 3y2-2y≤0,

(三)作业 1.读书P.234中例12——P.236. 2.书面作业 P.236中.4,P.238中.7. 补充作业

(3)半圆O的直径为2,A是直径延长线上一点,OA=2, B是半圆上任一点,以AB为一边作正三角形ABC.设 ∠AOB=θ,四边形OACB面积为S(θ),(1)求S(θ)的解析 式(2)问B在什么位置时,四边形OACB的面积最大并求 最大面积.


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