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《微积分(一)》教学大纲


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《微积分(一)》教学大纲

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一、课程概述
课程名称:CMP101 微积分(一) Calculus(I) 学分课时:4 学分,72 课时 课程代码:CMP101 所属院系:信息学院数学教研室 电话 64495197 教学对象:全校一年级本科生或具有相同学历的学生。 考核方式:每周交一次作业,期中测验一次,期末考试一次。平时成绩占 10%,期中测验占 10%, 期末占 80% 授课方式:以讲授为主 教学技术:多媒体辅助教学 出勤要求:在没有特殊原因的情况下不得缺席,教师应把学生出勤情况作为考察平时成绩的重要因 素之一 教材与主要参考书: 《高等数学》第五版 同济大学数学教研室 主编 高等教育出版社 2002 年 7 月第五版 《微积分》朱来义 主编 高等教育出版社 2000 年 7 月第一版 《经济数学基础》 (第一分册 微积分)龚德恩 主编 四川人民出版社

二、课程简介
微积分是高等学校经济管理专业素质教育中一门必不可少的基础理论课。通过本门课的学习, 可使学生获得有关微积分学的基本理论和基本运算技能,获得一定的数学方法,为后继课程的学习 奠定必要的数学基础。 在本课程的教学过程中,在注重传授知识的同时,要通过各个教学环节渗透数学思想,逐步培 养学生素养,提高利用数学语言描述问题和分析问题的能力,逻辑推理的能力,抽象思维能力,空 间想象力,运算力及自学的能力,以及处理实际经济问题的能力。

三、课程内容和基本要求
第一章 函数 重点:函数的概念、分段函数与初等函数。 难点:复合函数、反函数。 § 1.1 预备知识 内容与要求: 熟悉函数与数轴的对应关系,实数的绝对值及其性质,特别是区间与邻域的概念. § 1.2 函数概念

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内容与要求: (1)深刻理解并掌握函数的概念,会用解析方法表示函数,了解函数表示的表格法、 图示法; (2)会求函数的定义域,熟悉分段函数。 § 1.3 函数的几何特征 内容与要求: 理解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性的概念,会用定义分析简单函数的 相应性质。 § 1.4 反函数 内容与要求: 理解反函数的概念,会求反函数。 § 1.5 复合函数 内容与要求: 理解复合函数的概念,会构造或分解常见的复合函数。 § 1.6 初等函数 内容与要求: 熟练掌握六类基本初等函数及其性质,理解初等函数的概念。 § 1.7 简单函数关系的建立 内容与要求: 熟悉经济学中的常用函数,会对常见的经济问题建立相应的函数关系。 第二章 极限与连续 重点:极限的概念和极限的运算,无穷小的概念,连续的概念和初等函数的连续性。 难点:极限的概念。 § 2.1 数列的极限 内容与要求: (1) 理解数列的定义(整标函数) ,数列通项的含义; (2) 知道数列的几何意义; (3) 理解单调数列与有界数列的含义,并能判定一个给定的比较简单的数列是 否单调、是否有界; (4) 理解并会叙述数列极限的 "? ? N " 定义,知道它在数轴上的几何意义; 能用 "? ? N " 定义证明简单的问题; (5) 领会夹逼准则与单调有界原理及其在求极限时所起的作用,熟记极限

1 lim (1 ? ) n ? e. n?? n
§ 2.2 函数的极限

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内容与要求: (1)理解并会叙述函数极限的 "? ? X " 定义和 " ? ? ? " 定义,知道他们的几何意义; (2)正确认识和表达函数的左、右极限,熟练掌握分段函数在分段点处的左、 右极限; (3)会用函数极限存在的充要条件(左、右极限都存在且相等)来讨论函数极 限的存在性和不存在性。 § 2.3 函数极限的性质及运算法则 内容与要求: (1)了解极限的唯一性、有界性及保号性; (2)熟练掌握极限的四则运算法则,并能应用法则来求极限; (3)理解函数极限的夹逼准则,知道这个准则适合各种形式的极限,知道它在 求极限时所起的作用; (4)熟练掌握两个重要极限: lim

sin x x

x?0

1 ? 1 与 lim (1 ? ) x ? e. 并能结合极限的四则 x?? x

运算法则灵活地使用它们来求极限。 § 2.4 无穷大量与无穷小量 内容与要求: (1)弄清无穷小是以零为极限的变量,不是绝对值很小的数; (2)领会函数的极限与无穷小之间的关系; (3)理解高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小的概念,记住几个常用的等价 无穷小并会用常用的等价无穷小求极限; (4)理解无穷大的概念,知道无穷大与无穷小的关系。 § 2.5 函数的连续性 内容与要求: (1)理解函数在一点连续(包括左、右连续)的概念; (2)掌握函数在一点连续的充要条件是函数在该点左、右连续; (3)知道函数在区间上连续的定义; (4)会确定分段函数在分段点处的连续性; (5)会熟练判断函数的间断点并判断其类型; (6)知道连续函数的运算性质和初等函数的连续性。 § 2.6 闭区间上连续函数的性质 内容与要求: 熟练掌握闭区间上连续函数的性质,并能应用这些性质证明方程根的存在问题。 第三章 导数与微分 重点:导数的定义及其几何意义;导数的四则运算法则;复合函数的求导法则;初

