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北师大必修二课本习题


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必修二基础练习

教师:张凡

第一章 立体几何初步
第一节 简单几何体 1.1 简单旋转体 1.2 简单多面体

练习 1.球、圆柱、圆锥和圆台过轴的截面分别是什么图形? 2.斜棱柱的侧面中可能有矩形吗? 3.图中的几何体是不是棱台?

习题 1—

1 A组 1.底面是正多边形的棱锥是正棱锥吗? 2.探索长方体棱长和对角线长的关系。 3.举出生活中的球、圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台的实例。

B组 1.用厚纸做一个正四棱锥的模型。 2.用两个截面将三棱柱分成三个三棱锥。

1

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教师:张凡

第二节 直观图 例 1、画水平放置的正六边形的直观图。

例 2、画正五棱锥的直观图。

练习 1.画水平放置的正方形和正三角形的直观图。 2.画出长、宽、高分别为 6cm,4cm,3cm 的长方体的直观图。 3.画圆柱的直观图。

习题 1—2 A组 1.画水平放置的等腰梯形和平行四边形的直观图。 2.画出底面边长为 4cm,高为 5cm 的正四棱锥的直观图。 3.画一个底面边长为 3cm,高为 4.5cm 的正三棱柱的直观图。 4.画出上、下底面边长分别为 3cm 和 6cm,高为 4cm 的正四棱台的直观图。

B组 观察你周围的建筑物,选择一个简单的,画出它的直观图。

2

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第三节 三视图 3.1 简单组合体的三视图 例 1、螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体,如图,画出它的三视图。
俯视

左视

主视

例 2、如图,是截去一个角的长方体,画出它的三视图。
俯视

A

B

C
左视 主视

例 3、画出如图所示组合体的三视图。

例 4、如图,是物体的实物图,在四个选项中有一个是它的俯视图,请指出是哪一个。

A

B

3

C

D

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例 5、在下图中图②是图①中实物画出的主视图和俯视图,你认为正确吗?如果不正确,请找出错误并改 正,然后分别画出它们的左视图。
主视图



俯视图


主视图



俯视图

② 练习 1.判断以下物体的主视图和俯视图有无错误,如果有错,请改正,并分别画出它们的左视图。

主视图

俯视图

2.标出下列几何体的视图方向, 并画出它们的三视图。

4

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3.2 由三视图还原成实物图 例 6、如图是 4 个三视图和 4 个实物图,请将三视图和实物图正确配对。

例 7、根据三视图想象物体原型,并画出物体的实物草图。
主视图 左视图 主视图

俯视图 俯视图

练习 1.请根据三视图想象物体原形,并画出它的实物图。

主视图

左视图

2.下列物体的三视图有无错误?如果有,请指出并改正。
主视图 左视图

俯视图 第 1 题图

俯视图

5

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教师:张凡

习题 1—3 A组 1.下图中展示的是将 4 个正方体各自分割成两部分的不同放置,这些正方体的第一部分在位置⑴~⑷上, 第二部分在位置 A~D 上。请为⑴~⑷的每一部分在 A~D 中找出它的配对部分,用线连上。









A

B

C

D

2.添线补全下面物体的三视图: ⑴
主视图 左视图

俯视图



主视图

左视图

俯视图

6

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3.下列物体的三视图有无错误?如果有,请指出并改正。
俯视 主视图 左视图

左视

主视

俯视图

第 3 题图

4.画出下列几何体的三视图。
俯视

左视

主视

5.由下图中的三个几何体可生成不同的组合体,如图所示。请分别画出它们的三视图。

6.画出下列几何体的三视图。

7

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7.根据以下三视图想象物体原形,并分别画出物体的实物图。
主视图 主视图 左视图 左视图

俯视图 俯视图

B组 1.画出你家中的一个茶杯的三视图。 2.画出下面几何体的三视图。

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第四节 空间图形的基本关系与公理 4.1 空间图形基本关系的认识 练习 1.观察如图所示的长方体,再举出一些点、线面的位置关系的例子。 a A A b a

?
c B

b

?

?

?

?

2.观察你周围的一些实物,指出一些点、线面的位置关系。

4.2 空间图形的公理 练习 1 1.一扇门用两个合页和一把锁就可以固定了,你知道其中的道理吗? 2. M 为直线 l 上的点,且点 M 不在平面 ? 内,则 l 与 ? 的公共点最多有 3.过已知直线外的一个点最多可以作 条直线和已知直线平行。 个。

4.给你 6 根等长的火柴棒,最多能做几个等边三角形?你做出的图形中有几个顶点、几条边、几个面?

例 1、在空间四边形 ABCD 中, E , F , G , H 分别是边 AB , BC , CD , DA 的中点。求证:四边 形 EFGH 是平行四边形。

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例 2、如图,将无盖正方体纸盒展开,直线 AB , CD 在原正方体中的位置关系是( A.平行 B.相交且垂直 C.异面直线 D.相交成 60°



C A B

D

练习 2 1.已知 AB // PQ , BC // QR , ?ABC ? 30? ,则 ?PQR 等于( A.30° B.30°或 150° ) C.150° )

D.以上结论都不对

2.在空间,下列命题正确的个数是(

⑴有两组对边相等的四边形是平行四边形; ⑵四边相等的四边形是菱形; ⑶平行于通一条直线的两条直线平行; ⑷有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 A.1 B.2 C.3 D.4

3.如图,已知 AA? , BB ? ,CC ? 不共面,并且 AA? // BB ? , AA? ? BB ? , BB ? // CC ? , BB ? ? CC ? 。求证:

?ABC ? ?A?B ?C ? 。
C A B A′

C′

B′

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习题 1—4 A组 1.经过空间三点一定能确定一个平面吗? 2.已知△ ABC 的两边 AC , BC 分别交平面 ? 于点 M , N ,设直线 AB 与平面 ? 交于点 O ,则点 O 与 直线 MN 的位置关系如何? 3.观察下面的图形,指出它们表示的空间图形的不同之处。

4.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,哪几条棱所在直线与棱 AB 所在直线是异面直线?哪几条棱所在 直线与直线 B1C 是异面直线?哪几条棱所在直线与直线 BD1 是异面直线? D1 A1 D A
第 4 题图

C1 B1

C B

5.如图,已知 E , F 分别是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 AA 1 和棱 CC1 上的点,且 AE ? C1 F 。求证: 四边形 EBFD 1 是平行四边形。 A1 B1 E A
第 5 题图

D1

C1 F C

D

B

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B组 1.三条直线经过同一点,过每两条直线作一个平面,则可以作 几个部分? 个不同的平面。这些平面把空间分为

2.如图, ABCD 为空间四边形,点 E , F 分别是 AB , BC 的中点,点 G , H 分别在 CD , AD 上,且

DH ?

