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浙江省嵊州市2014-2015学年高二第二学期期末教学质量检测数学理试卷(B卷)


嵊州市 2014 学年第二学期期末教学质量检测试卷

高二 数学(理科 B 卷)
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答.答题前,请在答题卷的密封线内填写学校、班级、 学号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 6 页,全卷满分 150 分,考试时间 120 分 钟.

参考

公式: 球的表面积公式 S=4πR
4 3
2

柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式
1 V ? h S1 ? S1S2 ? S 2 3

球的体积公式 V= πR3 其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式 V= Sh 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高
1 3

?

?

其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高

第Ⅰ卷(共 40 分)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.已知集合 M ? ?1, 2,3? , N ? x ? Z 1 ? x ? 4 ,则 A. M ? N B. N ? M C. M ? N ? {2,3} D. M ? N ? (1,4)

?

?

2.已知向量 a ? ? 2,1? , b ? ? ?3,4? ,则 a ? b ? A. ? ?1,5? B. ?1,5? C. ? ?1, ?3? D. ?1,3?

3.若 a ? b ? 0 ,则 A. ab ? b
2

?1? ?1? B. ? ? ? ? ? ? 2? ? 2?

a

b

C. log 1 a ? log 1 b
2 2

2 2 D. a ? b

4.命题 “ ?x ? R, f ? x ? ? ? ”的否定为 A. ?x0 ? R, f ? x0 ? ? 0 B. ?x0 ? R, f ? x0 ? ? 0

C. ?x0 ? R, f ? x0 ? ? 0

D. ?x0 ? R, f ? x0 ? ? 0

5. 若数列 ?an ? 是首项为 1,公比为 ? 2 的等比数列,则 a4 等于 A. ? 8 B. ?2 2 C. 2 2 D. 8

6. 已知 P ? 2,4? 在双曲线 A. 5 B. 2

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的渐近线上,则该双曲线的离心率为 a 2 b2
C.

3

D.

2

7.已知 a, b, c, d 为非零向量,且 a ? b ? c , a ? b ? d ,则下列命题正确 的个数为 .. (1)若 a ? b ,则 c ? d ? 0 (3)若 c ? d ,则 a ? b ? 0 A. 1 8 . B. 2 (2)若 c ? d ? 0 ,则 a ? b (4)若 a ? b ? 0 ,则 c ? d C. 3 D. 4

如 图 , 四 边 形 OABC , ODEF , OGHI 是 三 个 全 等 的 菱 形 ,

??? ? ??? ? ???? ?COD ? ?FOG ? ?AOI ? 60? ,P 为各菱形边上的动点,设 OP ? xOD ? yOH ,则 x ? y
的最大值为 A. 3 C. 5 B. 4 D. 6

E

F

D

G

O
H
I

C

A
第 8 题图

B

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题 (本大题共 7 小题,其中第 9、10、11、12 题每格 3 分,13、14、15 题每格 4 分, 共 36 分)
?| x ? 1| ( x ≤ 1) 9.已知函数 f ( x) ? ? x , f (a) ? 2 ,则 f ( x ? 1) ? 3

? f ? ?1?? ?

▲ ,a ?

▲ .

10.已知平面向量 a ? (1, 2), b ? (?2, y) ,且 a ⊥ b ,则 | a |?

▲ ,y?

▲ .

? x ? y ? 5 ? 0, ? 11.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0, 则 x ? 2 y 的最小值为 ▲ ,该不等式组所围成的区域 ? x ? 3. ?
的面积为 ▲ . 12.若直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 与圆 C: x ? 2ax ? y ? 0 ? a ? 0? 相切,则直线 l 的斜率为
2 2

▲ ,实数 a 的值为 ▲ . 13.设 O 为原点, P 是抛物线 x2 ? 4 y 上一点, F 为焦点, PF ? 5 ,则 OP ? ▲ . 14.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 S3 ? 6 , S6 ? 3 .则 S9 ? 15. 定义 min ?a , b? ? ? .

?a, a ? b ,若关于 x 的方程 min 2 x , x ? 2 ? m ? m ? R ? 恰有二个 ?b, a ? b

?

?

不同的实根,则 m 的值为 ▲



三、解答题 (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 16. (本小题满分 15 分) 等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , a4 ? 2a2 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

3n ?1 ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . n

17. (本小题满分 15 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F ?1,0 ? ,过 F 且斜率为 1 的直线 l 交抛物线 C 于

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点.
(Ⅰ)求抛物线 C 的标准方程; (Ⅱ)求 ?OAB 的面积.

第 17 题图

18.(本小题满分 15 分) 已知椭圆 ? : 离之和为 4 . (Ⅰ)求椭圆 ? 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 y ? x ? m 与椭圆 ? 交于不同两点 A, B , 若点 P ? 0,1? 满足 PA ? PB , 求实数 m 的值.

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的一个焦点为 a 2 b2

?

3, 0 ,且 ? 上一点到其两焦点的距

?

??? ?

??? ?

19. (本小题满分 15 分)
2 n ?1 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? ??? ? 2 an ?
()

n , n ? N* . 2

[

(Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)设 bn ? lg

1 , Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ?? anbn ,求证:数列 ?Tn ? 中 T1 最小. an

20. (本小题满分 14 分) 对于函数 f ( x) ,若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为 f ( x) 的一个不动点. 设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 ( a ? 0 ) . (Ⅰ)当 a ? 2 , b ? ?2 时,求 f ( x) 的不动点; (Ⅱ)若 f ( x) 有两个相异的不动点 x1 , x 2 . (i)当 x1 ? 1 ? x2 时,设 f ( x) 的对称轴为直线 x ? m ,求证: m ? (ii)若 | x1 |? 2 ,且 | x1 ? x2 |? 2 ,求实数 b 的取值范围.

