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第七章 立体几何(1)(烟台市芝罘区数学精品一轮)-空间中的平行和垂直关系


【烟台芝罘区】明老师

第七章 立体几何-空间中的平行和垂直关系
烟台市芝罘区精品一轮 【知识结构图】
构成几何体 的基本元素 空间几何体 柱、锥、台、 球的特征 直 观 认识 线 面 平 行与 垂 直 表 面 积与 体 积 中 心 投影 与 平行投影

直 观 图与 三 视图的画法

平面的基本性质

点 、 线、 面 之 间 的位 置 关系

确定平面的位置关系 直线与直线的平行关系

空间中的平行关系

直线与平面平行的判断及性质 平面与平面平行的判断及性质 直线与直线的垂直关系

空间中的垂直关系

直线与平面垂直的判断及性质 平面与平面垂直的判断及性质

第3课

空间中的平行关系

【考点导读】 1.掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。 2.明确定义与定理的不同,定义是可逆的,既是判定也是性质,而判定定理与 性质定理多是不可逆的。 3.要能灵活的对“线线平行” 、 “线面平行”和“面面平行”进行转化。 【基础练习】 1.若 a、b 为异面直线,直线 c∥a,则 c 与 b 的位置关系是 异面或相交

【烟台芝罘区】明老师 2.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行. 行. ③若直线 l1 , l2 与同一平面所成的角相等,则 l1 , l2 互相平行. ④若直线 l1 , l2 是异面直线,则与 l1 , l2 都相交的两条直线是异面直线. 其中假 命题的个数是 . 4 个。 垂直 。 ②垂直于同一平面的两个平面互相平

3.对于任意的直线 l 与平面 a,在平面 a 内必有直线 m,使 m 与 l

4. 已知 a、b、c 是三条不重合的直线,α 、β 、r 是三个不重合的平面,下面 六个命题: ①a∥c,b∥c ? a∥b;②a∥r,b∥r ? a∥b;③α ∥c,β ∥c ? α ∥β ; ④α ∥r,β ∥r ? α ∥β ;⑤a∥c,α ∥c ? a∥α ;⑥a∥r,α ∥r ? a∥α . 其中正确的命题是 【范例导析】 例 1.如图,在四面体 ABCD 中,截面 EFGH 是平行四边形. 求证:AB∥平面 EFG. 证明 :∵面 EFGH 是截面. ①④ 。

∴点 E,F,G,H 分别在 BC,BD,DA,AC 上. ∴EH 面 ABC,GF 面 ABD,

由已知,EH∥GF.∴EH∥面 ABD. 又 ∵EH ∴EH∥AB. ∴AB∥面 EFG. 例 2. 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 N 在 BD 上,点 M 在 B1C 上,并且 CM=DN. 面 BAC,面 ABC∩面 ABD=AB

【烟台芝罘区】明老师 求证:MN∥平面 AA1B1B. 分析: “线线平行” 、 “线面平行” 、 “面面平行”是可以互相转化的。本题可以采 用任何一种转化方式。 简证:法 1:把证“线面平行”转化为证“线线平行” 。 即在平面 ABB1A1 内找一条直线与 MN 平行,如图所示作平行线即可。 法 2:把证“线面平行”转化为证“线线平行” 。连 CN 并延长交直线 BA 于点 P, 连 B1P,就是所找直线,然后再设法证明 MN∥B1P. 法 3:把证“线面平行”转化为证“面面平行” 。 过 M 作 MQ//BB1 交 BC 于 B1,连 NQ,则平面 MNQ 与平面 ABB1A1 平行, 从而证得 MN∥平面 ABB1A1.
A E A1 1 D N D1 1 B1 1 F B C1 1 M C