1 1 AD , DG ? DC 。求证:直线 EH , FG 必相交于一点,且这个交点在直线 BD 上。 3 3
A

E H B F C G D

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第五节 平行关系 5.1 平行关系判定 例 1、空间四边形 ABCD 中, E , F 分别为 AB , AD 的中点。判断 EF 与平面 BCD 的位置关系。

例 2、如图,空间四边形 ABCD 中, E , F , G , H 分别是 AB , BC , CD , AD 的中点,试指出图 中满足线面平行位置关系的所有情况。 A E B 例 3、已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,求证:平面 AB1 D ∥平面 C1 BD 。 F C H D G

练习 1.观察教室内现有的物体。 ⑴找出直线和平面平行的例子; ⑵找出两个平面互相平行的例子。 2.过直线外一点与该直线平行的平面有 个。过平面外一点与该平面平行的直线有 条。

3.□ ABCD 和□ CDEF 有一公共边 CD ,它们不在同一平面内, M 为 FC 的中点。求证: AF // 平面

MBD
4.如图,长方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中, P , Q , R 分别为 BC , CD , CC ? 的中点。 ⑴判断直线 B ?D ? 与平面 PQR 的位置关系; ⑵判断平面 AB ?D ? 与平面 PQR 的位置关系; ⑶判断平面 PQR 与平面 DD ?B ?B 的位置关系。 A B D′ A′ B′ D Q P C R C′

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5.2 平行关系的性质 例 4、如图, A , B , C , D 在同一平面内, AB // 平面 ? , AC // BD ,且 AC , BD 与 ? 分别交于 C ,

D 。求证: AC ? BD 。

A

B

?
练习 1 1.如果直线 a // 平面 ? ,直线 b ? ? ,那么 a 与 b 一定平行吗?为什么? 2.如果直线 a // 直线 b ,且 a // 平面 ? ,那么 b 与 ? 的位置关系是( A.相交 B. b // ? C. b ? ? D. b // ? 或 b ? ? )

C

D

例 5、如图,平面 ? , ? , ? 两两平行,且直线 l 与 ? , ? , ? 分别相交于点 A , B , C ,直线 m 与 ? ,

? , ? 分别相交于点 D , E , F , AB ? 6 , BC ? 2 , EF ? 3 。求 DE 的长。

m
D

l
A

?
?
?

E

B

F

C

练习 2 1.已知两条直线 m , n 及平面 ? ,判断下面四个命题是否正确: ⑴若 m // ? , n // ? ,则 m // n ; ⑵若 m // ? , m // n ,则 n // ? ; ⑶若 m // ? ,则 m 平行 ? 内的所有直线; ⑷若 m 平行 ? 内无数条直线,则 m // ? 。

2.如果一条直线与两个平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关系是( A.平行 B.相交 C.在平面内 D.平行或在平面内



3.如果 3 个平面把空间分成 4 个部分,那么这 3 个平面有怎样的位置关系?如果 3 个平面把空间分成 6 个 部分,那么这 3 个平面有怎样的位置关系?

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习题 1—5 A组 1.已知直线 a 和直线 a 外两点 A, B 。 ⑴当直线 AB // a 时,过 A, B 可作多少个平面与 a 平行? ⑵当直线 AB 与 a 不平行时,过 A, B 可作多少个平面与 a 平行? 2.已知直线 m // 平面 ? ,直线 n 在 ? 内,则 m 与 n 的关系为( A.平行 B.相交 C.平行或异面 D.相交或异面 ) )

3.经过平面 ? 外两点,作与 ? 平行的平面,则这样的平面可以作( A.1 个或 2 个 B.0 个或 1 个 C.1 个 D.0 个

CC ? 上的运动, 4.在长方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中,P ,R 分别为 BC , 当点 P ,R 满足什么条件时,PR //
平面 AB ?D ? ? 5.⑴平面 ? 内有无数条直线与平面 ? 平行,问 ? // ? 是否正确,为什么? ⑵平面 ? 内的所有直线与平面 ? 都平行,问 ? // ? 是否正确,为什么? 6.如图,已知点 P 为△ ABC 所在平面外任一点,点 D , E , F 分别在射线 PA , PB , PC 上,并且

PD PE PF ? ? 。求证:平面 DEF // 平面 ABC 。 PA PB PC
D

P

F E

A B

C

7.如图, ABCD ? A?B ?C ?D ? 为长方体,底面是边长为 a 的正方形,高为 2 a , M , N 分别是 CD 和 AD 的中点。 ⑴判断四边形 MN A?C ? 的形状; ⑵求四边形 MN A?C ? 的面积。 A D N B M C

D′

C′ B′

A′
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B组 1.设 A 是△ BCD 所在平面外一点, M , N 分别是△ ABC 和△ ACD 的重心。求证: MN // 平面 BCD 。

2.木工小罗在处理如图所示的一块木料时,发现该木料表面 ABCD 内有一裂纹 DM ,已知 B ?C ? 平行于平 面 AC ,他打算经过点 M 和棱 B ?C ? 将木料锯开,却不知如何画线,你能帮助他解决这个问题吗? D C A M B D′ C′

A′

B′

3.已知 ABCD , ABEF 是两个正方形,且不在同一平面内, M , N 分别是对角线 AC , FB 上的点,且

AM ? FN 。求证: MN // 平面 CBE 。

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第六节 垂直关系 6.1 垂直关系的判定

练习 1 1.观察教室内现有的物体,找出直线与平面垂直的例子。 2.下列种说法正确吗?为什么? ⑴如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直; ⑵如果一条直线和一个平面内的任何两条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直; ⑶如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直; 3.与不共线的三点距离都相等的点的个数是多少?

P 为 ?ABC 所在平面外一点, PA ? 平面 ABC 。 ?B ? 90? , 例 1、 如图, 在 Rt ?ABC 中, 问: 四面体 PABC P 中有几个直角三角形?

A

C

B 例 2、 如图,AB 为⊙ O 的直径, ⊙ O 所在平面为 ? ,PA ? ? 于 A ,C 为⊙ O 上一点。 求证: 平面 PAC ? 平面 PBC 。 P

练习 1.观察教室内现有的物体,找出两个平面互相垂直的例子。 2.画三个两两互相垂直的平面。

?

