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2012届高三第一轮复习数学课件(新人教B版):第2编 2函数的定义域与值域


学案2 函数的定义域与值域

考纲解读 考向预测 填填知学情 课内考点突破 规律探究
? ? ? ? ? ? ? ? ?

考点1

考点2
考点3

考 纲 解 读 函数的定义 会求一些简单函数的定义域和值域. 域与值域

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考 向 预 测
凡是涉及到函数问题时,均要考虑函数的定义域,因此 求定义域是必考内容,可独立考查,也可渗透到大题中;对 值域的考查主要与求变量的取值范围融合在一起,常和方 程与不等式、最值问题及应用性问题等结合起来.

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1.定义:在函数y=f(x),x∈A中,自变量x的取值范

围A叫做函数的 ;对应的函数值的集合 定义域 值域 {f(x)|x∈A}叫做函数的 . 2.设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在实数M,对 于任意的x∈A都有f(x)≤M(≥m)且存在x0∈A使得 f(x0)=M(m),就称M(m)是函数y=f(x)的最大(小值) .

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考点1 求函数的定义域 求下列函数的定义域: (1) [2010年高考广东卷]函数f(x)=lg(x-2)的定义域是
x2 (2) y ? ? (5x - 4)0 ; lg(4x ? 3)



(3) y=

25 - x 2 +lg(cosx);

(4) 已知函数f(x)的定义域是(0,1],求函数g(x)=f(x+a)· f(xa)(其中|a|<
1 )的定义域. 2

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【分析】求函数定义域,应使函数的解析式有意义,其

主要依据是:①分式函数,分母不等于零;②偶次根式函
数,被开方式≥0;③一次函数、二次函数的定义域为R.x0 中的底数x≠0;④y=ax,定义域为R;⑤y=logax,定义域 为{x|x>0}.

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【解析】 (1)由由x-2>0得x>2, ∴函数的定义域为(2,+∞).

4 4x+3≠1 x≠ ? 1 得 (2)由 2 5x-4≠0 x≠ 4 5 ∴函数的定义域为 ? 3 1 ? ? 1 4 ? ? 4 ? ? ? ,? ? ? ? ? , ? ? ? ,?? ? ? 4 2? ? 2 5? ?5 ?

?

4x+3>0

?

x> ? 3

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(3)由

?

25-x2≥0
cosx>0

-5≤x≤5 得 ? - +2kπ<x<2kπ+ 2 ∴函数的定义域为

?

? (k∈Z). 2

3 ? ? ? ? ? ? 3? ? ? ?? 5,? 2 ? ? ? ? ? 2 , 2 ? ? ? 2 ,5? ? ? ? ? ? ?

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(4)由已知,得



?

?

0<x+a≤1 0<x-a≤1,

-a<x≤1-a a<x≤1+a.
1 <a≤0时,1+a>-a. 2

∴函数g(x)的定义域是区间(-a,1-a]与(a,1+a]的交集.
①当-

∴(a,1+a]∩(-a,1-a]=(-a,1+a];
1 ②当0<a< 时,1-a>a. 2

∴函数g(x)的定义域为(-a,1-a]∩(a,1+a]=(a,1-a].

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(1)当函数是由解析式给出时,其定义域是使解析式有 意义的自变量的取值集合. (2)当函数是由实际问题给出时,其定义域的确定不 仅要考虑解析式有意义,还要有实际意义(如长度、面积 必须大于零、人数必须为自然数等). (3)若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的, 则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的 解集.若函数定义域为空集,则函数不存在. (4)对于(4) 题要注意 : ① 对在同一对应法则f 下的量 “x”“x+a”“x-a”所要满足的范围是一样的;②函数g(x)中的 自变量是x,所以求g(x)的定义域应求g(x)中的x的范围. 返回目录

若函数f(2x)的定义域是[-1,1],求函数f(log2x)的定
义域.

【解析】 ∵y=f(2x)的定义域是[-1,1],

1 ∴ ≤2x≤2. 2 ∴y=f(x)的定义域是 ? 1 ,2? . ?2 ? ? ? 1 由 ≤log2x≤2得 ≤x≤4. 2 2 ∴y=f(log2x)的定义域是[ 2,4].
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考点2

求函数的值域

求下列函数的值域:

1 - x2 (1) y ? ; 2 1? x (2)y=x- 1 ? 2 x ; 4 (3)y=x+ ; x sinx (4)y= ;
2 - cosx

(5)y=x+ 1 ? x 2 . 【分析】上述各题在求解之前,先观察其特点,选择

最优解法.

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1 - x2 2 【解析】 (1)解法一: y ? ? ? ?1 2 2 1? x 1? x 2 2≥1,∴0< ∵1+x ≤2, 2 1? x 2 ∴-1<y= -1≤1, 2 1? x
即y∈(-1,1].