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等函数的求导问题;隐函数的求导法则;参数方程的求导法则;微分的定义。 难点:隐函数的求导法则;参数方程的求导法则。 § 3.1 导数概念 内容与要求: (1) 熟练掌握导数和左、右导数的定义;理解导函数的概念; (2) 知道导数的几何意义; (3)会用导数定义求导数; (4)掌握函数可导的充要条件是左、右导数都存在且相等,并能应用它讨论分 段函数的可导性; (5)熟悉可导与连续的关系。 § 3.2 导数运算与导数公式 内容与要求: 熟练掌握导数的四则运算法则,熟记导数的基本公式。 § 3.3 复合函数求导法则 内容与要求: (1)熟练掌握复合函数的求导法则,并能熟练求出初等函数的导数。 (2)掌握隐函数的求导方法和对数求导法; (3)掌握参数方程所确定的函数的一阶导数; § 3.4 微分及其计算 内容与要求: (1)正确理解微分的定义————函数增量的线性主部; (2)了解微分的几何意义; (3)知道导数与微分的联系与区别; (5)了解微分的近似计算 (6)熟记微分的基本公式与运算法则; (7)理解一阶微分形式不变性的含义,并会用一阶微分形式不变性求微分。 § 3.5 高阶导数与高阶微分 内容与要求: 理解高阶导数与高阶微分的定义,会求简单函数的高阶导数;掌握函数二阶导数 的计算。 第四章 中值定理与导数的应用 重点:微分中值定理。 难点:泰勒公式。 § 4.1 微分中值定理 内容与要求:

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(1)掌握罗尔中值定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理; (2)掌握罗尔中值定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理的条件、结论及相互 关系; (3)会用中值定理证明某些简单的不等式和等式。 § 4.2 泰勒公式 内容与要求: (1)知道泰勒定理; (2)掌握简单函数的 n 阶麦克劳林展开式; (3)了解用麦克劳林公式求极限。 § 4.3 洛必达法则 内容与要求: (1)知道什么是未定式及未定式的各种类型; (2)熟练的应用洛必达法则求未定式“

0 0

”型和“

? ?

”型的极限;

(3)能识别其它未定式,并能正确运用洛必达法则求其极限。 § 4.4 函数的单调性与凹凸性 内容与要求: (1)熟练掌握函数增减性的判定定理; (2)正确理解凹函数与凸函数的含义,知道拐点的定义; (3)会用导数判定函数的凹凸性; (4)会用导数讨论函数的增减性并证明不等式; § 4.5 函数的极值与最大(小)值 内容与要求: (1)正确理解函数的极大值和极小值的定义; (2)掌握驻点的定义,并会求驻点; (3)掌握拐点的定义,并会求拐点; (4)掌握函数取得极值的必要条件和充分条件,会求函数的极值; (5)清楚最值与极值的关系,会求函数在区间上的最大值,最小值。 § 4.6 函数作图 内容与要求: (1)知道渐近线的定义,并会求曲线 y=f(x)的渐进线; (2)会求拐点并会判断曲线的凹向; (3) 会列出函数的性态表,能准确画出函数的图形。 § 4.7 导数与微分在经济学中的简单应用 内容与要求: 掌握边际函数和弹性的概念,会用边际和弹性分析简单的经济问题;

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理解边际成本、边际收益、和需求价格弹性的经济意义。 第五章 不定积分

重点:原函数与不定积分的概念,基本积分公式,换元积分法与分步积分法。 难点:换元积分法,分步积分法。 § 5.1 原函数与不定积分的概念 内容与要求: (1)熟练掌握原函数与不定积分的定义,知道它们的联系与区别; (2)知道原函数存在定理; (3) 知道原函数、不定积分的几何意义; (4)熟知不定积分的基本性质和运算法则。 §5.2 基本积分公式 内容与要求: 牢记基本积分公式,并会用这些公式和积分法则来求不定积分。 §5.3 换元积分法 内容与要求: (1)掌握并灵活运用第一换元积分法——凑微分法; (2)熟练掌握第二换元法,会求简单的有理函数,三角函数的有理式的积分。 §5.4 分步积分法 内容与要求: 熟练掌握分步积分公式,知道 u 和 dv 的一般选取原则,并记住几种特殊类型被 积函数求积分时 u 和 dv 的取法。 §5.5 几种特殊类型函数的积分 内容与要求: (1)知道有理函数积分的一般方法,能把较简单的有理函数分解为部分分式,然 后求出其不定积分; (2)能把三角有理式的积分和简单无理函数的积分转化为有理函数的积分。 微积分(一)学时分配 章数 一 二 三 四 五 内 函 容 数 学时分配 4 18 14 18 18

极限与连续 导数与微分 中值定理及导数应用 不定积分


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