A

C O

B

3.⑴在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,过 A1 , B , D 三个点作一个平面,请画出二面角 A1 ? BD ? A 的 平面角,并说明作图的根据; ⑵在空间四边形 ABCD 中, AB ? BC ? CD ? DA 。请作出二面角 A ? BD ? C 的平面角,并说明作图 的根据。 4.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,平面 BB1 D1 D 与平面 BA 1C1 的位置关系怎样?
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6.2 垂直关系的性质 例 3、 如图, AB 为⊙ O 的直径,C 为⊙ O 上一点,PA ? 平面 ABC , A 在 PB ,PC 上的射影分别为 E ,

F 。求证: PB ? 平面 AFE 。

P E

?

A

FO C

B

例 4、如图,长方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中, MN 在平面 BC C ?B ? 内, MN ? BC 与 M 。判断 MN 与 AB 的位置关系,并说明理由。 D′ A′ D A B M B′ N C C′

练习 1.通过一条线段的中点并且与这条线段垂直的平面,叫作这条线段的垂直平分面。这个面内任意一点到这 条线段两端点的距离都相等吗?为什么? 2.空间四边形 SABC 中, SO ? 平面 ABC , O 为△ ABC 的垂心。求证:平面 SOC ⊥平面 SAB 。 S

A

O B
第 2 题图

C

3.如图,长方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中, MN ? BC 于 M 。请你找出与直线 MN 垂直的直线和平面。 D′ A′ D
18

C′ B′ N C B M

A

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习题 1—6 A组 1.三个角为直角的四边形一定是矩形吗?为什么? 2.如图,如果 MC ⊥菱形 ABCD 所在平面,那么 MA 与 BD 的位置关系是( A.平行 B.垂直相交 C.异面 D.相交但不垂直 ) A
第 2 题图

) D

M

3.经过平面 ? 外一点和平面 ? 内一点与平面 ? 垂直的平面有( A.0 个 B.1 个 C.无数个 D.1 个或无数个

C B

4.已知△ ABC ,直线 m ? AC , m ? BC ,求证: m ? AB 。

5.如图, P 为△ ABC 所在平面外一点, AP ? AC , BP ? BC ,D 为 PC 中点,直线 PC 与平面 ABD 垂 直吗?为什么? P D A C

B
第 5 题图

6.如图, ABCD ? A?B ?C ?D ? 是正方体: ⑴判断直线 B ?C 与平面 AB C ?D ? 的位置关系,并说明理由; ⑵判断平面 BC C ?D ? 与平面 AB C ?D ? 的位置关系,并说明理由; ⑶判断平面 A?B ?CD 与平面 AB C ?D ? 的位置关系,并说明理由。 A′ D′ B′ C′

D A
第 6 题图

C B

7.如图, ABCD ? A1 B1C1 D1 是正方体,求证: A1C ? 平面 BC1 D 。 D1 A1 C1 B1 D A
第 7 题图 19

C B

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B组 1.在公路旁有一条河,河对岸有高为 24m 的塔 AB ,当公路与塔底点 B 都在水平面上时,如果只有测角器 和皮尺作测量工具,能否求出塔顶与道路的距离? A

B

C
第 1 题图

D

2.如图, P 为△ ABC 所在平面外一点, PA ? PB , PB ? PC , PC ? PA , PH ? 平面 ABC 于 H 。 求证: ⑴ H 是△ ABC 的垂心; ⑵△ ABC 为锐角三角形。 A H B
第 2 题图

P

C D

3.如图,已知平面 ? ⊥平面 ? , ? ? ? ? b ,直线 a ? ? 。求证: a // ? 。

?
a

?

b
第 3 题图

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第七节 简单几何体的面积和体积 7.1 简单几何体的侧面积 例 1、一个圆柱形的锅炉,底面直径 d ? 1 m,高 h ? 2.3 m。求锅炉的表面积(保留两个有效数字) 。

例 2、圆台的上、下底面半径分别是 10cm 和 20cm,它的侧面展开图的扇形的圆心角是 180°,那么圆台的 侧面积是多少?(结果保留 ? )

例 3、一个正三棱台的上、下底面边长分别为 3cm 和 6cm,高是

3 cm,求三棱台的侧面积。 2

练习 1.已知正六棱柱的高为 h ,底面边长为 a ,求表面积。 2.从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为 6 , 8 , 12 ,求它的对角线的长。 3.正四棱台的上、下两底面边长分别是 3 , 6 ,其侧面积等于两底面积之和,则其高和斜高分别是多少? 4.要对一批圆锥形实心零部件的表面进行防腐处理,每平方厘米的加工处理费为 0.15 元。已知圆锥底面 直径与母线长相等,都等于 5cm,问加工处理 1000 个这样的零件,需加工处理费多少元?(精确到 0.01 元)

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7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 例 4、 埃及胡夫金字塔大约建于公元前 2580 年, 其形状为正四棱锥, 金字塔高 146.6m, 底面边长为 230.4m。 问:这座金字塔的侧面积和体积各是多少?

练习 1.某自来水厂要制作一个无盖长方体水箱,所用材料的形状是矩形板,制作方案如图,求水箱的容积。







10

5



5

5

5

10

2.一块正方形薄铁片的边长是 22cm,以它的一个顶点为圆心,一边长为半径画弧,沿弧剪下一个扇形, 用这块扇形铁板围成一个圆锥筒,求它的容积。 22cm

例 5、已知一正四棱台的上底边长为 4cm。下底边长为 8cm,高为 3cm。求其体积。

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7.3 球的表面积和体积 例 6、如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗?(假 设冰淇淋融化前后体积不变) 4cm

12cm

例 7、一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为 3cm,瓶里所装的水深为 8cm,将一个钢球完全浸入水中,瓶中水 的高度上升到 8.5cm。求钢球的半径。

练习 1.某小区修建一个圆台形的花坛,它的两底面半径分别为 1m 和 2m,高为 1m,问:需要多少立方米土才能 把花台填满? 2.地球和火星都可看做近似球体,地球半径约为 6370km,火星的直径约为地球直径的一半。 ⑴求地球的表面积和体积; ⑵火星的体积约为地球体积的几分之几?

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习题 1—7 A组 1.圆柱、圆锥、的底面半径与球的半径都为 r ,圆柱、圆锥的高都是 2 r 。求它们的体积之比。 2.球表面积膨胀为原来的 2 倍,计算体积变为原来的几倍。 3.长方体的长、宽、高的比为 1:2:3,对角线长是 2 14 cm。求它的体积。 4.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 4cm。求这个球的体积。 5.如图, 已知正六棱柱的最大对角面的面积为 4 ㎡, 互相平行的两个侧面的距离为 2cm, 则这个六棱柱的体积为( A.3 m? B.6 m? ) C.12 m? D.以上都不对
第 5 题图

6.如图,沿长方体相邻三个面的对角线截去一个三棱锥,则三棱锥的体积是长方体体积的几分之几?