,

1- y 1 - x2 2= 解法二:由y= ,得x . 2 1? x 1? y 1- y 2≥0,∴ ∵x ≥0,解得-1<y≤1. 1? y
∴y∈(-1,1]. 返回目录

1 - t2 (2)解法一:设 1 ? 2 x =t(t≥0),得x= , 2 2 1 1- t 2+1≤ 1(t≥0), ∴y= -t=- (t+1) 2 2 2

∴y∈? - ?, 1 ? . ?
? 2? ?

解法二:∵1-2x≥0,∴x≤ ∴定义域为 ? - ?, 1 ? . ? ?
? 2?

1 , 2

∵函数y=x,y=- 1 ? 2 x 在 ? - ?, 1 ? 上均为单调递增, ? ? ∴y≤ 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ,∴y∈ ? - ?, 1 ?. ? 2? 2 2 2 ? ? 返回目录
? 2?

(3)解法一:当x>0时,y=x+

4 ≥2 x

4 =4,当且仅当x=2时, x? x

取等号;
当x<0时, y ? - ? (-x) ? ?

=-4,当且仅当x=-2时,取等号.

?

4 ? 4 ? - 2 (-x) ? ? x ? x?

综上,所求函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞).

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解法二:先证此函数的单调性. 任取x1,x2且x1<x2. ∵f(x1)-f(x2)=x1+ 4 -(x2+ 4 ) = (x 1 - x 2 )(x 1 x 2 - 4) , x2 x1 x1 x 2 ∴当x1<x2≤-2或2≤x1<x2时,f(x)递增; 当-2<x<0或0<x<2时,f(x)递减.

故当x=-2时,f(x)极大=f(-2)=-4;
当x=2时,f(x)极小=f(2)=4.

∴所求函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞).
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(4)解法一:利用函数的有界性.将原函数化为 sinx+ycosx=2y,即 1 ? y 2 (sin 令cosφ=

1 1? y y 1? y
2 2

?

y 1? y
2

cosx ? 2y,

1 1? y
2

且sinφ=

,

∴sin(x+φ)=

2y 1? y
2

?

2y 1? y
2

?1,

平方得3y2≤1,∴-

3 ≤y≤ 3

3 . 3

∴原函数的值域为 ?? 3 , 3 ? . ? ? ? 3 3 ? 返回目录

解法二:数形结合法或图象法. 原函数式可化为y=
sinx 0 - (-sinx) , ? 2 - cosx 2 - cosx

此式可以看作点(2,0)和(cosx,-sinx)连线的斜率,而点 (cosx,-sinx)的轨迹方程

为x2+y2=1,如图所示 , 在
坐标系中作出圆x2+y2=1 和点(2,0).

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由图可看出,当过(2,0)的直线与圆相切时,斜率分别取

得最大值和最小值,由直线与圆的位置关系,可设直线方程
为y=k(x-2),即kx-y-2k=0,



| -2k | 1? k2

? 1, 解得k=〒

3 , 3
?

? ? ∴斜率的范围是 ?? 3 , 3 ? . 3 3 ?

? sinx 3 3? , ? 即函数y= 的值域 ?? 2 - cosx 3 ? ? 3

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(5)函数的定义域为[-1,1].
当x∈[-1,1]时,f′(x)=
1 - x2 - x 1? ? . 2 2 1- x 1- x 1
2,

由f′(x)=0,得
解得x=

-x=0, 1 - x2

2 2 2 ,x=(舍去),∴f( )= 2 2 2

又f(-1)=-1,f(1)=1,
∴f(x)max=f( 2 )= 2 ,f(x)min=f(-1)=-1.
2

∴值域为[-1, 2 ].

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求函数值域(或最值)的常用方法: (1)基本函数法 对于基本函数的值域可通过它的图象性质直接求解. (2)配方法 对于形如:y=ax2+bx+c(a≠0)或F(x)=a[f2(x)+bf(x)+c] (a≠0)类型的函数的值域问题,均可用配方法求解. (3)换元法 利用代数或三角换元,将所给函数转化成易求值域的函 1 数,形如y= 的函数,令f(x)=t,形如:y=ax+b〒 cx ? d f(x) (a,b,c,d均为常数,ac≠0)的函数,令 cx ? d=t;形如含 a 2 - x 2 的结构的函数,可利用三角代换,令x=acosθ,θ∈[0,π]或 ? π .π ? 令x=asinθ,θ∈ ?- , ?
? 2 2?

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(4)不等式法 利用基本不等式:a+b≥2 ab,用此法求函数值域时,要注意 条件“一正、二定、三相等”.如:a+b≥2 ab 求某些函数 值域(或最值)时应满足三个条件:①a>0,b>0;②a+b(或ab) 为定值;③取等号条件a=b.三个条件缺一不可. (5)函数的单调性法 确定函数在定义域(或某个定义域的子集上)的单调性求出 b 函数的值域,例如:f(x)=ax+ (a>0,b>0).当利用不等式法 x 等号不能成立时,可考虑用函数的单调性. (6)数形结合法

如果所给函数有较明显的几何意义,可借助几何法求函数 y 2 -y 1 的值域,形如: 可联想两点(x1,y1)与(x2,y2)连线的 x 2 - x1 斜率. 返回目录

(7)函数的有界性法
sinx 形如y= ,可用y表示出sinx.再根据-1<sinx≤1,解 1 ? sinx

关于x的不等式,可求y的值的范围.