点评:证明线面或面面平行的时候一定要注意相互的转化,非常灵活。 【反馈演练】 1.对于平面 ? 和共面的直线 m 、 n, 下列命题中真命题是(3) 。 (1)若 m ? ? , m ? n, 则 n∥ ? (3) 若 m ? ? , n∥? ,则 m∥ n (2)若 m∥? ,n∥? ,则 m∥ n

n 与 ? 所成的角相等, (4) 若m 、 则 m∥ n
(2) 。

2. 设 a、b 是两条异面直线,那么下列四个命题中的假命题是 (1)经过直线 a 有且只有一个平面平行于直线 b (2)经过直线 a 有且只有一个平面垂直于直线 b (3)存在分别经过直线 a 和 b 的两个互相平行的平面 (4)存在分别经过直线 a 和 b 的两个互相垂直的平面 3.关于直线 a、b、l 及平面 M、N,下列命题中正确的是(4) (1)若 a∥M,b∥M,则 a∥b



【烟台芝罘区】明老师 (2)若 a∥M,b⊥a,则 b⊥M (3)若 a M,b M,且 l⊥a,l⊥b,则 l⊥M (4)若 a⊥M,a∥N,则 M⊥N 4. “任意的 a ? ? , 均有 a // ? ” 是 “任意 b ? ? , 均有 b // ? ” 的 5.在正方体 AC1 中,过 A1C 且平行于 AB 的截面是 面 A1B1CD 充要条件 . 。

6.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,经过其对角线 BD1 的平面分别与棱 AA1,CC1 相交于 E,F 两点,则四边形 EBFD!的形状为 平行四边形 。

7. 已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M为PB的中点, 求证:PD∥平面MAC. 证明 连AC交BD于O,连MO,

则MO为△PBD的中位线, ∴PD∥MO,∵PD ? 平面MAC,MO平面MAC, ∴PD∥平面MAC. 8. 如图, 已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M、
P H N

N 分别是 AB 、 PC 的中点 (1)求证: MN // 平面 PAD ;
王新敞
奎屯 新疆

(2)若 MN ?BC ? 4 ,PA ? 4 3 , 求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小
A
王新敞
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D B

C

M

略证: (1)取 PD 的中点 H,连接 AH,
? NH // DC , NH ? 1 DC 2

? NH // AM , NH ? AM ? AMNH 为平行四边形 ? MN // AH, MN ? PAD, AH ? PAD ? MN // PAD

(2): 连接 AC 并取其中点为 O,连接 OM、ON,则 OM 平行且等于 BC 的一半, ON 平行且等于 PA 的一半,所以 ?ONM 就是异面直线 PA 与 MN 所成的角,由
MN ? BC ? 4 , PA ? 4 3 得,OM=2,ON= 2 3
王新敞
奎屯 新疆

所以 ?ONM ? 300 ,即异面直线 PA 与 MN 成 300 的角

王新敞
奎屯

新疆

9. 两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB, M∈AC, N∈FB, 且 AM=FN, 求证:MN∥平面 BCE。

【烟台芝罘区】明老师 证法一:作 MP⊥BC,NQ⊥BE,P、Q 为垂足, 则 MP∥AB,NQ∥AB。 ∴MP∥NQ,又 AM=NF,AC=BF, ∴MC=NB,∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ ∴MP=NQ,故四边形 MPQN 为平行四边形 ∴MN∥PQ ∵PQ ? 平面 BCE,MN 在平面 BCE 外, ∴MN∥平面 BCE。 证法二: 如图过 M 作 MH⊥AB 于 H, 则 MH∥BC, ∴
AM AH ? AC AB FN AH ? BF AB
F D M C

D M

C P

A N F E Q

B

连结 NH,由 BF=AC,FN=AM,得 ∴ NH//AF//BE

A N

H E

B

由 MH//BC, NH//BE 得:平面 MNH//平面 BCE ∴MN∥平面 BCE 。
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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【烟台芝罘区】明老师

第4课

空间中的垂直关系

【考点导读】 1.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理,并能用它们证明 和解决有关问题。 2.线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽,要理清楚它们之间的关系,学会互 相转化,善于利用转化思想。 【基础练习】 1. “ 直 线 l 垂 直 于 平 面 ? 内 的 无 数 条 直 线 ” 是 “ l⊥ ? ” 的 条件。 2.如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面的位置关系是 相交 。 3.在正方体中,与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。 平行或 必要

4.两个平面互相垂直,一条直线和其中一个平面平行,则这条直线和另一个平 面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内 。

5.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,写出过顶点 A 的一个平面__AB1D1_____,使该 平面与正方体的 12 条棱所在的直线所成的角均相等(注: 填上你认为正确的一个 平面即可,不必考虑所有可能的情况)。 【范例导析】 例 1 . 如 图 , 在 四 棱锥 P — ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 正 方 形 , 侧 棱 PD ⊥ 底 面

ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.
(1)证明 PA//平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD.

