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高三代数竞赛二


四川省米易中学校高三数学竞赛代数资料二
一、区域染色 例 1、有一个 3 ? 7 的棋盘,用黑色或白色两种颜色去染棋盘上的方格,每个方格只染一种 颜色。证明:无论怎样染色,棋盘上必定包含一个矩形(它由铅垂直线或水平线所划出的小 正方形构成) ,它的四角所在的方块都是同一颜色。 例 2、 2000 ? 2000 方格表中都染上红色或蓝色两种颜色之一,使得每种颜色都恰好出现 2000000 格内,两个红格若同行便称为一副红对,两个蓝格若同行便称为一副蓝对。求证:所 有红对数目和蓝对数目相等。 例 3、在一个正六边形的六个区域中的每一个 区域染上红、黄、蓝、紫四种颜色之一,要求相邻的 两个区域染色不相同,则有多少种不同的染色方法?

F E

A D

B C

二、点染色 例 4、已知:将平面上的所有点染成红、蓝两色之一。求证:存在一个同色顶点的直角三 角形,其斜边为 2003,且有一个锐角为 30 ? 。 例 5、将平面上的所有点染成红、蓝两色之一。求证:存在这样的两个相似三角形,它们 的相似比为 2003,并且每一个三角形的三个顶点同色。 例 6、用红、蓝两种颜色去染正九边形的顶点,每个顶点只染一种颜色,证明:在以这 9 个点为顶点的所有三角形中,一定有两个全等的三角形,每一个的三个顶点都是同颜色。 三、线段染色 例 7、17 名科学家中每一名和其余科学家通信,在他们的通信中仅讨论三个题目,而任两 名科学家之间仅讨论一个题目。证明:其中至少有 3 名科学家,他们互相通信中讨论同一个 题目。 例 8、证明:在任何六个人中,总可以找到三个相互认识的人或三个互相不认识的人。 (认 识是相互的) 。 例 9、6 个点,每两个点之间有一条线相连,线染上红色或蓝色,证明一定有两个以这些 点为顶点的三角形,每个三角形的边是同一种颜色(可能有公共边) 。 例 10、某俱乐部有 3n ? 1 名成员,对每一个人,其余的人中恰好有 n 个愿与他打网球, n 个愿与他下象棋,n 个愿与他打乒乓。 证明: 俱乐部中有 3 个人, 他们之间玩的游戏三种俱全。 例 11、平面上有 5 个点,无三点共线,两两相连的线段各染上红蓝颜色中的任意一种, 求证:图中没有同色三角形的充要条件是可分解为一红一蓝的两条封闭折线,每条恰含有 5 条连线段。 例 12、求最小正整数 n ,使在任何 n 个无理数中,总有 3 个数,其中每两数之和仍为无 理数。 练习题 1、设有 4 ? 28 个小方格,给每个小方格都染上红、蓝、黄三种颜色中的一种,试证明: 至少存在一个矩形,它的四个角上小正方形同色。 2、线段 AB 的两个端点一个染成黑色,一个染成白色,在线段 AB 上任意选取 100 个点, 将 AB 分成 101 条线段。 如果将这 100 个点任意染成黑色或白色二色之一, 那么在 101 条线段 中,两端点不同色的线段条数是奇数还是偶数?说明你的理由。
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3、用红、蓝两色任意染平面上的点。证明:一定存在 3 个同色点,它们是边长为 1 或 3 的等边三角形。 4、现有 9 个人,已知任意三人中总有两人相互认识,证明:必有四人相互之间都认识。 5、有排成一行的 n 个方格,用红、黄、蓝三色涂每个格子,每格染一色,要求任何相邻 的格子不同色,且首尾两格也不同色。问:有多少种涂法?

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