当前位置:首页 >> 数学 >>

排列


心 公 的 。乙 ‘ ” 。 州 吝 如 公 里 匕 臼 忿 整舒 卜 仓 努
,

,

矿, 浅

排列



组 合基 础 知识 的 教 学
宁 夏 教 育学 院

卢 蕙 芬

排列



组 合 是 高 中 数 学 教 学 中 比 较难 讲 难 学 的 课 题 之 一


,

其主 要 原 因 是
,

它 是 宇宙 间
,

的 一 种 自然 现 象
,

自然 界 中 由于 事 物 相 互 之 间 以 及事 物 本 身 内部 各 组 成 部分 之 间
,

在 外表 或

泣胜 上 的 相 互 配 合 和 顺 序 的 不 同

而 产 生 了 形 形 色色



千 变 万 化的 现 象
,

使 问 题 显 得 错综 复




难 于 着手 考 虑



它 与 以 前 学 过 的数 学 知 识 联 系 较 少


而 且 问 题 的 解 决 要 依 赖于 抽 象 思
,

维 能 力 和 逻 辑 推 理 能力

怎 样 分 辨 排列 问 题 还 是 组 合 问题 有 困 惑
,



学 生 容 易含 糊 不 清
,


但是

,

排列
,



组 合这 一 单元

不 仅 和 下 一 单元 二 项 式 定 理 密 切关 联

还 是 学 习 好概 率 论 同时
,

的重 要 工 具

并 且 与 其 它 学 科 如运 筹学


统 计学

生 物 的选 种 学 等 都 直 接 有 关 就都 与排 列
、 、

在 日

常 的 工 作及 生 活 中 只 要 牵涉 到 调 配
教学 是很 重要 的 单的 基础 知识


安排 等 问 题


,

组 合有 关

,

所 以 这一 课 题 的



中学 里 所 教 的 排 列 验
,



合是 指 不 同 元素


不 重 复取

直 线 形的 排 列 组 合 等 问题 中一 些 简


对 这 一 单元 通 常 总是 按课 本 编 排 先 排 列 而 后 组 合 的 顺 序 进 行 教学 的

作为 实
,

我 曾在 教 学 中使 用 了
,
,

对比法



,

就 是 把排 列 和 组 合的 意 义 及 种 数 公 式 同 时提 出


平行

地加 以 研究

对 比 它 们 的 共 同 点和不 同 点

因为 概 念 的 产 生 来 源 于 人的 感 性 认识




学生 只 有


以 感 性 认 识 为基 础

在 教 师 启 发引 导下
, ,

,

通 过 自己 对 客 观 事 物 的 分 析


综合
,



比较

抽象 与

概 括 等积 极 的 思 维 活 功
在 本 质 属 性 上 的不 同 的 概 念 更 加 确切


才能形 成 明 确 的概 念
因 为有 比 较 才 有 鉴 别


而 排 列 与 组 合 这两 个 概 念特 另 应 该 比 较 它 们


,

有 鉴 别 才 有提 高

只 有这 样
,


才 能使 学 生 形成


清晰

下 面 仅就排 列
,



组 合 的定 义 及 公 式 的导 出

谈 谈 我 们 的 做法
,

首 先 要讲 清楚 加 法 原 理 和 乘 法 原 理
须 从 简单 的 实 际 例 子 出 发



这 两个 原 理 是 学 习 排 列
, ,

组 合的 基础知 识 之一

,



通 过 启 发 和 较 洋尽 的 分 析概 括


使 学 生 透彻 理 解
,


牢 固掌 握






某 学 生 解 答 问题 可 以 在 黑 板上 写 出
,

也 可 以 在纸 上 写 出 钢笔

还 可 以 口 头解 答
,

黑板 上 间此 学
,

可 用 白 色 粉 笔 和 红 色 粉 笔 两 种 方法
尘 解 答 问题 的方 法 总 数是 多 少

在 纸 上 可 用铅 笔
,

圆 珠 笔 三 种 方法 写 出



办 法 有三 种


黑 板上 写

,

纸上 写

口述



而 用 了 任何 一 种办 法 里 的任 何 一 种 方法

部可 以 解答 问 题

所以共有 例

,













六 个数 目

,

今 一 次选 择 一 个 数 字
即取
“ ”

,

连选 两次
“ ”