7.长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面两边 BC : AB =7:24,对角面 ACC1 A1 的面积是 50.求长方体的侧 面积。

第 6 题图

VM 是棱锥的高, 8.如图, 棱锥的底 ABCD 是一个矩形,AC 与 BD 交于 M , 若 VM ? 4cm ,AB ? 4cm , VC ? 5cm 。求棱锥的体积。
V

D M A B
第 8 题图

C

9.求证: 斜棱柱的侧面积等于它的直截面 (垂直于侧棱并与每条棱都相交的截面) 的周长与侧棱长的乘积。

10.仓库的房顶呈正四棱锥形,量得底面的边长为 2.6cm,侧棱长 2.1m,现要在房顶上铺一层油毡纸,问: 需要油毡纸的面积是多少?
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B组 1.如图, 一个倒立的圆锥, 底面半径为 10cm, 高为 15cm, 先将一定量的水注入其中, 其形成的圆锥高为 h cm, 底面半径为 r cm。 ⑴求水的体积; ⑵若形成的圆锥的体积恰为原来圆锥体积的一半,求 h 的值(精确到 0.01) 。

r
h

2.如图,一个圆锥的底面半径为 2cm,高为 6cm,在其中有一个高为 x cm 的内接圆柱。 ⑴试用 x 表示圆柱的侧面积; ⑵当 x 为何值时,圆柱的侧面积最大?

第 1 题图

第 2 题图

3.如图, 多面体 ABCDEF 中, 已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF // AB , 平面 FBC ? 平面 ABCD 。 △ FBC 中 BC 边上的高 FH ? 2 , EF ?

3 。求该多面体体积。 2

E D

F C H

A
第 3 题图

B

4.如图,正三棱锥 A ? BCD ,底面边长为 a ,侧棱长为 2 a , E , F 分别为 AC , AD 上的动点,求截 面 ?BEF 周长的最小值和这时 E , F 的位置。 A

E

F D C

B
第 4 题图

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第八节 面积公式和体积公式的简单应用 例 1、在一个木制的棱长为 a 的正方体外面涂上颜色,将它的棱五等分,然后从等分点把正方体锯开,得 到许多小的正方体,它们的棱长是原来正方体棱长的 ⑴求所有小正方体的表面积之和; ⑵求 3 面涂有颜色的小正方体的表面积之和; ⑶求 2 面涂有颜色的小正方体的表面积之和; ⑷求各面都未涂颜色的小正方体的表面积之和。

1 ,如图。 5

例 2、如图,表示以 AB ? 4cm , BC ? 3cm 的长方形 ABCD 为底面的长方体被平面斜着截断的几何体,

EFGH 是它的截面。当 AE ? 5cm , BF ? 8cm , CG ? 12cm ,试回答下列问题:
⑴求 DH 的长; ⑵求这个几何体的体积; ⑶截面四边形 EFGH 是什么图形?证明你的结论。 E D A B C G H F

例 3、将一个底面圆的直径为 2、高为 1 的圆柱截成横截面为长方形的棱柱。设这个长方形截面的一条边 长为 x ,对角线长为 2,截面的面积为 A 。 ⑴求面积 A 以 x 为自变量的函数式; ⑵求截得棱柱的体积的最大值。

练习 在一个大金属球表面涂上油漆,需要油漆 2.4kg,若把这个金属球融化,制成 64 个半径相等的小金属 球(设损耗为零) ,将这些小金属球表面涂漆,需用多少油漆?

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习题 1—8 A组 1.建一个容积为 8000m?,深为 6m 的长方体蓄水池,池壁的造价为 a 元/㎡,池底的造价为 2a 元/㎡,把总 造价 y (元)表示为底的一边长 x (m)的函数。

2.粉碎机的下料斗是正四棱台形,它的两底面边长分别是 80mm 和 440mm,高是 200mm。计算制造这样一个 下料斗所需铁板的面积(精确到 0.01) 。

3.硫磺具有一定的杀菌效力,这种效力的大小取决于硫磺蒸气产生的多少,而在其他条件不变的情况下, 硫磺蒸气的数量又取决于硫磺球状颗粒的大小。试说明:为什么用同样多质量的硫磺,研磨的球状颗 粒越小时,其杀菌效力越大。

B组 空间四边形 ABCD 中,平行于对角线 AC , BD 的平面分别交 AB , BC ,CD , DA 于 E ,F ,G ,

H ,且 AC ? BD , AC ? 2 , BD ? 4 。求四边形 EFGH 面积的最大值。

27

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复习题一 A组 1.画出组合体的三视图:

2.请你为手机生产厂家设计一种手机外观款式。画出它的三视图,并画出它的实物图。 3.用斜二测画法画出水平放置的菱形的直观图,该菱形的边长为 3cm,一个锐角为 60°。 4.正四棱柱的高是 4cm,底面边长为 3cm,画出它的直观图。 5.一块西瓜切 2 刀,最多能切出几块?如果切 3 刀呢? 6.下列条件中,能判断两个平面平行的是( )

A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 7.已知直线 m ? 平面 ? ,直线 n ?平面 ? ,下列说法正确吗?为什么? ⑴若 ? // ? ,则 m ? n ; ⑶若 m // n ,则 ? ? ? ; ⑵若 ? ? ? ,则 m // n ; ⑷若 m ? n ,则 ? ? ? 。

8.已知直线 a , b ,平面 ? , ? , ? ,下列说法正确吗?为什么? ⑴若 a // ? , a // b , b ? ? ,则 b // ? ; ⑵若 ? // ? , ? // ? ,则 ? // ? ; ⑶若 a ? ? , b ? a , b ? ? ,则 b // ? ; ⑷若 ? ? ? , ? // ? ,则 ? ? ? 。 9.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F , G, H 分别为 AA 1 , CC1 , C1 D 1 , D1 A1 的中点,试判断四边形

EFGH 的形状,并说明理由。
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10.已知:四边形 ABCD 是空间四边形, E , H 分别是边 AB , AD 的中点, F ,G 分别是边 CB ,CD 上 的点,且

CF CG 2 ? ? 。求证: CB CD 3

⑴四边形 EFGH 是梯形; ⑵ EF 和 GH 的交点在直线 AC 上。

11.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求证: ⑴ AC ⊥平面 B1 D1 DB ; ⑵ BD1 ⊥平面 ACB1 。 D A D1 A1 12.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2 。 ⑴求△ AB1 D1 的面积; ⑵求三棱锥 A ? A1 B1 D1 的体积。 D A D1 A1
第 12 题图

