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从一道课本例题说起


2 0 1 5年第 1 期  河北 理科教 学研 究  问题 讨 论  从 一 道 课 本 例 题 说 起  广 东省 珠海 市 实验 中学 高中部  王恒 亮 李 一淳 5 1 9 0 9 0   1 问题 的提 出  。   一   人教版《 全日 制普通高级 中学教科书( 选  修4 — 4 ) 数学》 第3 5 页有这样一道例题 :   例  0 为直角 坐标系

中的坐标 原点 ,   A、 B是抛 物线 Y  =2 p x ( P >0 ) 上 异于 顶点  +   , , 1+   y2   yl  +   y 2   ,. .   ,? . ? y   : 2   ‘   , ‘   y  一 4p  . , ,=   +   . y   的两动点且 O A上 O B, O M上 A B并与 A B   相交于点  , 求  点的轨迹方程 .   事实上 , 此例题不仅可以求 出   点的轨  迹方程 , 进一 步 研究 发 现 , 以此 题 为 背景 , 可  专  ( 戈 一 2 v ) ’ . . ? A B 过 定 点 ( 2 p , 0 ) ?   即证 .   上述( 2 ) 中的证 明为一般方 法 , 其过程  繁琐 , 若 由 已知 条件 注意 到 y 1.y 2:一 1的  结构 , 容易 联想 到一元 二次 方程 的两 根之 积 .   以得出一些与抛物线有关的定值定点问题 .   2   相 关 结果与解 法应 用  结论 1   A、 B是抛 物线 y 2= 2 p  ( P>   0 ) 上异 于顶 点 的两动点 且 O A上 O B, 则  ( 1 ) A、 B两 点 的横 坐标 之 积 、 纵 坐标 之  积为定 值 ;   ( 2 ) 直线 A B过定 点 .   证明: ( 方 法一 ) 设(  。 , y 1 ) , B(  2 , Y 2 ) ,   以此为依据 , 我们能 由此构造 出一个 以   ,   为两根 的一 元二 次方 程吗 ?   另证 : ( 方法二) 设直线 A B 的方 程 为  =m y+n , A(  1 , y 1 ) , B(  2 , y 2 ) , 易知 r t , ≠   等 , J } ∞   = 一 = J - O B , . ' . k o a k o n 。 , 则   ? _ 1 , 故y z : 2 p x : 2 p x .   . 1, ? ’ ?   1  2   4 -yl   y 2 = 0.‘ . ‘ Y   = 2px1 , Y   , . n ) ,   + 2pr o Y 一 2p   = 0,   2 p   ‘ 丝 2 p +y 1   y 2=   ‘ yl≠ 0, y 2   ? . . ≠ 0. ? . y 1   y 2= 一4 p  . ? .  l  2 = 4 p  . 又 ’ . ’ y   =  ̄ - )一 2 p =0 , ‘ . 。 OA 上  n (  )   +2 p m( x =一 1 =一   1   2 p x 1 , Y  =2 p x 2  . ( y 1 一Y 2 ) ( Y l +Y 2 )=     ?   =   ?   OB  .   ,   ’. _ . 凡 = 2p n  , 即  2 p ( 一 A B的直 线 方 程 为  = my+2 p, 其 过 定 点  ( 2 p, 0 ) . 即证 .  

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