可 以重复
“ ”
,

则两 次 所 取 的 数 目的 和 为


的有 几 种取法 的有 三 个 可 能
,

两 次所 取 数 目其 和 为







,
























但 是取








” ”


的有 两 种 方 法

,

即 首次 取
,





,

第 二次 取





,

或 首 次 取

’ ,



,

第 二 次取
“ ”
” “

同理取 而取








的 亦有 两 种 方法






的 只 有一 种 方 法


故 本 题 所 求答 数是 讲 过例 题后可 归 纳

,


,
,



有一 事 件
,

要 完 成 它 可 以 有 几 种办法
在 第 三 种办法 中有
,

,

在 第一 种办 法 中 有
,

、、

个 方

在 第 二 种 办 法 中有
,

个 方法
,

个 方法

,

… … 不 论 哪 一 个 方 法 单独 地 … … 个方 法


做完

这 件事 就 已 完 全 成 功
,


那 末做成 这 件事
,

就有 二


在 这样 的条件 下
加 法原 理 再 看 另 外 的情 形 例



事 件 的做 成 功

它的 方法是 用



的和 来 表 示 的

,



「 ,



两 地 之 间 有汽 车
,



火车
,



轮船 通 行
问从
,

,



两 地 之 间 有 汽车
,



火车 通 行


,



地 去 地 必 须经 过 地

并在 地 转 车
不 能直 达
, ,

地到 地

可 有 几 种 走法
,


种办 法
,

要从
,



,

必 须 分两个 步 骤

先从 、 到


再 从 到,

’ ,

从 、到 可 有 三

但 每一 种 办 法 到 达 日后
共有
,

又 有两 种 办 法 到 达 尸

故从 到


种办 法



可 推 广到 一 般 情 况

有 一 事 件 要 完 成 它 必 须分 几 个 步 骤
个 方法 … …
?

,

做 好 第一 步 有
,



个 方法

,

做好

第 二 步有 个方 法

,

做 好第 三 步 有
? ?

,

要 各个 步骤 全 部 做 完
?
?

这 事 件才 算 完 全 成
,

那 末 做 成 功 这 件事 有



?

… 个方 法
,



在 这 样 的条 件 下



,

事 件 的做 成 功

它 的 方 法 是用




? ?

… 的 积 来丧 示 的

这 叫乘 法 原
, 地 直 达 护地

有时

,

加法



乘 法 原 理 要 同时 都用 的

,


例 如在 例



,

若乘 飞 机 可 以 从




则 从八 地 到 地 的 走 法 共 有 为 了 同 时引 出排 列





组 合 的意 义

提 出下 面的 问 题 启 发 学 生
个 学生 中选 出
,

例 理 在 全班 解
或 当代 表 位
, ,

见 学生 个

中要 选 正 副 两 个 班 长的方 法 和要 选 两 个代表 的 方 法 个人
,



,

是否 一 样


在 这 个 问 题 中 两 件事 都 是 从
对 于 问 题 的 前 者来说
,
,
,

我 们 如 果选 定 甲 乙 二 人 当 班 长
,

,

甲当正班 长
,

则 乙 当副班 长
,

如 果 交 换 地 位 乙 当正 班 长
,

,

甲 当 副班 长
乙 当代 表

是 两 种不 同 的 选 法
,

对 于 间 题 的 后 者来 说

甲 当代 表

乙 也 当代 表

,

交换 地


甲也 当 代 表 是 一 种 选 法 交换 甲 乙 地 位

对 于 选 代 表 的 方 法数 不 发 生 影 响
,

再举 一 些 例 子 如 从 个 不 同 的 数 中任 取 两 个 进 行 加 减 乘除 能 有多 少 个 不 同 的 和 差 积 商
又 如 一 段 铁 路要准 备 几 种 车 票