解析: 本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力 和推理论证能力. 证明: (1)连结 AC,AC 交 BD 于 O,连结 EO. ∵底面 ABCD 是正方形,∴点 O 是 AC 的中点 在 ?PAC 中,EO 是中位线,∴PA // EO 而 EO ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB,
A B D F E P

C

【烟台芝罘区】明老师 所以,PA // 平面 EDB (2)∵PD⊥底面 ABCD 且 DC ? 底面 ABCD,∴ PD ? DC ∵PD=DC,可知 ?PDC 是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线, ∴ DE ? PC . ①

同样由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC,∴BC⊥平面 PDC. 而 DE ? 平面 PDC,∴ BC ? DE . 由①和②推得 DE ? 平面 PBC. ② 而 PB ? 平面 PBC,∴

DE ? PB
又 EF ? PB且 DE ? EF ? E ,所以 PB⊥平面 EFD. 例 2.如图,△ABC 为正三角形,EC ⊥平面 ABC ,BD ∥CE ,CE =CA =2 BD ,

M 是 EA 的中点,
求证: (1)DE =DA ; (2)平面 BDM ⊥平面 ECA ; (3)平面 DEA ⊥平面 ECA。 分析: (1)证明 DE =DA ,可以通过图形分割,证明△DEF ≌△DBA。 (2)证明 面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由(1)知 DM ⊥EA , 取 AC 中点 N ,连结 MN 、NB ,易得四边形 MNBD 是矩形。从而证明 DM ⊥平面

ECA。

证明: (1)如图,取 EC 中点 F ,连结 DF。 ∵ ∴ ∵

EC ⊥平面 ABC ,BD ∥CE ,得 DB ⊥平面 ABC 。 DB ⊥AB ,EC ⊥BC。

1 BD ∥CE ,BD = CE =FC , 2 则四边形 FCBD 是矩形,DF ⊥EC。
又 BA =BC =DF ,∴

Rt△DEF ≌Rt△ABD ,所以 DE =DA。
1 EC。 2

(2)取 AC 中点 N ,连结 MN 、NB , ∵

M 是 EA 的中点,∴ MN

由 BD

1 EC ,且 BD ⊥平面 ABC ,可得四边形 MNBD 是矩形,于是 DM ⊥ 2

【烟台芝罘区】明老师

MN。
∵ ∴

DE =DA ,M 是 EA 的中点,∴ DM ⊥EA .又 EA ? MN =M , DM ⊥平面 ECA ,而 DM ? 平面 BDM ,则平面 ECA ⊥平面 BDM。 DM ⊥平面 ECA ,DM ? 平面 DEA ,

(3)∵ ∴

平面 DEA ⊥平面 ECA。

点评:面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。 例 3.如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC =BC =1, ∠ACB =90°,AA1 = 2 ,D 是 A1B1 中点. (1) 求证 C1D ⊥平面 A1B ; (2)当点 F 在 BB1 上什么位置时, 会使得 AB1 ⊥平面 C1DF ?并证明你的结论。 分析: (1) 由于 C1D 所在平面 A1B1C1 垂直平面 A1B , 只要证明 C1D 垂直交线 A1B1 , 由直线与平面垂直判定定理可得 C1D ⊥平面 A1B。 (2)由(1)得 C1D ⊥AB1 ,只 要过 D 作 AB1 的垂线,它与 BB1 的交点即为所求的 F 点位置。 证明: (1)如图,∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱, ∴ A1C1 =B1C1 =1,且∠A1C1B1 =90°。又 D 是 A1B1 的中点, ∴ C1D ⊥A1B1 .∵ ∴ AA1 ⊥C1D ,∴