C B

C1 B1

第 11 题图

C B C1 B1

13.一个直角三角形的两条直角边为 15cm 和 20cm,以一条直角边为轴旋转,求这个旋转体的体积。 14.一个正四棱台的斜高是 12cm,侧棱的长是 13cm,侧面积是 720 cm 。求它的上、下底面的边长。 15.正方体、底面直径和高相等的圆柱、球的体积相等时,哪一个的表面积最小?
2

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俯视

B组 1.画出几何体的三视图。

主视 左视



2.根据图中三视图想像物体原型,并画出实物图。
主视图 左视图

俯视图

第 2 题图

3.如图,设 ABCD 和 ABEF 均为平行四边形,它们不在同一平面内, M , N 分别为对角线 AC , BF 上 的点,且 AM : FN = AC : BF 。求证: MN //平面 BEC 。 C

D M B N A
第 3 题图

E

F

4. P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, Q 是 PA 的中点。求证: PC //平面 BDQ 。 5.已知正方体的棱长为 2,求它的内切球的表面积和体积。 6.某学校食堂用圆台型缸盛满食油,已知此缸上、下底面半径分别为 40cm 和 20cm,13 天后,油的高度降 为原来的

2 ,若每天用油量相等,剩余的油还可以用多少天? 3

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C组 1.降雨量是指水平地面上单位面积内所降雨水的深度,用上口直径为 38cm,底面直径为 24cm,深为 35cm 的圆台形水桶(轴截面如下图)来测量降雨量,如果在一次降雨过程中,用此桶盛得的雨水正好是桶 深的

1 ,求这次降雨的降雨量(精确到 1mm) 。 7

38

35

h
24
第 1 题图

2.已知:△ ABC 为正三角形, EC ? 平面 ABC , DB ? 平面 ABC ,且 EC , DB 在平面 ABC 的同侧,

M 为 EA 的中点, CE ? CA ? 2 BD 。求证:
⑴ DE ? DA ; ⑵平面 BDM ⊥平面 ECA ; ⑶平面 DEA ⊥平面 ECA 。 (提示:取 AC 中点 N ,连接 MN , BN ) C N A
第 2 题图

E D B

M

3.一块木板上有三个孔(方孔、圆孔、三角孔) ,试设计一个几何体,使它能沿三个不同方向不留空隙地 通过这三个孔,并画出该几何体的三视图。

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第二章 解析几何初步
第一节 直线与直线的方程 1.1 直线的倾斜角与斜率 例 1、求过已知两点的直线的斜率: ⑴直线 PQ 过点 P(2,3) , Q(6,5) ; ⑵直线 AB 过点 A(?3,5) , B(4,?2) 。

练习 1.在等腰直角三角形 ABC 中, ?C ? 90 ? , AC ? 1 ,建立适当的平面直角坐标系,指出斜边 AB 经过的 一个点的坐标。 A

y
C

B C
第 1 题图

B

O
D

x

2.给出实例说明在日常生活中如何用“一点和一个方向”确定一条直线。 3.求图中直线 OB , OC , OD 的斜率。

第 3 题图

y

l3
4.计算图中选段所在直线的斜率。

l4

l2

l1

l5

O
5.在平面直角坐标系中,四边形 EFGH 的顶点分别是 E (0,0) , F (6,0) ,

x

G (7,4) 和 H (4,8) 。求:
第 4 题图

⑴四边形 EFGH 四边所在直线的斜率; ⑵四边形 EFGH 两条对角线所在直线的斜率。
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1.2 直线的方程 例 2、分别求出通过点 P(3,4) 且满足下列条件的直线方程,并画出图形: ⑴斜率 k ? 2 ; ⑵与 x 轴平行; ⑶与 x 轴垂直。

例 3、求经过点 (0, b) ,斜率是 k 的直线方程。

例 4、求经过两点 A(?5,0) , B(3,?3) 的直线方程。

练习 1 1.写出下列直线的方程,并画出图形: ⑴经过点 P(1,3) ,斜率是 1; ⑵经过点 Q(?3,1) ,且与 x 轴平行; ⑶经过点 R(?2,1) ,且与 x 轴垂直。

2.已知直线得分斜率是

3 ,在 y 轴上的截距是 ? 2 ,求此直线方程。 2

3.写出经过下列两点的直线的点斜式方程,并画出图形: ⑴ A(?2,?3) , B(0,0) ; ⑵ C (2,1) , D(0,?1) 。
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例 5、求经过两点 P(a,0) , Q (0, b) 的直线方程(其中 ab ? 0 ) 。

例 6、如图,已知直线经过点 A(4,?3) ,斜率为 ?

2 ,求直线的点斜式方程,并化为一般式方程。 3 y
1

O
1

x
A(4,?3)

例 7、已知三角形三个顶点分别是 A(?3,0) , B(2,?2) , C (0,1) 。求这个三角形三边各自所在直线的方程。

例 8、已知直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 4 ? 0 。求直线 l 的倾斜角。

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练习 2 1.求经过下列两点的直线方程: ⑴ A(?3,2) , B(0,?3) ; ⑶ E (3,2) , F (0,0) ; ⑵ C (0,4) , D(4,0) ; ⑷ G (2,2) , H (2,4) 。

2.已知三角形三个顶点分别是 A(7,4) , B(3,?1) , C (?5,2) 。求这个三角形三边所在直线的方程。

3.求经过点 (?4,5) ,且斜率为 ? 2 的直线方程,并化为一般式。

4.求经过点 (0,?1) ,倾斜角为 60°的直线方程,并化为一般式。

5.求与直线 x ? 2 y ? 0 斜率相等,且过点 (2,3) 的直线方程,并化为一般式。

6.求过点 ( 3,?5) ,倾斜角等于直线 y ? 3x ? 1的倾斜角的一半的直线方程,并化为一般式。

7.已知点 P(3, m) 在过点 M (2,?1) 和 N (?3,4) 的直线上,求 m 的值。

8.已知 A(2,2) , B(2,5) 在直线 l 上,求 l 的方程。

9.已知直线 ax ? my ? 2a ? 0 ( a ? 0 )过点 (1,? 3) ,求此直线的斜率。

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1.3 两条直线的位置关系 例 9、判断下列各对直线是否平行,并说明理由: ⑴ l1 : y ? 3x ? 2 ; l 2 : y ? 3x ? 5 ; ⑵ l1 : y ? 2 x ? 1 ; l 2 : y ? 3x ; ⑶ l1 : x ? 5 ; l 2 : x ? 8 。

例 10、求过点 A(1,2) ,且平行于直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 的直线方程。

例 11、判断下列两直线是否垂直,并说明理由: ⑴ l1 : y ? 4 x ? 2 ; l 2 : y ? ?