(8)导数法
设y=f(x)的导数为f′(x),由f′(x) =0可求得极值点坐标,若函 数定义域为[a,b],则最值必定为极值点和区间端点中函

数值的最大值和最小值.

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求下列函数的最值与值域: (1) y=4- 3 ? 2x - x 2 ; 2x ? 1 (2) y= ; x-3 (3) y= x 2 ? 1 ? (2 - x)2 ? 4

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【解析】(1)由3+2x-x2≥0得函数定义域为[-1,3],

又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.
∴t∈[0,4],

t ∈[0,2],

从而,当x=1时,ymin=2;
当x=-1或x=3时,ymax=4. 故值域为[2,4].

2x ? 1 2(x - 3) ? 7 7 7 (2)∵ y ? ≠0, ? ? 2? , 其中 x-3 x-3 x-3 x-3 2x ? 1 ∴y= 的值域是(-∞,2)∪(2,+∞). x-3
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(3)将函数变形为 y= (x - 0) 2 ? (0 - 1) 2 ? (x - 2) 2 ? (0 ? 2) 2 , 可视为动点M(x,0)与定点A(0,1),B(2,-2)距离之和,连 结AB,则直线AB与x轴的交点(横坐标)即为所求的最小值 点. ymin=|AB|=

(0 - 2)2 ? (1 ? 2)2 ? 13 ,

2 可求得x= 时,ymin= 3

13 .

显然无最大值,故值域为[ 13 ,+∞). 返回目录

考点3

关于定义域、值域及参数问题

函数f(x)= (1 - a 2 )x 2 ? 3(1 - a)x ? 6 . (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;

(2)若f(x)的定义域为[-2,1],求实数a 的值.
【分析】 (1)定义域为R,即不等式(1-a2)x2+3(1a)x+6≥0恒成立.

(2)定义域为[-2,1],即(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0的
解集为[-2,1]. 返回目录

【解析】 (1)①若1-a2=0,即a=〒1. (ⅰ)当a=1时,f(x)= 6 ,定义域为R,符合; (ⅱ)当a=-1时,f(x)= 6 x ? 6,定义域不为R,不合题意. ②若1-a2≠0,则g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6为二次函数, ∵f(x)的定义域为R,∴g(x)≥0对x∈R恒成立, ∴ ?

? (a-1)(11a+5)≤0?

? ?

1-a2>0

Δ=9(1-a)2-24(1-a2)≤0
-1<a<1
? 5 ≤a<1. 11

综合①②得a的取值范围是

? 5 ? ?? 11 ,1? ? ?

. 返回目录

(2)命题等价于不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0的解集
为[-2,1],显然1-a2≠0, ∴1-a2<0且x1=-2,x2=1是方程(1-a2)x2+3(1-a)x+6=0 的两根,



?

? ?

a<-1或a>1 x1+x2= 3(a - 1) ? ?1 2
1-a x1· 2= 6 2 ? ?2 x ? 1-a

a<-1或a>1 a2-3a+2=0 a2=4, 解得a=2. 返回目录

本题要注意分类讨论,要分1-a2=0和1-a2≠0两种情 况.分类一定要做到不重不漏.

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已知函数f(x)=ax-2

4 - a x -1(a>0,且a≠1).

(1)求函数f(x)的定义域、值域; (2)若当x∈(-∞,1]时,f(x)≤0恒成立,求实数a的取 值范围.

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【解析】 (1)由4-ax≥0,得ax≤4.
当a>1时,f(x)的定义域为(-∞,loga4]; 当0<a<1时,f(x)的定义域为[loga4,+∞). 令t= 4 - a x ,则t∈[0,2). ∴y=4-t2-2t-1=4-(t+1)2. 当t∈[0,2)时,y=4-(t+1)2是减函数. ∴函数的值域是(-5,3].

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(2)∵x∈(-∞,1],由(1)知a>1且loga4≥1,
∴1<a≤4. ∵当a>1时,f′(x)=axlna+ =axlna( 1 ?
1 4 - ax 又a>1,∴lna>0,
a x lna 4 - ax

),

∴f′(x)>0,∴f(x)是关于x的增函数.
当x∈(-∞,1]时, f(x)≤f(1)=a-2

4 - a -1. f(x)≤0恒成立,只要a-2
解之得1<a≤3.

-1≤0. 4-a

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求函数值域没有通用的方法和固定的模式,要靠 在学习过程中不断积累,掌握规律,所以要记住各种

基本函数的值域;要记住什么结构特点的函数用什么
样的方法求值域,即熟悉求函数值域的几种常用方法 ,但在解决求值域问题时要注意选择最优解法.

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