1 ; 2

嵊州市 2014 学年第二学期期末教学质量检测
高二理科数学B卷参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.C 2.A 3. D 4.B 5.B 6.A 7.D 8.B

二、填空题 (本大题共 7 小题,第 9,10,11,12 题每空 3 分,第 13,14,15 题每空 4 分, 共 36 分) 9. 9 , 0 13. 4 2 10. 5 , 1 14. ?9 11. ?13 , 15. 2

121 4

12.

? ,3 ?

?

3 ?1 或 0

?

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 16.(本小题满分 15 分) 解(Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,则 a4 ? 2a2 得 d ? a1 ? 3 故 an ? 3n . (Ⅱ) S n ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ?
2 n

??????5 分 ??????10 分

3 n ? ? 3 ? 1? . 2

??????15 分

17.(本小题满分 15 分) 解(Ⅰ) p ? 2 . 抛物线方程为 y ? 4 x .
2

??????3 分 ??????5 分 ??????7 分

(Ⅱ)直线方程为 y ? x ? 1 , 联立抛物线得 x ? 6 x ? 1 ? 0 ,
2

故 x1 ? x2 ? 6, x1 x2 ? 1 ,

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 4 5 .
又原点到直线距离为 d ? 故 ?OAB 的面积为 10 . 18.(本小题满分 15 分)

??????10 分

2 . 2

??????13 分

??????15 分

解(Ⅰ) c ? 3 , a ? 2 . 故b ?1 故椭圆方程为

??????2 分 ??????4 分

x2 ? y 2 ? 1. 4

??????5 分

(Ⅱ)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由 ? 由 ? ? 0 得 m ? ? 5, 5 .

? y ? x ? m, ?x ? 4 y ? 4 ? 0
2 2

2 2 得 5 x ? 8mx ? 4 m ? 1 ? 0 ,

?

?

?

?

??????7 分

x1 ? x2 ? ?

8m 2m ,得 y1 ? y2 ? , 5 5

故 AB 的中点 M ? ?

? 4m m ? , ?. ? 5 5?

??????10 分

m ?1 因为 PM ? AB ,所以 5 ? ?1 , 4m ? 5 5 得 m ? ? 满足条件. 3
19.(本小题满分 15 分) 解(Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ?

??????13 分

??????15 分

1 . 2

??????2 分

2 n?2 当 n ? 2 时, a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? ??? ? 2 an ?1 ?

n ?1 n n ?1 1 n ?1 ? . ,相减得 2 an ? ? 2 2 2 2
????????4 分 ?????5 分. ??????7 分

所以,当 n ? 2 时, an ? 当 n ? 1 时, a1 ?

1 . 2n

1 1 也满足上式,所求通项公式 an ? n 2 2

(Ⅱ) bn ? n lg 2 ,

2 n ? ?1? ?1? ?1? ? Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? lg 2 ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? ? , ?2? ?2? ? ? ? ?2? ? 3 n ?1 ? ? 1 ?2 1 ?1? ?1? ? Tn ? lg 2 ?1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? ? , 2 ?2? ?2? ? ? ? ?2? ? n n ?1 ? 1 ? 1 ?2 1 ?1? ?1? ? 相减得 Tn ? lg 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 2 ?2? ?2? ? ?2 ? 2 ? ?, ?

??????9 分

所以 Tn ? 2lg 2 ?1 ? 设 f ?n? ?

? ?

n?2? ?. 2n ?1 ?

??????11 分

f ? n ? 1? n ? 3 n?2 n?3 ,则 f ? n ? 1? ? n ? 2 ,显然 ? ? 1 ,??????13 分 n ?1 2 2 f ? n? 2n ? 4

即 f ? n ? 为减,从而 Tn 随着 n 的增大而增大, 故 T1 最小. 20.(本小题满分 14 分)
2 解(Ⅰ)依题意: f ( x) ? 2x 2 ? 2x ? 1 ? x ,即 2 x ? 3x ? 1 ? 0 , ??????2 分

??????15 分

1 1 或 1 ,即 f ( x) 的不动点为 和 1 . 2 2 b (Ⅱ) (ⅰ)由 f ? x ? 表达式得 m ? ? , 2a
解得 x ? ∵ g ? x ? ? f ? x ? ? x ? ax ? ?b ?1? x ? 1, a ? 0 .
2

??????4 分

由 x1 ? 1 ? x2 得 g ?1? ? 0 得?



??????6 分 ??????8 分

b 1 ? 1 ,即证 m ? . 2 a
2

(ⅱ)△ ? ? b ? 1? ? 4a ? 0 ,

x1 ? x2 ?
又 x1 ? x2

1? b 1 , x1 x2 ? , a a
2

? 4 ,∴ ? b ? 1? ? 4a ? 4a 2 .
2

??????10 分

又 x1 , x2 到 g ? x ? 对称轴 x ?

1? b 的距离都为 1 , 2a

要使 g ? x ? ? 0 有一根属于 (?2,2) , 则 g ? x ? 对称轴 x ? ∴ a?
2

1? b ? (?3,3) , 2a
??????12 分

b ?1 . 6

故 ? b ? 1? ?

2 1 1 7 2 b ? 1 ? ? b ? 1? ,解得 b ? 或 b ? .??????14 分 3 9 4 4


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