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2.2.1椭圆的标准方程 第二课时


2.2.1椭圆的标准方程
第二课时

复习回顾:
? 1求动点轨迹方程的一般步骤: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线 上任意一点M的坐标; (2)写出适合条件P的点M的集合;(可以省略, 直接列出曲线方程) (3)用坐标表示条件P(M),列出方程 f ( x, y) ? 0 (4)化方程 f ( x, y) ? 0 为最简形式

; (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况,可以 适当予以说明)

坐标法
1.建系 2.设坐标 3.列等式 4.代坐标 5.化简方程

2.两类标准方程的对照表
定 义 MF1+MF2=2a (2a>2c>0)

y
M

y
F 2
M

图 形

F 1

o

F2 x

o
F 1

x

方 程 焦 点 a,b,c之间的关系

x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b

y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b

F(±c,0)

F(0,±c)

c2=a2-b2

注: 共同点:椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上, 中心在坐标原点的椭圆;方程的左边是平方和,右边是1. 2 不同点:焦点在x轴的椭圆 x 项分母较大. y 2 项分母较大. 焦点在y轴的椭圆

练习:

1.口答:下列方程哪些表示椭圆? 若是,则判定其焦点在何轴? 并指明 a 2 ,b 2 ,写出焦点坐标.

x2 y2 (1) ? ? 1 (4)9 x 2 ? 25y 2 ? 225 ? 0 16 16 x2 y2 (5) ? 3x 2 ? 2 y 2 ? ?1 ( 2) ? ?1 25 16 x2 y2 x2 y2 ? ?1 (3) 2 ? 2 ? 1 (6) 24 ? k 16 ? k m m ?1

?

新课讲解:

例1 : 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆, 它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为 3m,求这个椭圆的标准方程. 解: 以两焦点F1、F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为 y 轴,建立如图所示的直角坐标系xOy,则这个椭圆的标准 方程可设为 y

x2 y 2 ? 2 ? 1??? a ? b ? 0? 2 a b 根据题意有 2a ? 3?,2c ? 2.4? 即 a ? 1.5?, c ? 1.2?

F1

O

F2

x

? b2 ? a 2 ? c 2 ? 1.52 ? 1.22 ? 0.81 x2 y2 ? ? 1? 因此,这个椭圆的标准方程为 2.25 0.81

练习:

x2 y2 1、 已知椭圆的方程为: ? ? 1,请填空: 25 16 (1) a=__,b=__,c=__,焦点坐标为___________,焦距等于__. (-3,0)、(3,0) 6 4 5 3
(2)若C为椭圆上一点,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,

并且CF1=2,则CF2=___. 8
2 2 变题: 若椭圆的方程为16x ? 9 y ? 144 ,试口答完成(1).

x2 y2 ? ?1 9 16

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在y轴上的椭圆, 探究: 若方程 k ? 2 3? k 求k的取值范围; 若方程表示椭圆呢?

例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程 x2 ? y2 ? 1 2 2 (1) a =4,b=1,焦点在 x 轴上; y x 2 16 ?1 ? y 2 ? 1或 x ? (2) a =4,b=1,焦点在坐标轴上; 16 16 (3) 两个焦点的坐标是( 0 ,-2)和( 0 ,2),并且经 过点P( -1.5 ,2.5). (法一) 因为椭圆的焦点在y轴上, 解:

∵ c=2,且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……① 又∵椭圆经过点 ∴ ( ) ? (? ) ? 1
5 2 2 2 3 2 2 2

y2 x2 设它的标准方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b
? 3 5? ?? , ? ? 2 2?

y

P
F2

……②
x
F1

联立①②可求得:a 2 ? 10, b 2 ? 6 y2 x2 ? ?1 ∴椭圆的标准方程为 10 6

a

b

(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的 2 x2 标准方程为 y
由椭圆的定义知,
2a ? (?

a

2

?

b

2

? 1 (a ? b ? 0)

3 2 5 ) ? ( ? 2) 2 ? 2 2 3 1 ? 10 ? 10 2 2 ? 2 10 , ?  a ? 10  c ? 2, . 又

(?

3 2 5 ) ? ( ? 2) 2 2 2
y

P
F2

x
F1

?  b 2 ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6.

y2 x2 ? ? 1. 所以所求椭圆的标准方程为 10 6

练习:
x y + =1 表示焦点在x轴 已知方程 4 m 上的椭圆,则m的取值范围是 (0,4) .
变式:已知方程 x
2 2

y + =1 m - 1 3- m
.

2

2

表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范 围是 (1,2)

练习:求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)a= 6 ,b=1,焦点在x轴上; (2)焦点为F1(0,-3),F2(0,3),且a=5. (3)两个焦点分别是F1(-2,0)、F2(2,0),且过 P(2,3)点; (4)经过点P(-2,0)和Q(0,-3).

答案:(1)
(3)

x2
x

6 2

? y2 ? 1
? y2 12 ?1

(2)

y2 25

?

x2 16

?1

16

x 2 y2 (4) + =1 4 9

小结:求椭圆标准方程的步骤: ①定位:确定焦点所在的坐标轴; ②定量:求a, b的值.

例3 :将圆 x ? y = 4上的点的横坐标保持不变, 纵坐标变为原来的一半,求所的曲线的方程, y 并说明它是什么曲线? 解: 设所的曲线上任一点的坐标为(x, x2 ? y2 y),圆 =4上的对应点的
2 2

坐标为(x’,y’),由题意可 得:

? x/ ? x ? / ?y ? 2y
2 2

o

x

因为 所以 即

x? 2 ? y ? 2=4

x ? 4y ? 4 2 x ? y2 ? 1 4

1)将圆按照某个方向均匀地压缩 (拉长),可以得到椭圆。 2)利用中间变量求点的轨迹方程 的方法是解析几何中常用的方法;

练习
x2 y2 ? ? 1上一点P到一个焦点的距离为5, 1 椭圆 25 9
则P到另一个焦点的距离为( A ) ?A.5 ?B.6 ?C.4
?D.10

x2 y2 ? 1 的焦点坐标是(C ) 2.椭圆 ? 25 169

A.(±5,0)? C.(0,±12)?

B.(0,±5) ? D.(±12,0)

x2 y2 3.已知椭圆的方程为 ? 2 ? 1,焦点在X轴上, 8 m

则其焦距为( A ) A 2 8 ? m2 C 2 m2 ? 8

B
D

2

2 2?m

2 2 m ?2 2

4. a ? 6, c ? 1 ,焦点在y轴上的椭圆的标准方程
y 2 x2 ? ?1 36 35 是 __________.

练习:P26 1、2、3

例4 已知圆A:(x+3)+y=100,圆A内一 定点B(3,0),圆P过B点且与圆A内切,求圆心 P的轨迹方程.

2

解:设|PB|=r.
∵圆P与圆A内切,圆A的半径为10. ∴两圆的圆心距|PA|=10-r, 即|PA|+|PB|=10(大于|AB|). ∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆. ∴2a=10, 2c=|AB|=6, ∴a=5,c=3. ∴b2=a2-c2=25-9=16.

x y ? =1. 即点P的轨迹方程为 25 16

2

2


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