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三角函数的诱导公式(2012.5.10)


学习目标
知识与能力
1、识记诱导公式; 2、理解和掌握公式的内涵及结构特征, 会初步运用诱导公式求三角函数的值,并进 行简单三角函数式的化简和证明。

过程与方法
1、通过诱导公式的推导,培养学生的观 察力、分析归纳能力,领会数学的归纳转化 思想方法; 2、通过诱导公式的推导、分析公式的结 构特征,使学生体验和理解从特殊到一

般的 数学归纳推理思维方式; 3、通过基础训练题组和能力训练题组的 练习,提高学生分析问题和解决问题的实践 能力。

情感态度与价值观
1、通过诱导公式的推导,培养学生主 动探索、勇于发现的科学精神,培养学生的 创新意识和创新精神; 2、通过归纳思维的训练,培养学生踏 实细致、严谨科学的学习习惯,渗透从特殊 到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义 思想。

学习重难点
重点:
诱导公式的推导及应用。

难点:
相关角边的几何对称关系及诱导公式结 构特征的认识。

一、课前预热
已知任意角 ? 的终边与单位圆相交于 1 .根据任意角的三角函数 的定义 点 P ( x, y)

(x y , ? ? _____ , ? ? _____ ? 0) x tan sin ? ? ____ cos . x
P ( x , y )关于原点、 x 轴、 y 轴 P1、 P2 、 P3的坐标分别是什么?

y

2 .请同学们思考,点 对称的三个点

点 P 关于原点对称点 点 P 关于 x 轴对称点 点 P 关于 y 轴对称点

P1的坐标为 P2 的坐标为 P3的坐标为

?? x,? ______ y.?

?? x, ______y ?.

x,? ______ y .

?

?

诱导公式一:终边相同

的角的同名三角函数的

值相等 .

cos? sin ? sin( ? ? 2 k ? ) ? _____, cos( ? ? 2 k ? ) ? _____,
tan? . tan( ? ? 2 k ? ) ? _____ ( k ? z )
思考:它的作用是什么 ?

把绝对值较大的角的三角函数转化为
0 到 360 ( 0 到 2 ? ) 的角的三角函数.
0 0

(大化小)

二、导入新课

互动:(抢答)
1
第一组: sin 30
0

3
0 0

? ___, cos 30 2
3

? ____, tan 3 0 ? ____ . 2 3

3

第二组: sin
第三组: sin

?
3

? ____, cos 2
? _ ?co s ___,

?
3

1 2 ? ____, tan
? _ _ _ _ ,t a n ( ?

?
3

? ____ .

3

8? 3

1 1? 3

5? 3

? ) ? ____ .

三、探究与公式的推导
活动一:师生共同探讨
(1)角 ? ? ? 的终边与角

? 的终边位置关系如何?
? 的三角函数值有什么关
系?

( 2 ) 角 ? ? ? 的三角函数值与角

公式二:

? 的终边

? ? ? 与 ? 的三角函数关系
sin( ? ? ? ) ? ? sin? . ______ cos( ? ? ? ) ? ? cos ? . ______

( x, y )

tan ? tan( ? ? ? ) ? ______ .

? ? ?的终边

P ? x,? y) ( 1

活动二:合作探究

给定一个角

?
系?

( 1) ? 的终边与角 ?

? 的终边有什么关系? ( 2) ? 三角函数值与角 ? ? 的三角函数值有什么关

公式三: ? ? 与 ? 的三角函数关系

? 的终边

( x, y )

? sin? sin( ? ? ) ? ________

. . .
(x,? y) P2
? ?的终边

cos? cos( ? ? ) ? ________
tan( ? ? ) ? ________ ? tan ?

活动三:独立探究
(1)角 ? ? ? 的终边的与角
( 2) 角 ? ? ? 的三角函数值与角

? 终边的关系
? 的三角函数值有什么关
? ? ?的终边

系?

公式四:

? 的终边

? ? ? 与 ? 的三角函数关系

sin ? sin( ? ? ? ) ? ______ .

P ( ? x, y) 3

( x, y )

? cos ? cos( ? ? ? ) ? _______ .
? tan ? tan( ? ? ? ) ? _______ .

公式一: 大化小
sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos ? tan(? ? 2k? ) ? tan ? (k ? Z )

公式二:
sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? tan ?

公式三: 负化正
sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

公式四:
sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? ? tan ?

概括: ? ? 2 k ? ? k ? Z ? ,? ? , ? ? ? 的三角 函数值,等于 ? 的同名函数值,前面加上一个把 ? 看成锐角时原函数值的符号. “函数名不变,符号看象限”

四、示例应用
例 1: ( 利 用 公 式 求 值 ) (1) in s 8? 3
练习 . 求 sin( ?
解: sin( ? 16 ? 3 ? sin (? ?

( 2) o s c
16 ? 3
) ? ? sin(

1 1? 3

( 3) n ta

5? 3

)的值 .
) ? ? sin( 4 ? ? 4? 3 ) ? ? sin 4? 3 ?

16 ? 3

?
3

) ? ? ( ? sin

?
3

) ?

3 2

根据练习你来归纳总结:
把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤有哪些?
解: sin( ? 16 3 ? sin (? ? ) ? ? sin( 16 ? 3 ) ? ? sin( 4 ? ? 4? 3 ) ? ? sin 4? 3 ?

?
3

) ? ? ( ? sin

?
3

) ?

3 2

利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般按 下面步骤进行: 任意负角的 三角函数
用公式三或一

任意正角的 三角函数 锐角三 角函数

用公式一

0~ 2 ? 的角 的三角函数

用公式 二或四

查表

求值

负化正,大化小,化到锐角结束了

化归思想

例 2 .利用公式化简 化简 cos( 180
0

. ? ? ) ? sin( ? ? 360 )
0 0 0

sin( ? ? ? 180 ) ? cos( ? 180

??)

练习:化简

tan ( ? ? ) sin ( 2 ? ? ? ) cos( ? ? ? ) cos( ? ? ? ? ) sin( ? 5 ? ? ? )

特别提示:符号问题

五、课堂小结
本节课我们从数形结合以及任意角的三角函数定

义的角度推导了公式二到四这三组公式,这三组公式
在求三角函数值、化简三角函数及证明三角恒等式时

经常用到,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,
符号看象限”的简便记法,同学们要正确理解这句话

的含义,不过重要的还是应用,我们要多加练习,切
实掌握由未知向已知的化归思想和数形结合思想.简

单来说就是:“负化正,大化小,化到锐角结束了”。

六、课后作业
1 .单 独 完 成 P2 9 习 题 1 .3 A 组 T 2 ? 1 ? ? 6 ? T3 T4

2 .预 习 提 纲 : (1) 终 边 与 角 ? 的 终 边 关 于 直 线 y ? x 对 称 有 何 数 量 关 系 , 数 形 结 合 分 析 推 导 公 式 五. ( 2) 能 否 用 已 知 的 公 式 ( 化 归 ) 得 到 公 式 六 ( 3) 尝 试 自 己 概 括 公 式 五 、 六 的 特 点 ( 4) 进 一 步 概 括 总 结 六 个 诱 导 公 式 .

教材习题答案
1、(1)-co s 2、(1)
1 2
2

4 9

π (2) -sin 1 (3) -co s

π 5

(4)co s7 0
2

°

6′

(2)

1 2

(3)0.6428(4)sin α
4

3

3、(1)
4、 略

-sin α co sα

(2)


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