AA1 ⊥平面 A1B1C1 ,C1D ? 平面 A1B1C1 , C1D ⊥平面 AA1B1B。

(2) 解: 作 DE ⊥AB1 交 AB1 于 E , 延长 DE 交 BB1 于 F , 连结 C1F , 则 AB1 ⊥平面 C1DF ,点 F 即为所求。 ∵ C1D ⊥平面 AA1BB ,AB1 ? 平面 AA1B1B , ∴ C1D ⊥AB1 .又 AB1 ⊥DF ,DF ? C1D =D ,∴

AB1 ⊥平面 C1DF 。

点评:本题(1)的证明中,证得 C1D ⊥A1B1 后,由 ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平 面 C1A1B1 ⊥平面 AA1B1B ,立得 C1D ⊥平面 AA1B1B。 (2)是开放性探索问题,注意 采用逆向思维的方法分析问题。 【反馈演练】 1.下列命题中错误的是 (3) 。

(1)若一直线垂直于一平面,则此直线必垂直于这一平面内所有直线 (2)若一平面经过另一平面的垂线,则两个平面互相垂直

【烟台芝罘区】明老师 (3)若一条直线垂直于平面内的一条直线,则此直线垂直于这一平面 (4)若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直,则它也和这条 斜线垂直 2.设 x, y, z 是空间的不同直线或不同平面,且直线不在平面内,下列条件中能保 证“若
x ? z ,且 y ? z, 则x // y ”为真命题的是

①③④

(填所有正确条件的代

号) ①x 为直线,y,z 为平面 ③x,y 为直线,z 为平面 ⑤x,y,z 为直线 3.在三棱锥的四个面中,直角三角形最多可以有___4__个。 4.若 AB 的中点 M 到平面 ? 的距离为 4 cm ,点 A 到平面 ? 的距离为 6 cm ,则点 B 到平面 ? 的距离为_2 或 14________ cm 。 5.命题 A:底面为正三角形,且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三 棱锥。 命题 A 的等价命题 B 可以是:底面为正三角形,且 棱锥。 答案:侧棱相等(或侧棱与底面所成角相等??) 6.α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面α 及β 之外的两条不同直线.给出四 个论断: ①m⊥n ②α ⊥β ③n⊥β ④m⊥α 的三棱锥是正三 ②x,y,z 为平面 ④x,y 为平面,z 为直线

以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个 命 .. 题: 。

答案:m⊥α ,n⊥β ,α ⊥β ? m⊥n 或 m⊥n,m⊥α ,n⊥β ? α ⊥β 7.在直角梯形 ABCD 中,∠A=∠D=90°,AB<CD,SD⊥平面 ABCD,AB=AD=a,S D= 2a ,在线段 SA 上取一点 E(不含端点)使 EC=AC,截面 CDE 与 SB 交于点 F。 (1)求证:四边形 EFCD 为直角梯形; (2)设 SB 的中点为 M,当

CD 的值是多少时,能使△DMC 为直角三角形?请给 AB

【烟台芝罘区】明老师 出证明. 解: (1)∵

CD∥AB,AB ? 平面 SAB ∴CD∥平面 SAB

S F M D A B C

面 EFCD∩面 SAB=EF, ∴CD∥EF ∵ ?D ? 900 ,?CD ? AD, 又 SD ? 面 ABCD ∴ SD ? CD ? CD ? 平面 SAD, ∴ CD ? ED 又 EF ? AB ? CD
? EFCD

E

为直角梯形

(2)当

CD ? 2 时, ?DMC 为直角三角形 . AB
AB 2 ? AD 2 ? 2a, ?BDC ? 45 0 ? BC ? 2a, BC ? BD ,

? AB ? a,? CD ? 2a, BD ?

? SD ? 平面 ABCD,? SD ? BC,? BC ? 平面 SBD

.

在 ?SBD 中, SD ? DB, M 为 SB 中点,? MD ? SB .
?MD ? 平面 SBC, MC ? 平面 SBC , ? MD ? MC ??DMC 为直角三角形。


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