有多 少 种票 价
,

几 个 人 互 通 电话

互 相 通 信 或 握 手赠 照 片 等
,

等问 题
中 的人 一列
,

,

通 过启 发
。 、



分析

,

让 学 生 深 刻 领 会 两 种 问 题 的 共 同 点 和 不 同点 老 师 讲 出 排 列 组 合 的定 义
,

并 从 中悟 到排列



组 合 各 自的 定 义

在 这 基 础上

如 果 从 个 不 同 的 元素


把问 题

数 字或 物 件 等 都 抽象概 括 为元素
,




任取



,

,

按 照 一 定 的 顺 序 排成 个 不 同元 素 中取
,

叫做 从 个 不 同元 素 中取 个 元 素 的 一 个 排 列 任取 。


如 果 从 个 不 同 的 元素 中


个 元素并 成一 组
,

叫做 从

个元 素 的一 个 组 合

然 后 教师 还 应 弧 调 指 出

,

排 列组合 的 共 同点

就是 都 要





个 不 同元素 中

任 取 二个





元索





而 排列



组 合 的根 本分 歧 之 处
,
,

,

即在 于 排 列 是 与 顺 序 有 关 的
, ,

,

而 组 合 是 与 顺 序无 关






因 此 考 虑组 合 问题
,

只 要 考 虑 其 中 的元 素 不尽 相 同 时

就 是不 同 的 组 合

然 而 考虑 排 列
,

问 题 就 不 仅 要 考 虑 其 中 的元 素
即 使元 素 相 同
,

还 要考 虑 其 中元素 的 顺 序
也 是 不 同 的排 列
,

元素 不 同

,

固然是 不 同 的 排 列

只 要 顺 序不 同


,

所 谓 相 同 排列 是 指 所 含 元 素 及 其 顺 序 方 而

都 是 完 全 一致 的 例 如在

,

。,

中任取

个或

个 的排 列 及 组 合情 况 如 下 表

从 中要位 学 生能 掌握 这 些 排列 形 式 的规 律
呈 再步 出 问题

,

要 求既 不 重 复

,

又不遗 漏







六 个人 互相通 信

,

共 通 信几 封

如 果 是 互 通 电话 在 上 而 两 个门 诬 中 信



,

共通 电 话 几 次
,

,

都给 定 了六 个 人
, ,

而 且 每次 都 要 从 中 选择 两 乍 人

,

我 们 如果 选 定 甲
,

乙 二 人 来 完 成 过 电 话 和 通 信 这 两 件事 乙 写 洁给 甲
,

对 于 问题


来说
,

,

甲写信 给 乙

,

出 自甲 的 手 笔
,

乙收

出 自 乙 的手 笔
,

甲收 信

甲 乙 地 位交 换是 两 封 不 同 的 信 甲与 乙通 电话
,

所以是 排 列 问
,



对 于 问恤
,

来说

在 甲 乙二 人 的 一 次 通 电话 中
,
,

乙也 和 甲通 电话

是一
,

个 电话

这 说 明 交换 甲 乙 的 地 位 京 是 从六个 人 中 七
一 一

对 他 们 通 电 话 的次 数 不 发 生 影 响
个人
,

,

是组 合 间 肠



问倾

每 次取 出

按 照 写 信 的人在 前
,

,

收信 的 人 在 后 的 顺 序
,

扮 求 一 冬 多 少 丁全 同 的 探 有 不

首 先 确 定写 信人
,

,



个人 中任 选 一 个 为 写 信 人
,

那末 有
,
,

手方法

,

其 次 确定 收信 人


,

当 选 定 写 洁 人 后 收 信 人扰 只 能 在 其 余 的

个 人 中 去选 定 了 因 此 有
所 以 按 乘法 原 理


种方 法

完成 通一 封信


这件 事


,

就 是要有 写 信 人 和 收信 人两个 步 骤


个人 相 互 通 信 共 有
,







丈同的信 ,

用特 号表 示 为
,





“。
,

问题 如何 求 个有 人
,

过 电 话 的 问题 是 多少

己 经 知过 是 个 组 合 问题

用符 号 表 示 为
一样
, ,

意 看看 这个 组 合 种数
个人 中 任 选 一
,

也 就 是 求 共 通 了 几 个 电话 收 话人 有
,

和问题



发话人 可 以 从

种方 法

,

种 方法
,

,



方法

但在 完 成 通 一 次 电话 时

谁 是 发话

谁 是 收 话人

没 有关 系

所 以应 该 将

除 以这 两 个 人 的 排列 数





丁 一 下
















, 土 尸



用数 字

,

,

,

,

,

能 够 组 多 少 个 没 有 重 复数字 的 三 位 数 能 够画 出 多 少 个 三 角 形
如果 取 出
那 末有
, , ,
,

在平 面 上 有
这两 个 问 题 都 是 要 从

个点

其 中 没 有 三 个 点在 一 条 直 线 上 个 元素
, , ,

个 元 素 中取 出
,

对 于问题
,
,

三个
,

数字

,

则 交换 这 三 个 数字 的 地 位


等 等就是 不 同 的 三 位 数
,




以 是 排列 问 题

首先 确 定 百 位 数 字 可 从


个数 字 中任 选 一 个
,

种方 法

,

其 次 确定
,

位数字

,

当 百 位 数字确 定 后 就 只 有 如 果取 出 八
,

种方 法

最 后 确 定个位 数 字
,

就只 有
,

种 方法
,

月 以是


对 于 问题

,

,

三 点 组 成 三 角 形八


灯刃

珍、

人,

!