1 x?5; 4

⑵ l1 : 5x ? 3 y ? 6 ; l 2 : 3x ? 5 y ? 5 ; ⑶ l1 : y ? 5 ; l 2 : x ? 8 。

例 12、求过点 A(3,2) 且垂直于直线 4 x ? 5 y ? 8 ? 0 的直线方程。

练习 1.判断下列各对直线是否平行或垂直: ⑴ 3x ? 6 y ? 4 ? 0 与 y ?

1 x ? 1; 2

⑵ y ? x ? 5 与 4x ? 4 y ? 3 ? 0 ; ⑷ 2x ? y ? 1 ? 0 与 2x ? 2 y ? 8 ? 0 ; ⑹ x ? 2 与 y ? ?5 。

⑶ 5x ? 2 y ? 7 与 2 x ? 5 y ? 3 ; ⑸ x ? 2 与 x ? ?5 ; 2.求过点 A(1,2) 且分别适合下列条件的直线方程: ⑴平行于直线 3x ? y ? 4 ? 0 ;

⑵垂直于直线 x ? y ? 1 ? 0 。

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1.4 两直线的交点 例 13、求下列两条直线的交点:

l1 : x ? 2 y ? 1 ? 0 ,

l2 : ? x ? 2 y ? 2 ? 0 。

例 14、设三条直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 , l 2 : kx ? 2 y ? 3 ? 0 , l3 : x ? (k ? 1) y ? 5 ? 0 。若这三条直线交于 一点,求 k 的值。

练习 1.求下列两条直线的交点: ⑴ l1 : x ? y ? 5 , ⑵ l1 : y ?

l2 : 2x ? 7 ? 0 ; l 2 : y ? 3x ? 7 。

1 x ? 2, 2

2.判定下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点坐标。 ⑴ l1 : 3x ? 2 y ? 7 , ⑵ l1 : 2 x ? 6 y ? 5 ? 0 , ⑶ l1 : ( 2 ? 1) x ? y ? 3 ,

l 2 : 7 x ? y ? 1;
l2 : y ? 1 ( x ? 1) ; 3

l2 : x ? (1 ? 2 ) y ? 2 。

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1.5 平面直角坐标系中的距离公式 例 15、求下列两点间的距离: ⑴ A(?1,0) , B(2,3) ; ⑵ A(4,3) , B(7,?1) 。

例 16、已知△ ABC 的三个顶点是 A(?1,0) , B(1,0) , C ( ,

1 3 ) ,试判断△ ABC 的形状。 2 2

例 17、△ ABC 中, D 是 BC 边上任意一点( D 与 B, C 不重合) ,且 | AB | 2 ?| AD | 2 ? | BD | ? | DC | 。 求证:△ ABC 为等腰三角形。

练习 1.求下列两点的距离: ⑴ A(?3,0) , ⑵ C (2,1) ,

B(2,0) ; D(?5,1) ;

⑶ E(

3 ,? 2 ) , 2

F ( 2 ,?

3 )。 2

2.已知点 A( x,?5) 和 B(0,10) 的距离为 17,求 x 的值。

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例 18、⑴求原点到直线 l1 : 5x ? 12y ? 9 ? 0 的距离; ⑵求点 P(?1,2) 到直线 l 2 : 2 x ? y ? 10 ? 0 的距离。

例 19、用解析法证明:等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。

例 20、两平行直线 l1 , l 2 分别过 A(1,0) 与 B(0,5) 。若 l1 与 l 2 的距离为 5,求这两直线的方程。

练习 2 1.求下列点到直线的距离: ⑴ (0,0) , 3x ? 2 y ? 4 ? 0 ; ⑶ (2,?3) , x ? y 。 2.求下列两条平行直线的距离: ⑴ 3x ? 2 y ? 1 ? 0 , 3 x ? 2 y ? 6 ? 0 ; ⑵ x ? 2 y ? 0 , 2x ? 4 y ? 7 ? 0 ; ⑵ (?1,2) , 3x ? y ? 3 ? 0 ;

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习题 2—1 A组 1.已知点 A(1, 3) , B(?1,3 3) ,求直线 AB 的斜率。 2.直线 l 经过原点与点 ( 2,2) ,求它的斜率和倾斜角。 3.已知点 P(?2, m) , Q(m,4) ,且直线 PQ 的斜率为 1,求 m 的值。 4.已知一条直线过点 P 1 (2a,3b) 和 P 2 (4b,6a) ,并且 a ? 0 ,求此直线的斜率。 5.根据下列条件写出直线的方程: ⑴经过点 A(?1,2) ,且与直线 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 平行; ⑵经过点 B(4,1) ,且与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直; ⑶经过点 C (1,3) ,且垂直于过点 M (1,2) 和 N (?2,?3) 的直线; ⑷经过点 D(1,2) ,且平行于 x 轴; ⑸经过点 E (4,3) ,且垂直于 x 轴。 6.已知直线满足下列条件,求直线方程: ⑴经过两条直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 和 3x ? y ? 1 ? 0 的交点,且平行于直线 5 x ? y ? 100 ? 0 ; ⑵经过两条直线 2 x ? y ? 8 ? 0 和 x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点,且垂直于直线 6 x ? 8 y ? 3 ? 0 。 7.直线 y ? kx ? 3 与直线 y ?

1 x ? 5 的交点在直线 y ? x 上,求 k 的值。 k

8.求经过两条直线 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点,且与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行的直线方程。 9.求斜率为 ? 3 ,且与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的交点恰好在 x 轴上的直线方程。 10.三条直线 x ? y ? 1 ? 0 , x ? ay ? 8 ? 0 , 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 共有两个不同的交点。求 a 的值。 11.已知数轴上 A, B 两点的坐标 x1 , x2 分别是: ⑴ x1 ? 8 , x2 ? ?1 ; ⑵ x1 ? ?4 , x2 ? 0 ; ⑶ x1 ? 2a ? b , x2 ? a ? 2b 。 求 | AB | 和 | BA | 的长。
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12.已知某零件一个面上有 3 个孔,孔中心的坐标分别为 A(?7,20) , B(?2,3) , C (0,?1) 。求每两个孔中 心的距离。

13.在 y 轴上求一点 M ,使 M 与点 N (6,8) 的距离等于 10.

B组 1.如图,已知矩形 ABCD 的中心与原点重合,且对角线 BD 与 x 轴重合, A 在第一象限内, | AB |?

6,

| BC |? 3 。求矩形各顶点的坐标。

y A

B C

O

D x

第 1 题图

2.如图,在△ ABC 中, ?C ? 90 ? , P 为三角形内一点,且 S ?PAB ? S ?PBC ? S ?PCA 。求证:

| PA |2 ? | PB |2 ? 5 | PC |2 。

B

P C
第 2 题图

A

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第二节 圆与圆的方程 2.1 圆的标准方程 例 1、求以 C (4,?6) 为圆心,半径等于 3 的圆的方程。

例 2、已知两点 M 1 (4,9) 和 M 2 (6,3) 。求以 M 1 M 2 为直径的圆的方程。

练习 1.写出下列各圆的方程: ⑴圆心在原点,半径为 5; ⑵经过点 P(5,1) ,圆心在点 C (6,?2) ; ⑶以 A(2,5) , B(0,?1) 为直径的圆。

2.下列方程分别表示什么图形? ⑴ x2 ? y2 ? 9 ; ⑵ ( x ? 1) ? 8 ? ( y ? 2) ;
2 2

⑶ y ? 1? x2 。

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2.2 圆的一般方程 例 3、求过点 M (?1,1) ,并与已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 3 ? 0 同心的圆的方程。

例 4、求过三点 O(0,0) , M 1 (1,1) , M 2 (4,2) 的圆的方程,并指出这个圆的半径和圆心坐标。

练习 1.求下列各圆的半径和圆心坐标: ⑴ x 2 ? y 2 ? 6x ? 0 ; ⑶ x 2 ? y 2 ? 2by ? 0 ; ⑵ 3x 2 ? 3 y 2 ? 6x ? 12y ? 7 ? 0 ; ⑷ x 2 ? y 2 ? 2ax ? b 2 ? 0 。

2.已知圆过点 A(1,4) , B(3,?2) ,且圆心到直线 AB 的距离为 10 。求这个圆的方程。

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2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 例 5、判断下列直线与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1的位置关系: ⑴x? y?2?0; ⑵ x ? 2y ?1 ? 0 。

例 6、设直线 mx ? y ? 2 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,求实数 m 的值。

练习 1 1.判断直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 与圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 36 的位置关系。 2.以 C (1,3) 为圆心,

16 为半径的圆与直线 3x ? m y ? 7 ? 0 相交,求实数 m 的取值范围。 5

例 7、在平面直角坐标系中分别作出圆心为 C1 (0,0) , C 2 (1,1) ,半径分别为 1,2 的两圆,并判断两圆的位 置关系。

例 8、 判断圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 26 ? 0 与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的位置关系, 并画出图 形。

练习 2 判断下列各题中两圆的位置关系: ⑴ C1 : x ? y ? 2 x ? 6 y ? 26 ? 0 , C2 : x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 ;
2 2 2 2

⑵ C1 : ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 13 , C2 : ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 13 ;
2 2 2 2

⑶ C1 : x ? y ? 9 , C2 : ( x ? 2) ? y ? 1。
2 2 2 2

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习题 2—2 A组 1.求满足下列条件的圆的方程,并分别画出它们的图形: ⑴经过点 C (?1,1) 和 D(1,3) ,圆心在 x 轴上; ⑵经过直线 x ? 3 y ? 7 ? 0 与 3x ? 2 y ? 12 ? 0 的交点,圆心为点 C (?1,1) ; ⑶经过点 A(5,2) 和 B(3,?2) ,圆心在直线 2 x ? y ? 3 上。 2.一个等腰三角形底边上的高等于 5,底边两端点的坐标是 (?4,0) 和 ( 4,0) ,求它的外接圆的方程。 3.三条直线 x ? y ? 9 ? 0 , x ? 2 y ? 0 , 3x ? y ? 7 ? 0 围成一个三角形,求该三角形外接圆的方程。 4.填空题: ⑴圆 x 2 ? y 2 ? 4 与直线 y ? 2 ⑵圆 x 2 ? y 2 ? 1 与直线 y ? 2 ⑶圆 x 2 ? y 2 ? 4 与直线 x ? 1 5.设已知圆如图,请按要求作圆: ⑴作与已知圆外切,且切点为 ( 2,0) ,半径为 1 的圆; ⑵作与已知圆内切,且切点为 ( 2,0) ,半径为 1 的圆; ⑶作与已知圆内含的圆。 6.判断直线 y ? O 1 2 x ; ; ; y

第 5 题图

4 50 2 2 x? 与圆 ( x ? 2) ? y ? 100的位置关系。 3 3

B组 1.试就 m 的值讨论直线 x ? my ? 2 ? 0 和圆 x ? y ? 4 的关系。
2 2 2 2 2 2.若圆 x ? y ? r 与直线 x ? 2 相切,求实数 r 的值;如果相离、相交又如何?

3.作出圆 C1 : x ? ( y ? 2) ? 9 与 C2 : ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 的图形,并说明两者的位置关系。
2 2 2 2

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第三节 空间直角坐标系 3.1 空间直角坐标系的建立 3.2 空间直角坐标系中点的坐标 例 1、如图,点 P ? 在 x 轴正半轴上,| OP? |? 2 , P ?P 在 xOz 平面上,且垂直于 x 轴,| PP ? |? 1 ,求点 P ? 和 P 的坐标。 z

P O P′ x y

例 2、在空间直角坐标系中作出点 P(3,?2,4) 。

例 3、在同一个空间直角坐标系中画出下列各点。

A(0,0,0) , B(3,0,0) , C (3,2,0) , D(0,2,0) , A?(0,0,1) , B ?(3,0,1) , C ?(3,2,1) , D ?(0,2,1) 。

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练习 1.如图,把边长为单位 1 的立方体分别放到空间直角坐标系中的不同位置,分别说出立方体各个顶点的坐 标。
z D′ A′ B′ C′ z D′ A′ (O) C B y x A
第 1 题图

C′ B′ y x

z D′ A′ (O) B′ C′ y

D (O) A x

D C B

D C A B

2.在方格纸上先画出一个空间直角坐标系,然后标出下列各点:

A(0,1,?1) , B(0,0,5) , C (?1,1,2) , D(?2,0,0) , E (2,3,1) 。

3.在空间直角坐标系中,自点 M (?4,?2,3) 引各坐标平面和坐标轴的垂线,求各垂足的坐标。

4.在空间直角坐标系中,给定点 M (1,?2,3) ,求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标。

5.在空间直角坐标系中,求点 M (4,3,?5) ,到各坐标轴和各坐标平面的距离。

6 已知小蚂蚁站在水泥构件 O 点处,在 A, B, C , D, E 处放有食物,建立适当的空间直角坐标系,告诉小蚂 蚁食物的准确位置。 A

北 B C

D

O
第 6 题图

E

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3.3 空间两点间的距离公式 例 4、给定空间直角坐标系,在 x 轴上找一点 P ,使它与点 P0 (4,1,2) 的距离为 30 。

例 5、在 xOy 平面内的直线 x ? y ? 1 上确定一点 M ,使 M 到点 N (6,5,1) 的距离最小。

练习 求点 P(1,2,?2) 和 Q(?1,0,?1) 之间的距离。

48

内部资料·谢绝外传

必修二基础练习

教师:张凡

习题 2—3 A组 1.如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? a , BC ? b , CC1 ? c ,将此长方体放到空间直角坐标 系中的不同位置,分别说出长方体各个顶点的坐标。
z z z z

D1 (O) A1 x A D B B1

C1 y C A x A1

D1 B1 D (O) B

C1 D1 C y D

C1 A1 C A (O)

B1 D1

C1 A1 C (O)

B1

B y D x A

B

y

x 2.在方格纸上先画出一空空间直角坐标系,然后画出下列各点:

A(1,2,4) , B(?1,2,4) , C (0,?1,?5) , D(?1,?4,?3) 。
3.给定点 P(3,?2,1) ,求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点对称点的坐标。 4.求点 N (3,?2,?4) 到原点、各坐标轴和各坐标平面的距离。

D

C 5.在空间直角坐标系中,求点 A(?3,2,?4) 和 B(?4,3,1) 的距离。 6.在空间直角坐标系中,已知△ ABC 顶点坐标分别是 A(?1,2,3) , B(2,?2,3) ,

A
第 7 题图

B

1 5 C ( , ,3) 。求证:△ ABC 是直角三角形。 2 2
距离 AD 。

7.如图,在河的一侧有一塔 CD ? 5m ,河宽 BC ? 3m ,另一侧有点 A , AB ? 4m ,求点 A 与塔顶 D 的

B组 在空间直角坐标系中,已知△ ABC 的顶点坐标分别是 A(?1,?2,1) , B(2,3,?1) , C ( 求证:△ ABC 是直角三角形。

1 ? 37 ,1,0) 。 2

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必修二基础练习

教师:张凡

复习题二 A组 1.已知直线 y ? 2 x ? b 过点 A(1,2) 与点 B(3, m) ,求 | AB | 。 2.若 a ? N ,又三点 A(a,0) , B(0, a ? 4) , C (1,3) 共线。求 a 的值。 3.求经过 A(3, m) , B(m,1) 两点的直线的斜率。 4.直线 l1 的倾斜角 ? ? 30? ,直线 l 2 ? l1 。求 l 2 的斜率。 5.已知 m ? 0 ,求经过点 (1,?1) 的直线 ax ? 3my ? 2a ? 0 的斜率。 6.一条直线经过点 P 1 (?2,3) ,倾斜角 ? ? 45 ? ,求这条直线的方程,并画出图形。 7.若直线 ax ? 2 y ? 6 ? 0 和直线 x ? a(a ? 1) y ? (a 2 ? 1) ? 0 垂直,求 a 的值。 8.求与两坐标轴围成的三角形周长为 9,且斜率为 ?

4 的直线的方程。 3

9.求经过点 A(2,1) ,且与直线 2 x ? y ? 10 ? 0 垂直的直线的方程。 10.求过点 A(1,?4) ,且与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行的直线的方程。 11.已知直线 l 通过直线 6 x ? y ? 3 ? 0 和 3x ? 5 y ? 4 ? 0 的交点,且过点 A(?2,?1) 。求 l 的方程。 12.三条直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 , 3x ? 2m y ? 18 ? 0 , 3mx ? 2 y ? 12 ? 0 交于一点,求 m 的值。 13.求与直线 7 x ? 24y ? 5 ? 0 平行,且距离等于 3 的直线的方程。 14.已知直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 和圆 x ? y ? 4 ,判断此直线与已知圆的位置关系。
2 2

15.求圆心在直线 x ? y ? 0 上,且过两圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 10y ? 24 ? 0 , x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 8 ? 0 的交 点的圆的方程。 16.已知三角形三顶点 A(4,0) , B(8,10) , C (0,6) ,求: ⑴ AC 边上的高所在的直线方程; ⑵过 A 点且平行于 BC 的直线方程。 17.在空间直角坐标系中,求点 A(1,?3,0) 和 B(2,0,4) 的距离。

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必修二基础练习

教师:张凡

B组 1.已知 A(4,5) , B(?2a,?3) , C (1, a) 三点共线,求 a 的值。 2.已知 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 ) 是斜率为 k 的直线上的两点。求证:

| P1 P2 |? 1 ? k 2 | x1 ? x 2 |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 。
3.光线自点 M (2,3) 射到点 N (1,0) 后被 x 轴反射。求反射光线所在直线的方程。 4.若直线 (3 ? a) x ? (2a ? 1) y ? 7 ? 0 与直线 (2a ? 1) x ? (a ? 5) y ? 6 ? 0 互相垂直,求 a 的值。 5.求经过 A(0,?1) 和直线 x ? y ? 1 相切,且圆心在直线 y ? ?2 x 上的圆的方程。 6.直线 l 与两坐标轴围成一个面积为 18 的等腰直角三角形。求直线 l 的方程。 7.为了绿化城市,准备在如图所示的区域内修建一个矩形 PQRC 的草坪,且 PQ // BC , RQ ? BC ,另 外△ AEF 的内部有一文物保护区不能占用,经测量 AB ? 100 m , BC ? 80 m , AE ? 30 m ,

AF ? 20 m ,应如何设计才能使草坪的占地面积最大?

y D

P

C

F A Q O E
第 7 题图

R B x

8.设 N (a, b, c) 是空间直角坐标系中的一点,求点 N 关于坐标平面 yOz 的对称点的坐标。

C组 1.求圆心在圆 ( x ? ) ? y ? 2 上,且与 x 轴和直线 x ? ?
2 2

3 2

1 都相切的圆的方程。 2

2.两点 A(1,0) , B(3,2 3) 到直线 l 的距离均等于 1,求直线 l 的方程。 3.已知 x, y 满足 x ? y ? 3 ,求证: ( x ? 5) 2 ? ? y ? 2? ? 18。
2

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