,

都是 表 示 一 个 三 角 形

,

所 以 是 组 合 问题


又如






尝 弓


从 从

个不 同 元 索 中 何 次 取 出 个 不 同 元 素 中 每 次取 出
个 不 同 元 素 中每次 取 出

个 元 索 的排 列 数 表 个 元 素 的组 合 数为
个 元 素的 排 列 数 为 个 元 素的 组 合 数为






自 星







个 不 同 元 索中每 次取 出





从 个不 同元 素 中 每 次 取 出 个 元 素 的 所 有排 列 数 衷 示 为
可 按 课本 上 填 位 法 讲 出











,

?

,

……


,

因 为 有 前 面 实 际 例 子 分 析讲 解 为基 础
? 而 从 个 不 同元 索 中 每 次取 出

此 公 式就 不 难 理 解 了



个 元 素 的 组 合 数 经示为








若 按 课本 上 编排 顺 序
为 他们 知 道 公 式去 解 的
同时 当然
, ,

,

把 排列 和 组 合 分 开 讲
,

,

那 末 学 生 常 常 会 不 加 思 索 地 套用 公 式
,



讲 过 排 列 一 节 后 的 习 题 全 是用 排 列 公 式 来 解
但 等到 综 合练 习 时
,

讲 组 合 一 节 后 的 习 题全 是用 组 合
,

就 分 不 清 哪 个 是 排列 问 题

哪 个 是 组 合问 题 了



用对 比法


讲 解 可 以避 免 和 克 服 这 个 缺 陷
,

效果 较好
,

我 觉 得这 样 讲 还 可 以 减 轻学 生 记 忆 上 的 一 些 负担
,

使 他们 比 较 容 易地 记 住 一 邝 六
。 。

本 概 念和 公式
,

可 以 适 当 地 节省一 些 时 间 来增 加 学 生 的 练 习 机 会
,

这 种教法 的 改革 是 否 妥 善

还 有待 于 进 一 步 的 实 践 和 探 索






相关文章:
排列组合基础知识
排列组合基础知识 - 文科僧上大学学概率统计必备基础知识... 排列组合基础知识 一、两大原理 1.加法原理 (1)定义:做一件事,完成它有 n 类方法,在第一类方法中...
排列组合部分知识总结_图文
排列组合部分知识总结 - 计数原理 排列组合 标纲解读:1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理。 2.会用分类加法计数原理与分步乘法计数原理分析和解决一些简单的...
排列组合问题
排列组合问题_公务员考试_资格考试/认证_教育专区。排列组合问题 排列组合问题也是公考中一个比重较大的问题, 也是公考的重点和难点 之一,也是进一步解答概率的基础...
排列
排列_数学_自然科学_专业资料。排列一、内容归纳 1 知识精讲: (1) 排列:从 n 个不同的元素中取出 m 个(m≤n)元素并按一定的顺序排成一列, 叫做从 n ...
排列组合
排列组合 - 学习不与时间成正比,与之相关的是思考的方向、深度和宽度 排列组合 排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排列组合问题,首先要...
排列组合专题复习及经典例题详解
排列组合专题复习及经典例题详解 - 排列组合专题复习及经典例题详解 1. 学习目标 掌握排列、组合问题的解题策略 2.重点 (1)特殊元素优先安排的策略: (2)合理分类...
排列组合题型归纳
排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排 列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组 合...
排列组合21种模型
排列组合21种模型_数学_高中教育_教育专区。排列组合 21 种模型 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素 参与排列. 例 1. A...
排列组合归纳总结
排列组合归纳总结 - 排列、组合及二项式定理 一、计数 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 → 1.分类加法计数原理定义 完成一件事,可以有 n 类办法,在第一类...
有关排列组合的常用解题技巧
有关排列组合的常用解题技巧 1.相邻问题并组法 题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列. 【例 1】A、B、C、D、E 五人并排站成一排,...
更多相关标签: